线性代数第四讲矩阵的概念及其加减乘运算精选PPT.ppt

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1、关于线性代数第四讲矩阵的概念及其加减乘运算第1页，讲稿共49张，创作于星期二 由 mn 个数 aij(i1,2,m；j1,2,n)排成的一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵一一 矩阵的定义矩阵的定义：a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnAm n=记作只能用 或(),不能用 第四讲 矩阵的概念及其运算第2页，讲稿共49张，创作于星期二1零矩阵零矩阵一一 部分特殊矩阵部分特殊矩阵所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记为O例如例如 若矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵2方阵方阵例如例如第3页，讲稿共49张，创作于星期二也可以用小

2、写黑体字母 3行矩阵与列矩阵：行矩阵与列矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵例如例如表示第4页，讲稿共49张，创作于星期二a110 00a220 00ann=4 4 对角矩阵：对角矩阵：如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵记为 =diag(a11,a22,ann)例如例如第5页，讲稿共49张，创作于星期二数量矩阵是特殊的对角矩阵a11a22anna0 00a0 00aA 如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵5 5 数量矩阵数量矩阵例如例如第6页，讲稿共49张，创作于星期二 如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为 I 或E 10 0010 001I 6 6 单位矩阵：单位矩阵：单位矩阵是

3、特殊的数量矩阵：a11a22anna1例如例如第7页，讲稿共49张，创作于星期二b11b21 bn10b22 bn2 00 bnnB A a11a12 a1n0a22 a2n 00 ann 如下形式的 n 阶矩阵称为上三角形矩阵7三角形矩阵：三角形矩阵：如下形式的 n 阶矩阵称为 下三角形矩阵例如例如第8页，讲稿共49张，创作于星期二 如果n阶矩阵A满足 ATA(即 aijaji ),则称A为对称矩阵Aa11 a12 a1na12 a22 a2n a1n a2n ann8 8 对称矩阵：对称矩阵：例如例如1 2 32 5 833 8 62 3 8 63 7 4 28 4 9 796 2 7 1

4、0 第9页，讲稿共49张，创作于星期二二二 矩阵的运算矩阵的运算(三三)矩阵的转置矩阵的转置(四四)方阵的行列式方阵的行列式(一一)矩阵的加法矩阵的加法,减法减法(二二)矩阵的乘法矩阵的乘法(五五)几种特殊矩阵几种特殊矩阵第10页，讲稿共49张，创作于星期二(一一)矩阵的加法矩阵的加法,减法减法（1）同型矩阵同型矩阵:（2）同型矩阵才能相加减同型矩阵才能相加减二矩阵行相同，列相同例A=12 324 5 6B=58 662 5 3为同型矩阵A=12 3 924 5 6 8B=58 662 5 3不同型（3）加法与减法法则:同型矩阵对应元素同型矩阵对应元素相加减第11页，讲稿共49张，创作于星期二

5、矩阵加法和减法定义定义:a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB AB=a11b11a12b12a1nb1na21b21a22b22a2nb2nam1bm1am2bm2amnbmn设A与B为两个mn矩阵第12页，讲稿共49张，创作于星期二 例例1 1 设求A+B=?解1+52+63+74+8681012第13页，讲稿共49张，创作于星期二a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA给定矩阵规定ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1

6、kam2 kamnkA(二二)矩阵的数乘矩阵的数乘实数k遍乘A的所有元素第14页，讲稿共49张，创作于星期二第15页，讲稿共49张，创作于星期二准备：矩阵乘积有意义的条件(1)不是任意二矩阵乘积AB都有意义（2）二矩阵乘积AB有意义的条件是：左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等即AmsBtn有意义的条件是s=t且Ams Bsn=Cmn（三）（三）矩阵的乘法矩阵的乘法 第16页，讲稿共49张，创作于星期二例13 425 7 21222 5A=B=(1)则AB无意义1 5 825 7 212 925 237 6 4C=D=(2)则 CD有意义，且CD是23的矩阵第17页，讲稿共49张，创作于

7、星期二设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵AB=b11 b12 b1j b1n b21 b22 b2j b2n bs1 bs2 bsj bsn矩阵的乘法定义矩阵的乘法定义 a11 a12 a1s a21 a22 a2s ai1 ai2 ais am1 am2 amsc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnmn=cij(i 1,2,m；j 1,2,n)其中ai1b1j ai2b2j aisbsjcij=A 的第的第 i 行与行与 B 的第的第 j 列的乘积列的乘积第18页，讲稿共49张，创作于星期二B=求AB及BAA ，例1 设2 31 -23 11 -2 -32

8、-1 0解解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB-6-7833第19页，讲稿共49张，创作于星期二2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB-6-78-30-333B=求AB及BAA ，例1 设2 31 -23 11 -2 -32 -1 0解解：第20页，讲稿共49张，创作于星期二231-2311-2-32-10AB -6-78-30-9-7-3533B=求求AB及及BAA，例例1 1 设设231-2311-2-32-10解解：第21页，讲稿共49张，创作于星期二231-2311-2-32-10BA 4-983231-2311-2-32-10AB -6-78-30-9-

9、7-3522B=求求AB及及BAA，例例1 1 设设231-2311-2-32-10注意一:矩阵乘法一般不满足交换律即 ABBA第22页，讲稿共49张，创作于星期二1110例例2 2 设设A，B，求求AB及及BA2110解解11102110AB311021101110BA3110如果AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换显然AB=BA可交换阵:第23页，讲稿共49张，创作于星期二例例3 3 设设A，4-2-21B，求求ABAB及及BABA4 2-6-3AB 4-2-214 2-6-3解：解：-32 -16168 BA 4-2-214 2-6-30 000 2222注意二:AB=O A=O or

10、B=O第24页，讲稿共49张，创作于星期二例例4 4 设设A，50 00 00求求A A2 2解解0 00 000 22注意三:A2=O A=OA2 50 00 0050 00 00第25页，讲稿共49张，创作于星期二矩阵乘法一般不满足消去律例例5 设 A=1220 3,B=1020 4,C=1120 0求AC=?BC=?解=221100=221100注意四:AC=BC A=B第26页，讲稿共49张，创作于星期二例例6 6 线性方程组可用矩阵乘法表示a11x1 a12x2 a1nxn b1a21x1 a22x2 a2nxn b2am1x1 am2x2 amnxn bm x1x2 xn a11

11、a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2 bm 系数阵例如:2x1+5x2+7x3+9x4=5x1 -3x2+7x3+x4=33x1 -x2+x3 +x4=102 5 7 91-3 7 1 23 -1 1 1x1x2x3x4=5310第27页，讲稿共49张，创作于星期二 (1)ABBA (3)ABOAO或BO/(2)ACBCAB/矩阵乘法总结矩阵乘法总结:矩阵乘法性质除下列几条外矩阵乘法性质除下列几条外 其余和数乘法性质相同其余和数乘法性质相同 (4)A2OAO/乘法一般不满足交换律乘法一般不满足消去律,如果C可逆,则A=B第28页，讲稿共49张，创作于星期二例例7

12、 7 设设矩阵A,B均为n阶方阵,证明证明(1)(2)(3)(1)第29页，讲稿共49张，创作于星期二4方阵的幂：方阵的幂：对于方阵A及自然数k 记 Ak=AA A (k个A相乘)只有方阵才能自乘规定规定性质性质：(1)ArAs=Ar+s(2)(Ar)s=Ars注注:一般一般(AB)kAkBk但但如果如果AB=BA,则则(AB)k=AkBk第30页，讲稿共49张，创作于星期二例例8 8 设求(1)(2)(3)解n个第31页，讲稿共49张，创作于星期二 如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为 In 或 I10 0010 001I 单位矩阵性质单位矩阵性质对于n阶矩阵A，规定 A0IImAm n A

13、m n11 Am nAm nIn Am n11 Am n单位阵与任意矩阵相乘单位阵与任意矩阵相乘(只只要有意义要有意义)结果不变结果不变第32页，讲稿共49张，创作于星期二练习：练习：1,1,计算下列矩阵：计算下列矩阵：解：解：(1)20111 01110111 0112 30111 01120111 0113 n0111 011n(2)a 0 00 0 c0 b 0 2a 0 00 0 c0 b 0a 0 00 0 c0 b 0 a20 00 0 c20 b20 a 0 00 0 c0 b 0 nan0 00 0 cn0 bn0 n0111(1)(2)a 0 00 0 c0 b 0 n，第3

14、3页，讲稿共49张，创作于星期二2 2 计算计算 4561）A=123B=AB=1114+25+36=32=3212-242）A=3210B=AB=1131+22+1(-2)+04=5=5第34页，讲稿共49张，创作于星期二3第35页，讲稿共49张，创作于星期二 将矩阵A的同号数的行换为同号数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵，记为AT或A a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT （四）（四）矩阵的转置矩阵的转置第1行变为第1列，第2行变为第2列,第m行变为第m列第36页，讲稿共49张，创作于星期二(4)(A

15、B)T BTAT(A1A2A3.An)T=(An)T(An-1)T.(A2)T(A1)T转置矩阵有下列性质转置矩阵有下列性质(1)(AT)T A(2)(A B)T AT BT(3)(kA)T kAT注意矩阵的次序第37页，讲稿共49张，创作于星期二例121 35-3 -17 7 189 1 1A=2 51-33-1 49 3B=(AB)T=BTAT2 5 7 91-3 7 1 23 -1 1 121 3 935 -3 -1 3则第38页，讲稿共49张，创作于星期二 如果n阶矩阵A满足 ATA(即 aijaji ),则称A为对称矩阵Aa11 a12 a1na12 a22 a2n a1n a2n

16、ann 对称矩阵性质对称矩阵性质(1)kA为对称阵性质性质设设A,B为对称阵为对称阵,则则(2)A+B 与 A-B 为对称阵注AB未必是对称阵-1 0 1-1 1 1 1 1例如A=B=是对称阵，但-1 0 1-1 1 1 1 1-1-1 0 0不是对称矩阵AB=第39页，讲稿共49张，创作于星期二例例2 2 设A与B是两个n阶对称矩阵 证明：AB 对称 AB=BA证明(1)充分性所以 AB 对称(2)必要性第40页，讲稿共49张，创作于星期二例例3 3 设A为对称矩阵,且A2=0 证明 A=0 证明A ATa11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann设A2=AAT=a

17、11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 anna11 a21 an1a12 a22 an2 a1n a2n ann=0 所以 A=0注意乘积对角线上元素第41页，讲稿共49张，创作于星期二 n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式,记为|A|或detAa11a21an1 a12a22an2 a1na2nann A ，|A|=a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann detA=例例1 1A=1 223 4|A|=detA=1223 4=-2（五）（五）方阵的行列式方阵的行列式第42页，讲稿共49张，创作于星期二方阵方阵的行列式具有的

18、运算律：的行列式具有的运算律：(1)|AB|A|B|显然显然k个个A=|A|k方阵积的行列式=行列式的积第43页，讲稿共49张，创作于星期二(2)|l lA|l ln|A|n为方阵的阶数例1则|l lA|=l=l3 l l3|A|例例2 2(1)(1)设矩阵设矩阵A A为八阶矩阵为八阶矩阵l8|A|(2)(2)设矩阵设矩阵A A为十阶矩阵为十阶矩阵|lA|l10|A|lA|第44页，讲稿共49张，创作于星期二例例3 3 设A(aij)为三阶矩阵，若已知|A|-2,求|A|A|解解：|A|A|(-2)3|A|(-2)3(-2)16|-2A|提问：提问：设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=m，问|-mA

19、|=?答：-m4(3)|(3)|A AT T|A A|第45页，讲稿共49张，创作于星期二例例4 4 设设A=324547-48-5321334B=C=求求(1)|ATB2C|解解(1)|ATB2C|=|AT|.|B2|.|C|=|A|.|B|2 .|C|=324547-48-53213342=2125=10=|3 BBT|2=(32|BBT|)2=(32|B|.|BT|)2=81(2)|(3BBT)2|(2)|(3BBT)2|第46页，讲稿共49张，创作于星期二 (1)ABBA (3)ABOAO或BO/(2)ACBCAB/总结总结:一一 矩阵乘法矩阵乘法二二 矩阵转置矩阵转置(A1A2A3.

20、An)T=(An)T(An-1)T.(A2)T(A1)T三三 方阵行列式方阵行列式|lA|ln|A|(4)A2OAO/第47页，讲稿共49张，创作于星期二练练习习：1设设f(x)=ax2+bx+c，A为为n n阶阶矩矩阵阵，I I为为n n阶阶单单位位矩阵矩阵,定义定义f(A)=aA2+bA+cI已知f(x)x2-x-1，A ，求f(A)3 1 2 1-1 0 3 1 1 f(A)解：解：3 1 21-1 03 1 123 1 21-1 03 1 1-0 1 00 0 11 0 0-142 500-1133 5 3 1 21-1 03 1 1-0 1 00 0 11 0 0-110 3 -11-292 4。第48页，讲稿共49张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第49页，讲稿共49张，创作于星期二