2003年高考.北京卷.理科数学试题及答案.pdf

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1、绝密启用前2003 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第卷（选择题）第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题 共 50 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式11sincossin()sin()S台侧(c c)l221cossinsin()sin()其中c、c分别

2、表示上、下底面21周长，l表示斜高或母线长.coscoscos()cos()214sinsin cos()cos()球体的体积公式：V球R3，其中23R 表示球的半径.一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1设集合A x|x 1 0,B x|log2x 0|,则A B等于Ax|x 1Cx|x 10.92（）Bx|x 0Dx|x 1或x 1Dy1y3y2（）（）2设y1 41,y2 80.44,y3()1.5，则2By2y1y3Cy1y2y3Ay3y1y23“cos2 3”是“k5,k Z”的212A必要非充分条件B充分非必要条

3、件C充分必要条件D既非充分又非必要条件4已知，是平面，m，n 是直线.下列命题中不正确的是A若 mn，m，则 nC若 m，m，则2（）B若 m，=n，则 mnD若 m，m，则D双曲线D5（）（）5极坐标方程cos2 2cos1表示的曲线是A圆B椭圆C抛物线6若zC且|z 2 2i|1,则|z 2 2i|的最小值是A2B3C47如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A2B32C2 33D128从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有A24 种B18 种C12 种D6 种（）3n 2n(

4、1)n(3n 2n),n 1,2,，则9若数列an的通项公式是an2lim(a1 a2 an)等于nC（）A1124B17241924D252410某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班 k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 1，2，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令aij1,第i号同学同意第j号同学当选.j号同学当选.0,第i号同学不同意第其中 i=1，2，k，且 j=1，2，k，则同时同意第 1，2 号同学当选的人数为（）Aa11 a12 a1k a21 a22 a2kBa11 a21 a1k a12 a22 ak2Ca11a12 a21a22 ak1ak

5、2Da11a21 a12a22 a1ka2k第卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.x 1.x 2,2|x|1.11函数f(x)lg(1 x),g(x)0 x 2,x 1.是偶函数.h(x)tg2x中，x2y21右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是12以双曲线16913如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.14将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题

6、共 6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分 13 分）已知函数f(x)cos x 2sin xcos x sin x.（）求f(x)的最小正周期；（）若x0,442，求f(x)的最大值、最小值.16（本小题满分 13 分）已知数列an是等差数列，且a1 2,a1 a2 a312.（）求数列an的通项公式；n（）令bn anx(x R).求数列bn前 n 项和的公式.17（本小题满分 15 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长的 3，侧棱 AA1=点，且 BD=BC.（）求证：直线 BC1/平面 AB1D；（）求二面角 B1ADB 的大小；（

7、）求三棱锥 C1ABB1的体积.18（本小题满分 15 分）3 3,D 是 CB 延长线上一2如图，椭圆的长轴 A1A2与 x 轴平行，短轴 B1B2在 y 轴上，中心为 M（0，r）（b r 0).（）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（）直线y k1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y2 0);直线y k2x交椭圆于两点G(x3,y3),H(x4,y4)(y4 0).求证：k x xk1x1x2234；x1x2x3 x4（）对于（）中的C，D，G，H，设 CH 交 x 轴于点 P，GD 交 x 轴于点 Q.求证：|OP|=|OQ|.（证明过程不考虑 CH 或 GD

8、垂直于 x 轴的情形）19（本小题满分 14 分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C 三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）（）若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小，点 P 应位于何处？（）若希望点 P 到三镇的最远距离为最小，点 P 应位于何处？20（本小题满分 14 分）设y f(x)是定义在区间1,1上的函数，且满足条件：（i）f(1)f(1)0;（ii）对任意的u,v1,1,都有|f(u)f(v)|u v|.（）证明：对任意的x1,1,都有x 1 f(x)1 x;（）证明：对任意的u,v

9、1,1,都有|f(u)f(v)|1;（）在区间1，1上是否存在满足题设条件的奇函数y f(x)，且使得1|f(u)f(v)|u v|.当u,v0,.2|f(u)f(v)|u v|,当u,v1,1.2若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.绝密启用前2003 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 50 分.1A2D3A4B5D6B7C8C9C10C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.11f(x);g(x)12y2 36(x 4)13124r(a b)142 4三、解答

10、题：本大题共 6 小题，共 84 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13 分.（）解：因为f(x)cos4x 2sin xcos x sin4x(cos2x sin2x)(cos2x sin2x)sin2x cos2x sin2x 2cos(2x 所以4)f(x)的最小正周期T 22.2444（）解：因为0 x 所以5,2x.当2x 时，cos(2x)取得最大值2；当2x 44442时，cos(2x)取得最小4值1.所以f(x)在0,上的最大值为 1，最小值为2.2a1 a2 a3 3a13d

11、 12,又a1 2,d 2.16本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分 13 分.（）解：设数列an公差为d，则所以an 2n.（）解：令Sn b1b2bn,则由bn anxn 2nxn,得Sn 2x 4x2(2n 2)xn1 2nxn,xSn 2x2 4x3(2n 2)xn 2nxn1,当x 1时，式减去式，得(1 x)Sn 2(x x x)2nx2nn12x(1 xn)2nxn1,1 xnn1所以S 2x(1 x)2nx.n1 x(1 x)2当x当x1时,Sn 2 4 2n n(n1)综上可得当x 1时,Sn n(n1)1时，Sn2x(1 x

12、n)2nxn1.1 x(1 x)217本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分 15 分.（）证明：CD/C1B1，又 BD=BC=B1C1，四边形 BDB1C1是平行四边形，BC1/DB1.又 DB1平面 AB1D，BC1平面 AB1D，直线 BC1/平面 AB1D.（）解：过 B 作 BEAD 于 E，连结 EB1，B1B平面 ABD，B1EAD，B1EB 是二面角 B1ADB 的平面角，BD=BC=AB，E 是 AD 的中点，BE 1AC 3.22在 RtB1BE 中，33B1B2tgB1BE 3.B1EB=60。即二面

13、角 B1ADB 的大小为 603BE2（）解法一：过 A 作 AFBC 于 F，B1B平面 ABC，平面 ABC平面 BB1C1C，AF平面 BB1C1C，且 AF=333 3,VC ABBVA BB C1S B B C AF223111111 111(13 33)3 327.即三棱锥 C1ABB1的体积为27.3 22288解法二：在三棱柱 ABCA1B1C1中，SABB1 SAA BVC1ABB1VC1AA1B1VAA1B1C11 11323 327即三棱锥 C1ABB1的体积为271S(43).A1B1C1 AA133428818本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的

14、能力.满分 15 分.22x(y r)（）解：椭圆方程为焦点坐标为F1(a2b2,r),F2(a2b2,r),1,a2b2离心率e a2b2.a（）证明：将直线 CD 的方程y k1x代入椭圆方程，得b2x2 a2(k1x r)2 a2b2,整理得(b2 a2k12)x2 2k1a2rx(a2r2 a2b2)0.根据韦达定理，得2k1a2ra2r2 a2b2所以x1x2r2b2x1 x22,x1x22b a2k12b a2k12x1 x22k1r将直线 GH 的方程22y k2x代入椭圆方程，同理可得x3x4r b，x3 x42k2rk1x1x2r2b2k2x1x2由，得x1 x22rx1 x

15、2所以结论成立.（）证明：设点 P（p,0），点 Q（q,0），由 C、P、H 共线，得x1 pk1x1解得p(k1 k2)x1x2，,k1x1 k2x2x2 pk2x2(k1 k2)x2x3k1x1x2k x x由234,k1x2 k2x3x1 x2x3 x4x2x3x1x4k1x2k2x3k1x1k2x4由 D、Q、G 共线，同理可得q 变形得即(k1 k2)x2x3(k1 k2)x1x4k1x2 k2x3k1x1 k2x4所以|p|q|,即|OP|OQ|.19本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：由题设可知，a平方和为数，

16、则 P 至三镇距离的 b 0,记h a2b2,设 P 的坐标为（0，y）时，函hh2f(y)2(b2 y2)(h y)2 3(y)2h2 2b2.所以，当y 33312a b2).3f(y)取得最小值.答:点 P 的坐标是(0,（）解法一：P 至三镇的最远距离为g(x)b2 y2,当 b2 y2|h y|,22|h y|,当 b y|h y|.由h2b2h2b2*,记y,于是b y|h y|解得y 2h2h222222*h bnb y,当y y,g(y)当y 0,即h b时，b2 y2在2h*|h y|,当y y.y*,)上是增函数，而|h*y|在(-,y*上是减函数.由此可知,当y yn时,

17、函数g(y)取得最小值.当,而h2b2y 0,即2hh b时,函数b2 y2在 y*,)上,当y 0时,取得最小值b|h y|在(-,y*上为减函数,且|h y|b.可见,当y 0时,函数g(y)取得最小值.答当h b时,点 P 的坐标为(0,a2 2b22 a2b2);当h b时,点 P 的坐标为(0,0),其中h a2b2,b2 y2,当 b2 y2|h y|,解法二:P 至三镇的最远距离为g(y)由b2 y2|h y|解得22|h y|,当 b y|h y|.h2b2h2b2*,于是y,记y 2h2h2*2g(y)b y,当y y,*|h y|,当y y.当当y*0,即h b时,z g(

18、y)的图象如图(a)，因此，当y y*时，函数g(y)取得最小值.y y*,即h b时,z g(y)的图象如图(b)，因此，当y 0时，函数g(y)取得最小值.答：当h b时，点P 的坐标为(0,a2 2b22 a2b2);当h22，其中h a b.b，点P 的坐标为（0，0）22解法三：因为在ABC 中，AB=AC=a,所以ABC 的外心 M 在射线 AO 上，其坐标为(0,a 2b)，222 a b且 AM=BM=CM.当 P 在射线 MA 上，记 P 为 P1；当 P 在射线 MA 的反向延长线上，记 P 为 P2，若h，则点 M 在线段 AO 上，a2b2 b（如图 1）这时 P 到

19、A、B、C 三点的最远距离为P1C 和 P2A，且 P1CMC，P2AMA，所以点 P 与外心 M重合时，P 到三镇的最远距离最小.若h a2b2 b(如图 2),则点 M 在线段 AO 外,这时P 到 A、B、C 三点的最远距离为 P1C 或 P2A，且 P1COC，P2AOC，所以点 P 与 BC 边中点 O 重合时，P 到三镇的最远距离最小为b.答：当h(0,a2 2b22 a2b2a2b2 b时，点 P 的位置在ABC 的外心)；当h a2b2 b时，点 P 的位置在原点 O.20本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）证明：

20、由题设条件可知，当x1,1时，有|f(x)|f(x)f(1)|x 1|1 x,即x 1 f(x)1 x.时,有|f(u)-f(v)|u-v|1.（）证法一：对任意的u,v1,1,当|u v|1时,uv当|u-v|1所以，|0,不妨设u 0,则v 0且v-u 1,f(u)f(v)|f(u)f(1)|f(v)f(1)|u 1|v 1|f(u)f(v)|1.1u 1v 2(v u)1.综上可知，对任意的u,v1,1,都有|证法二：由（）可得，当x0,1时,f(x)1-x,x1,0时,|f(x)|f(x)f(1)1 x 1|x|.所以，当x1,1时,|f(x)1|x|.因此，对任意的u,v1,1,当|

21、u v|1时，|f(u)f(v)|u v|1.当|u v|1时，有uv 0且1|u v|u|v|2.所以|f(u)f(v)|f(u)|f(v)|1|u|1|v|2(|u|v)1.综上可知，对任意的u,v1,1,都有|f(u)f(v)|1.（）答：满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数f(x)满足条件，则由|1f(u)f(v)|u v|,u,v,1,2得|11111f()f(1)|1|.又f(1)0,所以|f()|.22222f(x)为奇数，所以f(0)0.由条件|1f(u)f(v)|u v|,u,v0,2又因为得111|f()|f()f(0)|.与矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.222