【奥赛】小学数学竞赛：同余问题.学生版解题技巧 培优 易错 难.pdf

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1、5-5-3.5-5-3.同余问题同余问题教学目标教学目标1.学习同余的性质2.利用整除性质判别余数知识点拨知识点拨同余定理1 1、定义：定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：ab(modm)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。2 2、重要性质及推论：、重要性质及推论：（1）若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除（1711）（2）用式子表示为：如果有ab(mod m)，那么一定有 abmk,k 是整数，即 m|

2、(ab)3 3、余数判别法、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被 m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与 R 对于除数 m 同余由于 R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余数 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的个位数被 2 或 5 除的余数；整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4 或 25 除的余数；整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数；

3、整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被3 或 9 除的余数；整数 N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数；（不够减的话先适当加 11 的倍数再减）；整数 N 被 7，11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被 7，11 或 13 除的余数就是原数被7，11 或 13 除的余数例题精讲例题精讲模块一、两个数的同余问题【例【例 1 1】有一个整数，除有一个整数，除 39,51,14739,51,147 所得的余数都是所得的余数都是 3 3，求这个数，求这个数.【例【例 2

4、2】某个两位数加上某个两位数加上 3 3 后被后被 3 3 除余除余 1 1，加上加上 4 4 后被后被 4 4 除余除余 1 1，加上加上 5 5 后被后被 5 5 除余除余 1 1，这个两位数是这个两位数是_._.【例【例 3 3】有一个自然数，除有一个自然数，除 345345 和和 543543 所得的余数相同，且商相差所得的余数相同，且商相差 3333求这个数是多少？求这个数是多少？【例【例 4 4】一个大于一个大于 1010 的自然数去除的自然数去除 9090、164164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220220 后所得的余数，后所

5、得的余数，则这个自然数是多少？则这个自然数是多少？【例【例 5 5】两位自然数两位自然数ab与与ba除以除以 7 7 都余都余 1 1，并且，并且a b，求，求abba【例【例 6 6】现有糖果现有糖果 254254 粒粒,饼干饼干 210210 块和桔子块和桔子 186186 个个.某幼儿园大班人数超过某幼儿园大班人数超过 40.40.每人分得一样多的糖果每人分得一样多的糖果,一样一样多的饼干多的饼干,也分得一样多的桔子。也分得一样多的桔子。余下的糖果、余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：饼干和桔子的数量的比是：1 1：3 3：2 2，这个大班有这个大班有_名小朋友，每人分得糖果名小朋友，每

6、人分得糖果_粒，饼干粒，饼干_块，桔子块，桔子_个。个。模块二、三个数的同余问题【例【例 7 7】有一个大于有一个大于 1 1 的整数，除的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数所得的余数相同，求这个数.【巩巩固固】有有一个整数，除一个整数，除 300300、262262、205205 得到相同的余数。问这个整数是几得到相同的余数。问这个整数是几?【巩巩固固】在在除除 1351113511，1390313903 及及 1458914589 时能剩下相同余数的最大整数是时能剩下相同余数的最大整数是_【巩巩固固】1 14040，225225，293293 被某大于被某大于 1 1 的自

7、然数除的自然数除,所得余数都相同。所得余数都相同。20022002 除以这个自然数的余数是除以这个自然数的余数是.【巩巩固固】三三个数：个数：2323，5151，7272，各除以大于，各除以大于 1 1 的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。【例【例 8 8】学校新买来学校新买来 118118个乒乓球，个乒乓球，6767 个乒乓球拍和个乒乓球拍和 3333 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？

8、【例【例 9 9】若若 28362836，45824582，51645164，65226522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为和余数的和为_【例【例 10 10】一一个大于个大于 1 1 的数去除的数去除 290290，235235，200200 时，得余数分别为时，得余数分别为a，a2，a5，则这个自然数是多少？，则这个自然数是多少？【巩巩固固】有有 3 3 个吉利数个吉利数 888888，518518，666666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为，用它们分别除以同一个自然数，

9、所得的余数依次为 a a,a a+7,+7,a a+10,+10,则这则这个自然数是个自然数是_._.【例【例 11 11】一一个自然数除个自然数除 429429、791791、500500 所得的余数分别是所得的余数分别是a 5、2a、a，求这个自然数和，求这个自然数和a的值的值.【例【例 12 12】甲甲、乙、丙三数分别为、乙、丙三数分别为603603，939939，393393某数某数A除甲数所得余数是除甲数所得余数是A除乙数所得余数的除乙数所得余数的 2 2 倍，倍，A除除乙数所得余数是乙数所得余数是A除丙数所得余数的除丙数所得余数的 2 2 倍求倍求A等于多少？等于多少？【例【例 1

10、3 13】已已知知 6060，154154，200200 被某自然数除所得的余数分别是被某自然数除所得的余数分别是a 1，a2，a31，求该自然数的值，求该自然数的值【例【例 14 14】有有一个自然数，它除以一个自然数，它除以15、17、19所得到的商所得到的商(1)与余数与余数(0)之和都相等，这样的数最小可能之和都相等，这样的数最小可能是多少是多少【例【例 15 15】三三个不同的自然数的和为个不同的自然数的和为 20012001，它们分别除以，它们分别除以 19,23,3119,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是个数是_，_，_。

11、模块三、运用同余进行论证【例【例 16 16】在在 333 3 的方格表中已如右图填入了的方格表中已如右图填入了 9 9 个质数。将表中同一行或同一列的个质数。将表中同一行或同一列的 3 3 个数加上相同的自然数个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中 9 9 个数都变为相同的数吗？为什么？个数都变为相同的数吗？为什么？【例【例 17 17】一一个三位数除以个三位数除以 1717 和和 1919 都有余数，都有余数，并且除以并且除以 1717 后所得的商与余数的和等于它除以后所得的商与余数的和等于它除以 1919 后所得到的后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【例【例 18 18】从从 1 1，2 2，3 3，n n 中，中，任取任取 5757 个数，个数，使这使这 5757 个数必有两个数的差为个数必有两个数的差为 1313，则则 n n 的最大值为多少？的最大值为多少？【例【例 19 19】设设2n1是质数，证明：是质数，证明：12，22，n2被被2n1除所得的余数各不相同除所得的余数各不相同