机械振动复习.doc

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1、2022年-2023年建筑工程管理行业文档 齐鲁斌创作机械振动一、机械振动（1）定义：中心位置；往复运动（2）条件：回复力；阻力足够小。（3）特点：中心位置；往复运动例1下列属于机械振动选择完整的是（ ）乒乓球在地面上的来回上下运动；弹簧振子在竖直方向的上下运动；秋千在空中来回的运动；竖于水面上的圆柱形玻璃瓶上下振动A、 B、 C、 D、二、简谐运动1.定义:物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为：F= -kx（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。（2）回复力是

2、一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以不处于平衡状态）（4）F= -kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。1怎样判断某一振动是简谐运动：图911方法一：从动力学：证明物体在运动方向上所受合力F=-kx。方法二：从运动学特点：例1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐运动.解析：如图911所示

3、，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为x0,根据胡克定律及平衡条件有mgkx0=0当振子向下偏离平衡位置x时，有：F回=mgk(x+x0)将代入得：F回=kx，故重物的振动满足简谐运动的条件.说明：分析一个振动系统是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足：其大小随着位移的变化作正比变化，其方向总与位移方向相反.应理解F=kx式中的k值是由振动系统本身条件所决定，不要将F=kx简单理解为胡克定律中的弹力，在这里就理解为产生简谐运动的回复力的定义式，而且产生简谐运动的回复力可以是一个力，也可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，此题的回复力为弹力和重力的合力.证明思路：确

4、定物体静止时的位置即为平衡位置，考查振动物体在任一点受到回复力的特点是否满足F=kx.例2 如图所示，m和M叠放在一起，M的左端与一弹簧相连，弹簧的另一端与墙壁相连，M和m在弹簧的作用下相对静止一起运动。证明m的运动是简谐运动。2.从总体上描述简谐运动的物理量。 振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的运动范围，用振幅A来描述；在时间上用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。（注意一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）（2）周期T是描述振动快慢的物理量。（频率f=1/T 也是描述振动

5、快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。对任何简谐振动有共同的周期公式：（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，既振动是简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。3.熟练掌握做简谐运动的物体在某一过程中的位移x、回复力F、加速度a、速度v、动能、动量、势能这七个量的相互变化关系（周期、频率、振幅为常量）。（1）从大小相关可分为两类：位移x、回复力F、加速度a、势能；速度v、动能、动量。（2）从矢、标量分为：矢量：位移x、回复力F、加速度a、速度v、动量（变化周期为T）；标量：势能、动能（变化周期为T/2）总

6、机械能（不变）。例2关于简谐运动回复力的说法正确的是（ ）A、回复力中的是指振子相对于平衡位置的位移B、回复力中的是指振子从初位置指向末位置的位移C、振子的回复力一定就是它所受的合力D、振子的回复力一定是恒力2用简谐运动实际运动图象分析简谐运动各量变化：例1 一质点做简谐运动,先后以相同的动量依次通过A、B两点，历时1s，质点通过B点后再经过1s又第二次通过B点，在这两秒钟内质点通过的总路程为12cm，则质点的振动周期为多少？振幅为多少？答案：4s，6cmobcad图2VaVb例2、如图2所示。弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s,从b再回到a的最短时间为

7、0.4s,则该振子的振动频率为：A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz.答案：B例3一质点在平衡位置O点附近作简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点，则该质点的第三次经过M的所需要的时间是多少？答案：14s秒 或 10/3秒三、典型的简谐运动1.弹簧振子。（1）周期，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。（2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。（3）水平弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；竖直弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。2.单摆。（1）定义：线：不可伸长，

8、忽略质量；球：可视为质点；悬点：固定。（2）单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力不为零。（3）当单摆的摆角很小时（小于10)时，单摆的周期，与摆球质量m、振幅A都无关。其中l为摆长，等于从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。（4）小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径和小球半径的差。（5）秒摆：T=2s，L约为1米。（6）摆钟问题。单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格

9、子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数），再由频率公式可以得到 （7）利用单摆的周期公式测重力加速度.四、简谐运动图象1.必须掌握两种图象的分析:实际运动图的分析及各运动量函数图象的分析.2.根据简谐运动规律,利用图象可以得出以下判断:(1)振幅A、周期T以及各时刻振子的位置。(2)各时刻位移、回复力、加速度、速度的方向。(3)某段时间内振子的路程(4)某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、动量、势能、总能量的变化情况。(5)振动方向的判断例8.如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（t=0），经过周期，振子具有正方向的最大加速

10、度，那么四个振动图线中正确反映了振子的振动情况的图线是（）D 例9如图为一质点作简谐运动的图象，则在图中t1和t2两个时刻，振子具有相同的物理量是（ ）例9图A/2-A/2t1t/sx/cmt2642例11图-22t/sx/cm1-1甲乙0.2例10图t/sx/cm5-50.4A、加速度 B、位移 C、速度 D、回复力 C【例10】一质点做简谐运动，如图所示，在0.2 s 到0.3 s这段时间内质点的运动情况是（）A、沿负方向运动，且速度不断增大 B、沿负方向运动，且位移不断增大C、沿正方向运动，且速度不断增大 D、沿正方向运动，且加速度不断增大C【例11】如图所示，是质量相等的甲、乙两个物体

11、分别做简谐运动时的图象，则（）A、甲、乙物体的振幅分别是2 m和1 m B、甲的振动频率比乙的大C、前2 s内两物体的加速度均为负值 D、第2s末甲的速度最大,乙的加速度最大BCD【例12】如图所示为某一声音的振动图象，关于这个声音的判断正确的是（）A、该声是单个简谐运动的声源发出的 B、振动周期是2 sC、振动频率为 D、振动周期为O例12图FED0.2 0.4 0.6-44t/sx/cmABC例11图t/sx/cm1 2 4 6 7 8 10 12C 【例13】如图所示是一弹簧振子的振动图象，由图可知，该振子的振幅是 ，周期是 ，频率是 ，振子在0.8 s内通过的路程是 ，若振子从A时刻开

12、始计时，那么到 点为止，振子完成了一次全振动，图象上B点振子的速度方向是 ，D点振子的速度方向是 。答案：4 cm 0.4 s 2.5Hz 32 cm E -x方向 +x方向【例14】如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中A、B始终保持相对静止，图中能正确反映振动过程中A受的摩擦力Ff与振子的位移x关系的图线应为( )C 例4 如图所示的是做简谐运动的质点的振动图像，那么在下列时间内，质点加速度的大小和方向将（ ）A在0内，沿x轴的负方向，大小在减小B在0内，沿x轴的正方向，大小在减小 C在内，沿x轴的正方向，大小在减小D在内，沿x轴的负方向，大小在增大答案:A例5一弹簧振子作简谐振

13、动，周期为TA.若t时刻和(t+t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍 B.若t时刻和(t+t) 时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则t一定等于的整数倍 C.若t=T，则在t时刻和(t+t) 时刻振子运动的加速度一定相等 D.若t=T/2，则在t时刻和(t+t)时刻弹簧的长度一定相等答案：C（利用函数图像分析）五、受迫振动与共振。1.受迫振动。物体在周期性外力（既驱动力）作用下的振动叫受迫振动。（1）物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。（2）物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越

14、大受迫振动的振幅越小。2.共振。当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。 要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。（1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千（2）防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢。3、无阻尼振动:振幅不变的振动。可以受到阻力阻尼振动：振幅逐渐减小的振动。典型问题和方法：3利用简谐运动对称性分析：例1. 如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。最大振幅A是多大？在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？解：该振动的回复力是

15、弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。最大振幅应满足kA=mg,A=小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，Fm=2mg例2如图所示,竖直悬挂的轻质弹簧下端系着A、B两个重球,质量分别为mA=100g,mB=500g，系统静止时弹簧伸长x=15cm，未超出弹性限度，

16、若剪断A、B间的细绳，则A在竖直方向做简谐运动，g取10m/s2，求： （1）A球的振幅多大？ （2）A球的最大加速度多大？答案：（1）12.5cm（2）50m/s2例3.一平台沿竖直方向作简谐振动，一物体置于振动的平台上随台一起运动。当振动平台处于什么位置时，物体对平台的压力最大？A.当振动平台运动到最高点时 B.当振动平台向下过振动中心时 C.当振动平台运动到最低点时 D.当振动平台向上过振动中心时答案：C讨论：（1）若平台放在轻弹簧上，要使上面的物体不离开平台，振动的最大加速度满足什么条件？答案：（可以讨论M=0和M不等于零的两种情况）（2）若平台与物体恰能再竖直平面内做简谐运动，则运动

17、到最低点时物体对平台的压力是多少？答案：2mg（3）若物体从离静止的平台上方一定高度h的地方释放，与平台碰撞后一起向下运动，则运动到最低点时平台和物体的加速度满足什么条件？答案：（可以讨论M=0和M不等于零的两种情况）例4.如图所示，质量.kg的物体，放在64 kg的平台上，平台跟竖立在地面上的轻弹簧相连接，弹簧的下端固定，若物块与平台一起上下振动，振幅为10 cm，当滑块运动到最高点时，对平台压力恰好为零，则：弹簧的劲度系数多大?滑块运动到最低点时，对平台的压力多大?答案：6.45103；10 N 4单摆周期：例1 秒摆摆球质量为0.2kg，它振动到最大位移时距最低点的高度为0.4m，当它完

18、成10次全振动回到最大位移时，因有阻力作用，距最低点的高度变为0.3m，如果每振动10次给它补充一次能量，使摆球回到原高度，那么1min内总共应补充多少能量（g取10m/s2）答案：0.6J例2. 已知单摆摆线长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？解：该摆在竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为和，因此该摆的周期为:例3 在相同时间内单摆甲做了10次全振动，单摆乙做了6次全振动，两个单摆的摆长之差为16cm，试求两摆的摆长各是多大？答案：0.09m、0.25m5等效单摆：例1.固定圆弧轨道弧AB所含度数小于10，末端切线水平。两个相同的小球a、b分

19、别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间有tatb，比较它们到达底端的动能有Ea2Eb。解：两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta= tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea2Eb。例2 如图所示，A是半径为R的光滑圆弧轨道的最低点，B、C为两个相同的小球（可视为质点），将B放在A点正上方h处，将C放在离A点很近的轨道上，让B、C同时从静止开始释放（不计空所阻力），正好在A点相遇，则h的高度是多少？答案：例3 有一水平轨道AB，在B点处与半径为300m的光滑弧形轨道BC相切，一质量为0.9

20、9kg的木块静止于B处，现有一颗质量为10g的子弹以500m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出，如图所示，已知木块与该水平轨道AB间的动摩擦因数.g取10m/s2，试求子弹射入木块后，木块需经多长时间停止？（cos5o=0.996）答案： ABCD例4、如图所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D，其中甲是从圆心A出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B到达另一端D，丙沿圆轨道从C点运动到D，且C点很靠近D点。如果忽略一切摩擦阻力，试比较三球到达D点的时间的大小？解：， ，（提示：计算时用到一个结论：竖直面内园弧上物体从园弧上最

21、高点静止开始沿任一条光滑弦到达另一点（或从任一点静止开始沿光滑弦到达最低点）所花的时间相同，都等于物体静止从最高点自由落体到最低点的时间。6等效摆长和等效重力加速度：7摆钟问题例1北京的重力加速度为，南京的重力加速度为，在北京走时准确的摆钟，如果放在南京，钟走快还是走慢，一昼夜差多少？要使其准确，应如何调整摆长。解析：（1）设标准时间为t，由，因,所以。一昼夜摆的次数,钟上显示的时间（为摆钟一次全振动摆钟走的时间，对相同的摆钟应相同）,所以摆钟在南京走慢。（2）设一昼夜的时间t，在北京摆的周期为，一昼夜振动的次数为,在北京摆的周期为，一昼夜振动的次数为.一昼夜摆的次数，所以钟上显示的时间，所以

22、一昼夜相差的时间为（3）若要调整，要缩短摆长，减小振动周期，增加振动次数即可。，当，摆钟走时准确。 所以8共振问题例1 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这就做了一个共振筛，筛子自由振动时每次全振动用时2s，在某电压下电动偏心轮转速是36r/min，已知，如果增大电压可以使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期，那么，要使筛子的振幅变大，可采取哪些措施？答案：降低电压、减小质量例2 如图所示，一弹簧振子做受迫振动时振幅A跟驱动力频率f的关系图象，由此可知，弹簧振子的固有频率为 ，当f=f1时，振子振动频率为 .振幅A最大时，驱动力频率

23、f= .若f2- f1= f3- f2，且当驱动力频率为f1时，振幅为A1，当驱动力频率为f3时，振幅为A3试比较A1和A3的大小。答案：f2、f1、f2 无法比较9简谐运动的能量例1 光滑水平面上的弹簧振子，质量为50g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t=0.2s时振子第一次通过平衡位置，此时速度为4m/s，则在t=1.2s末，弹簧的弹性势能为多大？该弹簧振子做简揩运动时其动能的变化频率是多大？答案：0.40J、2.5H2例2、若弹簧振子的振子质量增加为原来的4倍，振子经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2，则弹簧振子的A.频率不变，振幅不变 B.频率不变，振幅改变C.频率改

24、变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变答案：D例3、若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2，则单摆振动的A.频率不变，振幅不变 B.频率不变，振幅改变C.频率改变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变答案：B例3一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为400，在弹簧的上端与盒子连接在一起，盒子内装物体，的上下表面恰与盒子接触，如图所示，和的质量1，102，不计阻力，先将向上抬高使弹簧从原长伸长5后从静止释放，和一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧的形变大小（1）试求的振幅；（2）试求的最大速率；（3）试求在最高点和最低点对的作用力解：（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩：（），5开始释放时振子处在最大位移处，故振幅5510（2）由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速度为，从开始到平衡位置，根据机械能守恒定律，得22，1.4，即的最大速率为1.4（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，根据牛顿第二定律，得（）（）202，对的作用力方向向下，其大小110在最低点，振子受到的重力和弹力方向相反，根据牛顿第二定律，得（）（）202对的作用力方向向上，其大小230