高等数学（下）期末复习指导（土木工程专业.doc

《高等数学（下）期末复习指导（土木工程专业.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学（下）期末复习指导（土木工程专业.doc（28页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 本学期高等数学的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用级数理论及常微分方程的解法我们用了90课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固考试题型为：一.选择题（每小题3分，

2、共15分）二.填空题（每小题3分，共15分）三.计算题（8小题，共40分）四.应用题（2小题，共16分）五.证明题（2小题，共14分）下面分章复习所学知识 第五章 定积分的应用定积分在几何上的应用：求平面图形的面积（1） 直角坐标情形：由平面曲线所围图形的面积为 （2）极坐标情形：由曲线及射线所围成的曲边扇形的面积为 例 （填空题）由曲线及直线围成的平面图形的面积 . 第六章向量代数与空间解析几何（一）向量代数1.空间两点与的距离公式2.非零向量的方向余弦公式3.向量的运算设，则两非零向量垂直、平行的充要条件4.向量在非零向量上的投影（二）平面与直线1.平面方程（1）一般式：（2）点法式：（3

3、）截距式：（4）三点式：2.直线方程（1）对称式（点向式、标准式）：（2）一般式：（3）参数式：（4）两点式：3.平面与直线平行、垂直的充要条件及夹角（1）; (2)；（3）；（4）与的夹角： (5)与的夹角：（6）与的夹角： 4.距离设点，平面直线（1）点到平面的距离公式： (2)点到直线的距离公式：，其中，是直线上任一点（三）曲面与空间曲线 记住一些常见的曲面的方程（1）旋转曲面园锥面：，旋转抛物面：，旋转椭球面：（2）柱面圆柱面：椭圆柱面：，抛物柱面：，双曲柱面：（3）二次曲面球面：椭球面：；椭球抛物面：同号）； 双曲抛物面：同号）；单叶双曲面：；双叶双曲面：本章的考点：仅是一些简单的填

4、空题或选择题例1.设三角形，已知为的中点，则上的中线长例2.1.两向量与互相垂直的充要条件是.2.向量平行，则1.3.求同时垂直于向量的单位向量是.解，单位化.例.（选择题）过点且平行于平面的平面是（）例4.（选择题）在空间直角坐标系下，方程的图形是（）过原点的一条直线；斜率为的一条直线；垂直于轴的一平面；过轴的一平面.例5.（选择题）方程在空间表示的图形是（）平行于坐标面的平面；平行于轴的平面；过轴的平面；直线例6.（选择题）方程在空间表示的是（）抛物线；抛物柱面；母线平行于轴的柱面；旋转抛物面.例7. (选择题) 下列平面方程中（ ）过轴： ； ； ； 例8. 曲线 在平面上的投影方程为：

5、 第七章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1.二元函数：定义域和对应规律为的两要素，其定义域为平面上的点集例9 (填空题)二元函数的定义域是二元函数的定义域为2.极限：函数的极限为，是指点以任何方式沿某路径趋于点时，记为例10. 证明：极限不存在证明如果动点沿趋于点时，则如果动点沿趋于点时，则因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.3.连续：函数在点连续，必须同时满足三个条件，缺一不可：（1）在内有定义；（2）存在；（3）.否则间断例11.（选择题）设，下面结论正确的是（）在平面上连续；在平面上不连续；在平面上只有为间断点；在平面上，只有在区域内，函数连续.例12 (选择题) 函数在点处（

6、）连续；有极限但不连续；极限不存在；无定义.（二）偏导数1.定义与计算偏导数是整体记号，不具有商的意义，求时，把中的固定（看作常数），利用一元函数的求导公式和法则求出记住：偏导函数与一点的偏导数记号不同，及它们之间的关系例13.（填空题）设，则 2.高阶偏导数（以二阶为主）：（注意：二阶混合偏导数在定义域内连续时，相等）（三）全微分1.定义与计算：若函数在点的全改变量（全增量）可表为，其中不依赖于，仅与有关，则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记作例14.（选择题）函数由方程所确定，则（）例15. 函数在点处的全微分为： .例16. 求的全微分及二阶偏导数.解2.二元函数在一点连续、可导（

7、两个偏导数存在）与可微的关系偏导数连续可微，反之不一定成立.例17.（选择题）二元函数在点处（）不连续，两个偏导数不存在；不连续，两个偏导数存在；连续，两个偏导数不存在；连续，两个偏导数存在 例18.（填空题）连续是可微的条件. 例19. 证明题：证明函数在点处两个偏导数存在，但不连续.（用定义求偏导数，取两条路径如极限不一则不连续）3.方向导数与梯度（不做考试要求）（1）方向导数函数在特定方向（指定方向）上的变化率：，其中为射线与轴正向夹角 （2）梯度不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？函数在点处的梯度为：例20.（填空题）函数在点处沿方向的方向导数是 .（四）多元复合函数的导数 1

8、.锁链法则先画出链式图，写出公式，然后计算.，则有锁链公式： 2.几种推广情形（1）若，而，则有锁链公式： （2）若而，则有锁链公式： 注意：这里与不同，是把复合后的函数，将看作常数，对求偏导；而是把复合前的函数，将看作常数对求偏导（3）设，而，则复合函数只有一个自变量， 求导，称为全导数. 何时用锁链法则：函数关系不具体；中间变量多于一个.例21.（选择题）设，则（）.例22.求 例23.设，求解由锁链法则例24.设二元函数，其中是二阶可微函数，求解设，则例25.设，求解；（五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）1.方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则），解出所求的偏导数（是的函数）

9、.2.公式法：，3.微分法：利用一阶全微分形式的不变性，对方程两边求全微分，即可求出所需的偏导数或导数例26.（填空题）由方程确定，则.例27.设求解由隐函数微分法设因为所以例28. 设是由方程所确定的隐函数，求例29.设，证明：证明设，则 , , 故（六）微分法在几何上的应用（不做考试要求）1.空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程，则在点处的 切线方程为： 法平面方程为： 2.空间曲线的切平面与法线隐函数的曲面方程：，显函数的曲面方程：，（七）多元函数的极值及其求法1.极值的必要条件：见教材定理1（极值发生在可疑点，即驻点或偏导数不存在的点上.2.极值的充分条件：设为为函数的驻点， ,

10、则下结论（1）有极小值，有极大值；（2），无极值；（3）,不定，另作讨论.例30.（选择题）下列说法中，正确的是（）可微函数在达到极值，则必有二元函数在达到极值，则必有可微函数在有二元函数在的偏导数不存在，则必不存在极值.例31求函数的极值.解，得驻点又，故函数在处无极值.3.用乘子法求条件极值的应用题解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题；（2）作辅助函数原函数+乘条件函数；（3）将辅助函数对分别求偏导数，得方程组；（4）解方程组，得唯一驻点（5）答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也是最值点，并求出最值例32应用题：造一个容积为的长方体盒子，如何设计，才能使所

11、用材料最少？解设盒长为，宽为则高为，故表面积为：，于是，将问题化为求二元函数的最大值问题，解得唯一驻点，根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点，答：当盒子的长宽高都是，即正方体时，所用材料最少.例33. 应用题：利用乘子法求椭圆抛物面到平面的最短距离. 第八章重积分（一）重积分的概念1.定义：二重积分表示一种类型的和式极限； 三重积分表示另一种类型的和式极限.2.几何与物理意义二重积分表示曲顶柱体的体积，平面薄板的质量；三重积分表示空间物体的质量（无几何意义）3.性质与定积分类似性质3：如果在定义域上，函数，为的面积，则（二）二重积分的计算1.直角坐标系下二重积分的计算步骤：

12、面积元素先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图；如是形积分域，将其化为先对后对的积分次序积出来形积分域，将其化为先对后对的积分次序积出来.注利用“穿口法”的定限口诀是：后积先定限，限内画条线；先交下限写，后交上限见.2.极坐标系下二重积分的计算何时采用极坐标：（）积分域是园形或环形； （）被积函数包含.记住极坐标变换：面积元素：，然后将积分化为先对，后对的次序积出来；积分限如下定：（）若极点在域内，则（）若极点在域的边界上，则（）若极点在域的外部，则例34.（选择题）设是连续函数，交换二重积分的的积分次序后的结果为（） 例35. 交换积分次序： .例36.(选择题)设域，且，则（）

13、例37.计算二重积分，其中是由直线及轴所围的平面区域 解画出积分区域草图，这是型积分域，故选取先对后对的积分次序，得 例38.求二重积分 ，其中是顶点分别为和的三角形区域.例39.计算，其中由围成解将改写为：，则，所以原式例40.计算，其中是由圆周所围成的闭区域解根据积分域和被积函数的特点，选用极坐标计算例41.求二重积分，其中解选用极坐标计算 例42.应用题：求在平面上由与所围成区域的面积.例43.是由曲线以及所围成的图形，试求的面积. （以上两题，利用二重积分的几何意义，取被积函数，计算二重积分即 得所谓区域的面积） 例44.（填空题）设空间一光滑曲面：是在坐标面上的投影，则的面积 例45

14、.利用极坐标计算二重积分，其中解由于极点在的边界上，故原式解（三）三重积分的计算（只做简单的计算）1.直角坐标系下的计算体积元素：，（这是上下张着的曲面，型的投影域）则2.柱坐标系（极坐标轴）下的计算体积元素：，(这是上下张着的曲面，极点在投影域外部)则3.球坐标系下的计算体积元素：，则 例46.在柱坐标中，（常数）表示的曲面是：.例47.(填空题)设一立体由上半球面及锥面所围成，则其在平面上的投影为：.例48.（选择题），其中是由锥面，平面所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（）例49（选择题）设区域，且是连续函数，则（）；例50. 求曲面与所围成立体的体积体积.解 在柱坐标系下，将

15、被积函数，则所围立体的体积为： 第九章曲线积分与曲面积分（曲面积分不做考试要求）（一）曲线积分1.第型曲线积分（对弧长的积分）2.第型曲线积分（对坐标的积分）3.两类积分之间的联系.4.计算方法（1）设曲线由它的的参数方程：给出(特例)，则（2）若弧由给出，起点对应，终点对应则.5.（格林）公式：应用：，得得面积.6.平面曲线积分与路径无关的条件（1）（2）设是单连通域，在内有一阶连续偏导数，则曲线积分在内与路径无关的充分必要条件是：在内恒成立.例51.（选择题）设为由点到点的直线段，则（）例52.计算曲线积分，其中是沿着园：从点到点的上半圆弧.解因为所以，在不含原点的任何闭曲线上，即在不含原

16、点的任一闭区域内积分与路径无关.故选择路径为线段，在上有：，故原式例53.计算曲线积分，其中是园的渐开线：解原式例54.（填空题）为园：，计算弧长的曲线积分 例55. 计算 为正向圆周： （应用公式化为二重积分计算） 第十章无穷级数（一）数项级数敛散性的判别一.级数的概念若，则称级数收敛到和级数收敛的必要条件：收敛，则二.逆否命题：若则级数发散三.收敛判别法1.正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法；2.任意项级数的两个定理；（1）绝对收敛定理与有如下关系：收敛也收敛；发散收敛或发散；收敛收敛或发散；发散必定发散.（2）比值判别法23.交错级数的（莱布尼兹）判别法；4.从定义、性质判别.

17、四.两个重要的参照级数：1.等比（几何）级数当时，级数收敛；当时，级数发散.2.级数当时，级数收敛；当时，级数发散；特例：时，称为调和级数，发散.五.判别级数收敛的一般步骤：1.先看通项是否趋于零？若，则级数发散；若，则需进一步判断.2.选用合适的判别法；3.实在不行，再用定义试试，即看极限是否存在？例56.（选择题）若级数收敛，则级数（）收敛 例57.若级数收敛，则级数收敛还是发散？ .例58.判定级数的收敛性解这是正项级数法一.用比较判别法因，而是公比的等比级数，收敛，由比较判别法，知原级数收敛.法二.用比值判别法因，由比值判别法，知原级数收敛.例59判断级数的收敛性.解因，故由判别法，知

18、原交错级数收敛.例60（填空题）极限的值为解以为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.例61证明：若，则级数发散.证明因为，由，根据正项级数比值判别法的极限形式，由于为调和级数，发散，所以级数也发散.（二）求幂级数的收敛半径及收敛区间1.用比值判别法2（一般与有关），再讨论，求出收敛半径.2.，则收敛半径为：3.对端点单独讨论后，确定收敛区间.例62.求幂级数的收敛域. 解 这是缺少奇数次项的幂级数，由比值判别法2， 当时，原级数收敛，收敛半径 讨论端点的情况：当时，原级数为发散，故收敛域 例63.将函数展为的幂级数. 例64.求幂级数的收敛域；当

19、时，是绝对收敛，还是条件收敛？并给出证明. （三）利用幂级数和函数的分析性质，求和函数.设幂级数的收敛半径为，则在内，和函数具有下列性质：（1）和函数是连续的；（2）逐项可导，且；（3）逐项可积，且.注意：求导和积分后的和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不同例65.求幂级数的和函数.解设和函数，易得收敛区间为，利用逐项微分和积分，这是的等比级数，由因，故 例66. 求幂级数的收敛区间，并求其和函数. （四）傅立叶级数(不做考试要求) 第十一章微分方程（一）一阶微分方程的求解1.可分离变量的方程：的解法分离变量后，两边同时积分得通解；2.齐次方程：的解法：令，则，分离变量并积分，得通解；3

20、.一阶线性非齐次方程：的解法解法常数变易法通解公式为：注：解方程一般直接用常数变易法，当然，也可代通解公式，但公式复杂，且计算和化简时较繁，易出错（二）二阶线性微分方程的通解结构1.齐次方程：的通解：是两个线性无关特解的线性组合，即；2.非齐次方程：的通解非齐通（）齐通（）非齐特（）（三）二阶常系数线性齐次方程：通解的特征根解法；二阶常系数线性非齐次方程的两种特殊右端特解的解法.例67.（单选题）下列微分方程中，通解为的方程是（）解.的特征方程为：，故通解为：.例68.求微分方程的特解.例69.（填空题）微分方程的通解为. 这是可分离变量的方程分离变量两边积分得 例70. 求微分方程的通解。

21、解 特征方程为,特征根为,齐次方程的通解为:设特解为:代如原方程可得:所以原方程的通解为 例71.求微分方程的通解. 解这是二阶常系数线性非齐次方程，该方程的特征方程是有二重根，故对应的齐次方程的通解为特殊右端的不是特征根，故设特解为将代入原方程，得比较两端同函数得系数，得，因此特解为，故原方程通解为 例72.微分方程的特解形式为：（ ） ； ； ； 例73.求微分方程的通解.解这是二阶常系数线性非齐次方程，先求对应齐次方程的通解特征方程的共轭复根是，故有通解；再求原方程的一个特解，设，将 代入原方程，有即 ，比较两端同函数的系数，得，故有特解， 因此，原方程的通解为例74.用常数变易法求微分方程的通解. 2012.6.5 第5次修改于惠州学院数学系.