三角恒等变形难题高考加竞赛(有答案).pdf

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1、三角恒等变形竞赛三角恒等变形涉及范围广泛，包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角级数的求和、三角不等式的证明等，其变形的主要途径如下：1两角和与差的三角函数sin()sincoscossincos()coscossinsintan()2倍角公式tan tan1 tantansin 2 2sincoscos2 cos2sin2 2cos211 2sin22tantan21 tan23半角公式sin2 1cos21cos2cos2 tan2 1cos1cossin1cossin1cos4和化和差公式1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()

2、cos()21sinsin cos()cos()25和差化积公式sinsin 2sin2cos2sinsin 2cos22coscos 2coscos22coscos 2sinsin22sin6万能公式2t1t22t,cos,tan.设tan t，则sin1t21t21t227三倍角公式sin3 3sin4sin3cos3 4cos3cos38asinxbcosx a2b2sin(x)，其中tanb,(,).a2 2解题示范例 1：求下列各式的值。（1）sec50 tan10；（2）tan6tan 42tan 66tan 78；（3）2sin50sin80(13tan10)1 2sin50co

3、s50.思路分析：此例中的求值，都是给角求值。在利用三角变形时，总体思路是化繁为简，产生约分项或相消项或特殊角的三角函数。1sin102sin50sin10sin50(sin50sin10)cos50cos10sin100cos10cos10sin50 2sin30cos20sin50 cos202sin60cos103.cos10cos10cos10解：（1）原式（2）因为sin6sin 42sin60sin78 sin6cos12cos24cos48(2cos6sin6)cos12cos24cos 482cos6(2sin12cos12)cos24cos 484cos6sin961，16c

4、os616111(cos6cos66)(cos42cos78)(cos72)(cos36)4221111(cos72cos36cos36cos72)422411(sin18cos36sin54sin18)4411(2sin18cos36)441 4sin18cos18cos361()42cos1841sin7211(),4 2cos18416所以原式=1。（3）因为2sin50sin80(1 3tan10)2sin50sin80cos103sin10cos1013 2sin50 2(cos10sin10)2sin50 2cos50，22而1 2sin50cos50 sin50cos50，所以原

5、式=1。点评：三角函数的求值，实质上是从角、名、结构进行变换，抓住角之间的关系，合理进行积与和式变换即可。例 2化简1sin cos1cossin.1sincos1 cossin思路分析：从本题结构联想，用cos12sin22 2cos221进行化简。1 2sincos 2cos211sincos222解：因为1sincos1 2sincos(12sin2)222cos)2221 tan，2sin(cossin)cot2222所以原式 cotcos(sin2 tan2 2csc.点评：此题的技巧在于cos2公式的灵活运用，而在公式选择中，关键要抵消 1，从而简化结构。例 3：已知,为锐角，且c

6、oscoscos()3，求,的值.2思路分析：此题给出一个方程，两个未知数，属不定方程类型。要求解此问题，应从在变形入手，通过配方法解决。解：因为2cos即4cos22cos222cos2213，224coscos21 0，从而(2cos 0，22于是2cos1 0，且sin 0.22由,是锐角可知1)2sin222,0.所以23，从而.3引申：此题可从sin2 cos21考虑其几何意义求解。由题意得(sin)sin(1cos)cos(cos)0.设P(sin,cos)，则 P 点 是 直 线(sin)x(1co s)y co s323 0与 圆2x2 y21的公共点，3|121，化简得(co

7、s)2 0.所以d 2sin2(1cos)2|cos所以cos1,，同理可得.233同时，构造几何意义解题，常常能得到奇数。例如：设,是方程acosxbsinxc0(a b 0)的相异两根，且 2k(k Z)，求证：cos2222c22.a b2s,s i n)，则p1,p2是 圆x2 y21与 直 线证 明：设p1(cos,sin),p2(coax by c的两个相异点。x2 y21联立消元得(b2 a2)x22acxc2b2 0.axby c2ac.a2b22accos2.即2cos22a b2所以cos cos同理得(b2 a2)y22bcy c2a2 0.2bc.22a b2bccos

8、2.所以2sin22a b2即sinsin由+得4cos22224c22.a b2故cos22c22.a b2b2ab tan()2(|a|b|).2aa b2237.例 4：求证：tantantan777另外，相除得tan思路分析：从三角数量关系转化为一个三次方程的根与系数求解。k，则tan3 tan 4 0，7即tan3tan23tantan22 tan32 0.证明：设令tan x，则x6 21x435x27 0.k(k 1,2,3)是上述方程的根，723 7.所以tan2tan2tan2777237.故tantantan777因为tan引申：（1）由韦达定理还可得tan27 tan22

9、32 tan2 21，tan2tan27777tan2233tan2 tan2tan2 35.7777（2）三倍角的变化情况较复杂，还有另一组公式对三倍角的变换很有效。cos3 4coscos(60)cos(60)sin3 4sinsin(60)sin(60)tan3 tantan(60)tan(60)例如化简cos6cos42cos66cos784cos6cos(60 6)cos(606)4cos(6018)cos(6018)cos1816cos54cos1811.cos18cos54 16cos54cos1816例 5：求证：1cos1.2coskcos(k 1)sin 1k088思路分析

10、：左边的求和式表示成裂项求和，其结构便化繁为简，而裂项时，考虑(k 1)k 1的因素。证明：因为sin1sin(k 1)kcoskcos(k 1)coskcos(k 1)sin(k 1)coskcos(k 1)sink tan(k 1)tank，coskcos(k 1)88881sin1所以sin1coskcos(k 1)coskcos(k 1)k0k088tan(k 1)tank tan89 tan0 tan89.k088故1cos12sin 1k0coskcos(k 1)点评：此题的裂项迁移了数列求和，同时也是以角为突破口。另外第25 届美国数学奥林匹克题“证明nsinn(n 2,4,5,

11、180)的平均值为cot1”与此题是“异曲同工”。便 6：设n N，试证：cos2n12k1nk1n.思路分析：从左边三有函数内各角度成等差数列入手。证明：设M cos2n 1cos2ncos，2n 12n 12nsin，2n 12n 12n 122nncos)(sincos)(sincos)则MN (sin2n 12n 12n 12n 12n 12n 11242nnsinsinsin.22n 12n 12n 12n(2n 2)3 sin,sin sin,，而sin2n 12n 12n 12n 1(n 2)(n 1)sin当n是偶数时，有sin，2n 12n 1(n 1)n sin当n是奇数时

12、，有sin，2n 12n 112n1sinsinnN.所以 MNnsin22n 12n 12n 121故M n.2N sinsin点评：题解中的M、N 是一组对偶式，构造对偶式解题，也是三角变换的一个途径，其对偶式的应用，让sin 2 2sincos公式得到应用，对称的性质得以作用。例 7：设ABC三边的长度为a,b,c，其所对角分别为,，且满足a b tan2(atanbtan).求证：该三角形是等腰三角形。思路分析：作边角转化，利用三角变换处理已知等式。证明：由已知得，则tan2 cot2cos2，sin2cos所以a b 2(asinbsin).coscossin2整理得cossinco

13、scos)b(sincoscoscoscossin).2222即acossin()bcossin().22化简得sin(acosbcos)0.2a(cossin 0或acos bcos，2即或sincos sincos.所以sin解得或sin()0.所以.故ABC是等腰三角形。点评：三角变换既能求值、化简、证明三角恒等式，同时也是工具，可以广泛解决相关的问题。能力测试能力测试3sin22sin211已知,都是锐角，且，那么,的关系是（）3sin22sin2 0A4B2C24D2221tan239(sin56cos56),c,2设a cos40cos37cos50sin37,b 21tan239

14、1d(cos802cos2501)，则a,b,c,d的大小关系为（）2Aa b d cBb a d cCa c b d3Dc a b dsin(2x y)2cos(x y)等于（）sin xsin(x y)sin xBA2sin ysin xCsin xsin yDsin ysin x4已知,成公比为 2 的等比数列(0,2)，且sin,sin,sin也成等比数列，则,的值依次为（）248,3332482410,或,C333333A2416,3332484816,或,D333333B246coscos的值为（）777111ABC8245cos6已知D116tan Ak1nk1，那么sin Ak

15、的最大值为（）k1nA2nB2n3C2n2D2n5。ACtan22s c8 已知sin Asin B sinC cos A cosB cosC 0，则o7在ABC中，已知a c 2b，则tan=。9设,是公差为。2Ao s c2B o s c2C的等差数列，那么tantan tantan tantan3Ao s cB o s cB o s cC B C10 设AcosC cos A s c三内角A,B,C成等比数列，且公比为3，则o。2cos801112已知x 2cos，则x88x24x11计算：tan5 cot513求证：(k1n1x1xtan)cotcot x.2k2k2n2n14设整数a,b满足98sin50 a bcsc50，求a,b的值。B C中，15 在A求证：外接圆的半径。冲击金牌rABC其中r,R分别是ABC的内切圆、4sinsinsin，R22216 已知a,b N，且a b，sin2ab，其中(0,),An(a2b2)nsinn.22a b2求证：对于一切正整数n,An均为整数。17若锐角A,B,C满足条件sin2a sin2B sin2C 1，试证：2 abc.18ABC外心为 O，内心为 I，求证：OI2 R2 2Rr。