第十五次课相似矩阵及矩阵的对角化课件.ppt

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1、第十五次课相似矩阵及矩阵的对角化第1页，此课件共42页哦一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念 定义定义1 1 设设A A，B B为为n n阶方阵，如果存在可逆矩阵阶方阵，如果存在可逆矩阵P P，使得，使得 P P 1 1 A PA P=B B成立，则称矩阵成立，则称矩阵A A与与B B相似，记为相似，记为A A B B。称。称P P为相似变换矩阵。为相似变换矩阵。相似关系是矩阵间的一种等价关系，即满足相似关系是矩阵间的一种等价关系，即满足 自反性：自反性：A A A A ，对称性：对称性：若若A A B B，则则B B A A 传递性传递性：若：若A A B B，B B ，则则 A A 第2页

2、，此课件共42页哦 1.1.如果方阵如果方阵A A与与B B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相 同的特征值。即同的特征值。即 若若A A B B，则，则|l lE-A|=|l lE-B|l lE-B|=|P-1(l lE)P-P-1AP|=|l lE-P-1AP|=|P-1(l lE-A)P|=|P-1|l lE-A|P|=|l lE-A|，二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质 A与与B有相同的特征多项式，有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值。所以它们有相同的特征值。2.2.相似矩阵的行列式相等。即若相似矩阵的行列式相等。即若AB，则，则|A

3、|=|B|B|=|P-1AP|=|P-1|A|P|=|A|P-1P|=|A|证明：证明：因为因为P-1AP=B，第3页，此课件共42页哦3.3.相似矩阵有相同的迹。相似矩阵有相同的迹。即即 若若AB，则，则4.4.相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。若都可逆，其逆矩阵也相似。若都可逆，其逆矩阵也相似。第4页，此课件共42页哦 5.5.相似矩阵有相同的秩。即若相似矩阵有相同的秩。即若AB，则，则R（A）=R（B）注意：以上性质均注意：以上性质均为相似的必要条件为相似的必要条件，可以用来，可以用来排除哪些矩阵不相似。排除哪些矩阵不相似。第5页，此课件共42页哦例例5

4、若相似于对角阵若相似于对角阵L L，则存在可逆阵，使，则存在可逆阵，使则则A=PL L P-1 A=（PL L P-1）（）（PL L P-1）PL L P-1,AAA（PL L P-1）（）（PL L P-1）PL LP-1,AmPL L m P-1证明证明因为相似于对角阵因为相似于对角阵L L，故存在可逆阵，使，故存在可逆阵，使P-1A P L L,一般的：一般的：AmPL L m P-1。第6页，此课件共42页哦利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式k个个第7页，此课件共42页哦利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A的的多项式多项式.第8页，此课

5、件共42页哦定理定理证明证明第9页，此课件共42页哦例例1若若求求x，y解得：解得：x=-17,y=-12解解：由于和相似，所以：由于和相似，所以tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即即22+x =1+422x-31y=4-6第10页，此课件共42页哦解解：由于矩阵和相似，所以：由于矩阵和相似，所以|A|=|D|,即即|A|=|D|12.例例设设3阶方阵阶方阵A相似于矩阵相似于矩阵，求，求|A|第11页，此课件共42页哦第12页，此课件共42页哦三、三、n n 阶方阵与对角矩阵相似的条件阶方阵与对角矩阵相似的条件相似矩阵具有许多共同的性质，因此，对于相似矩阵具有许多共同的性质，因此，对于n

6、 n 阶方阵阶方阵A A，我我们们希希望望在在与与A A相相似似的的矩矩阵阵中中寻寻求求一一个个较较简简单单的的矩矩阵阵。在在研研究究A A的性质时，只需先研究这一较简单矩阵的同类性质。的性质时，只需先研究这一较简单矩阵的同类性质。下页下页若若 方阵方阵A与一个对角阵与一个对角阵L L相似，则称方阵相似，则称方阵A可对角化可对角化。记为记为 A L L，并称并称 LL 是是A 的相似标准形。的相似标准形。问问 n n 阶方阵阶方阵A与一个对角矩阵与一个对角矩阵LL相似的条件？相似的条件？第13页，此课件共42页哦(l l1X1,l l2X2,l lnXn)(X1,X2,Xn)l l1 10 0

7、0l l2 2 000 l ln 思考题思考题=?第14页，此课件共42页哦下面讨论对角化的问题下面讨论对角化的问题这说明这说明：如果：如果A可对角化，它必有可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是个线性无关的特征向量，就是P的的n个列；反之，如果个列；反之，如果A有有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆可逆)，把上面过程逆过来即知，把上面过程逆过来即知A可对角化。可对角化。定理定理n阶矩阵阶矩阵A可对角可对角化的充要条件是化的充要条件是A有有n个线性无个线性无关的特征向量。关的特征向量。第15页，此课件共42页哦二、矩阵的对角化二、矩阵的对角化（

8、利用相似变换把方阵对角化）（利用相似变换把方阵对角化）定理5.3(P130)阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）有 个线性无关的特征向量。注意：这时P和对角阵是如何构成的？第16页，此课件共42页哦可验证可验证线性无关，故线性无关，故A可对角化可对角化.见后面注见后面注第第1步步求特征值求特征值即求即求的基础解系的基础解系第第2步步求线性无关的特征向量，求线性无关的特征向量，例例2 2讨论矩阵讨论矩阵是否可对角化是否可对角化.若可以，求若可以，求可逆矩阵可逆矩阵P使使为对角矩阵为对角矩阵.参见参见5.1例例3第17页，此课件共42页哦第第3步步把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵把线性无关的特征向量拼

9、成可逆矩阵P.第第4步步写出相似变换及对角矩阵写出相似变换及对角矩阵.注注注注下面的定理告诉我们，本题中下面的定理告诉我们，本题中的线性无关性不需的线性无关性不需要验证要验证.第18页，此课件共42页哦如果确定A是否有N个线性无关的特征向量？第19页，此课件共42页哦第20页，此课件共42页哦例例6、矛盾。矛盾。证明证明第21页，此课件共42页哦证明证明则则即即类推之，有类推之，有第22页，此课件共42页哦把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得第23页，此课件共42页哦推论5.1 若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,则 可对角化。（与对角阵相似）(逆命题不成立)第24页，此课

10、件共42页哦不同特征值对应的线性无关的特征向量不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的。合并以后仍是线性无关的。即设即设是矩阵是矩阵A的不同的特征值，的不同的特征值，又设又设对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为则则仍是线性无关的。仍是线性无关的。定理定理5.4第25页，此课件共42页哦第26页，此课件共42页哦证证(只证两个不同特征值的情况只证两个不同特征值的情况)设设上式两边左乘上式两边左乘A 得得再由再由线性无关得线性无关得类似可得类似可得由假设由假设得得第27页，此课件共42页哦设设的所有

11、不同的特征值为的所有不同的特征值为则则注注：就是就是的重根数，称之为的重根数，称之为的的(代数代数)重重数数，就是就是对应的最大无关特征向量的个数，称对应的最大无关特征向量的个数，称之为之为的的几何重数几何重数。该定理说明：该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的个数任一特征值对应的无关特征向量的个数任一特征值对应的无关特征向量的个数任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数至少有一个，至多不会超过它的重数至少有一个，至多不会超过它的重数至少有一个，至多不会超过它的重数。如果是单重特征值，。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。它有一个且仅有一个无关的特

12、征向量。定理定理5.5第28页，此课件共42页哦定理定理5.6 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A的每个特征的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。值的代数重数等于它的几何重数。即即设设互不同，此时互不同，此时则则A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是亦即：亦即：的重数的重数恰好等于它对应的最大无关特征恰好等于它对应的最大无关特征向量的个数。向量的个数。简称简称简称简称:几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量.第29页，此课件共42页哦定理定理5.6 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A

13、的每个特征的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。值的代数重数等于它的几何重数。简称简称简称简称:几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量几重特征值有几个特征向量.第30页，此课件共42页哦例例.判断下列矩阵是否下列判断下列矩阵是否下列矩阵是否相似于对角阵，若相矩阵是否相似于对角阵，若相似求可逆矩阵，使似求可逆矩阵，使P-1A P=L-11-4（）（）.B=103020解解：(2).矩阵矩阵B的特征方程为的特征方程为l+1-14-10l-30l-20|E-B|=(l-2)(l-1)2=0，矩阵矩阵A的特征值为：的特征值为：l1 l2=1,l3 2，对于特征值对于

14、特征值l1 l2=1,解线性方程解线性方程组组(E-B)X o，得其基础解系得其基础解系X1=，12-1B不能对角化不能对角化第31页，此课件共42页哦判断判断n n阶方阵阶方阵A A能否对角化以及对角化的具体步骤为：能否对角化以及对角化的具体步骤为：的基础解系：的基础解系：Xi1，Xi2，Xiki3.当当Ln时时，A不能对角化；当不能对角化；当L=n时，时，A可以对角化。可以对角化。4 4.构造可逆矩阵构造可逆矩阵P=P=（X X1 1，X Xn n），则），则2.对每个特征值求对每个特征值求1.求求A的所不同特征值的所不同特征值l l1 1.l ls第32页，此课件共42页哦解：解：由和相

15、似得：由和相似得：tr(A)=tr(B)|A|=|B|l1 l2=2,l3 6对于特征值对于特征值l1 l2=,解线性方程解线性方程组组(E-A)X o，-110101得其基础解系得其基础解系X1=及及X2=对于特征值对于特征值l3=6，解线性方，解线性方程程组组(6E-A)x o，由于和相似，且是一由于和相似，且是一个对角阵，可得个对角阵，可得的特征值是的特征值是所以所以得其基础解系得其基础解系X3=，1-235+x=4+y6x-6=4y解之得：解之得：x=5,y=6第33页，此课件共42页哦解：由解：由a a1=a a1，a a=，a a=-a a3可得可得：l l 1，l l 0，l l

16、-1是的特征值，是的特征值，a a1，a a，a a是对应于上述特征是对应于上述特征值的特征向量值的特征向量容易验证容易验证a a1，a a，a a是阶方是阶方阵的个线性无关的特征向量阵的个线性无关的特征向量所以相似于对角阵所以相似于对角阵diag(1,0,-1)取取（a a1，a a，a a）则有则有P-1A P L L，所以，所以 A A=PL L P-1 A A 5=PL L 5P PL L P-1=A 例例6设阶方阵满足设阶方阵满足求和求和A5其中其中第34页，此课件共42页哦例例7能否对角化，只需检查二重根能否对角化，只需检查二重根对应的特征向量？对应的特征向量？第35页，此课件共42页哦相似矩阵的定义相似矩阵的定义矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化的充要条件矩阵可对角化时对角阵的对角线上的元素与矩阵的关系矩阵可对角化时对角阵的对角线上的元素与矩阵的关系要求：要求：第36页，此课件共42页哦第37页，此课件共42页哦第38页，此课件共42页哦第39页，此课件共42页哦第40页，此课件共42页哦第41页，此课件共42页哦作业 P1392 3 4 5 6 第42页，此课件共42页哦