概率论第一节数学期望.ppt

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1、概率论第一节数学概率论第一节数学期望期望现在学习的是第1页，共46页一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结第一节第一节 数学期望数学期望(mathematical expectation)(mathematical expectation)现在学习的是第2页，共46页试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手现在学习的是第3页，共46页数学期望（均值）数学期望（均值）描述随机变量平均取值的情况。描述随机变量平均取值的情况。例

2、例 一批钢筋共有一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为根，抗拉强度指标为120和和130的各有的各有2根、根、125的有的有3根、根、110、135、140的各有的各有1根，则它们的平均抗拉强度指标为根，则它们的平均抗拉强度指标为 可见，平均抗拉强度指标并不是这可见，平均抗拉强度指标并不是这10根钢筋所取根钢筋所取到的到的6个值的简单平均，而是取这些值的次数与试验个值的简单平均，而是取这些值的次数与试验总次数的比值（频率）为权重的总次数的比值（频率）为权重的加权平均加权平均。现在学习的是第4页，共46页1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望

3、现在学习的是第5页，共46页关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正平均值真正平均值,也称也称均值均值.(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排

4、列次序而改变.现在学习的是第6页，共46页试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手现在学习的是第7页，共46页解解平均起来甲射手每枪击中平均起来甲射手每枪击中9.39.3环环,乙射手每枪击中乙射手每枪击中9.19.1环环.因此甲射手的本领要高一些因此甲射手的本领要高一些.甲射手甲射手乙射手乙射手现在学习的是第8页，共46页例例2 二项分布二项分布 则有则有 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n,p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为现在学习的是第9页，共46页则两点分布则两点分布b(1,p)的数学期望为的数学期望

5、为 p.=np现在学习的是第10页，共46页例例3 泊松分布泊松分布 则有则有现在学习的是第11页，共46页2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义定义定义现在学习的是第12页，共46页 设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?解解因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例例4 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?现在学习的是第13页，共46页例例5 均匀分布均匀分布则有则有结论结论

6、均匀分布的数学期均匀分布的数学期望位于区间的中点望位于区间的中点.现在学习的是第14页，共46页例例6 指数分布指数分布 则有则有现在学习的是第15页，共46页例例7 正态分布正态分布则有则有现在学习的是第16页，共46页现在学习的是第17页，共46页例例(书）书）设随机变量设随机变量 X服从柯西分布服从柯西分布,其密度函数为其密度函数为求求E(X).解解:由于此积分不存在由于此积分不存在 因此柯西分布的数学期望不存在因此柯西分布的数学期望不存在.现在学习的是第18页，共46页若若X为离散型随机变量，分布律为为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为为X的函数的函数则则Y的期望为的期望为1.离散

7、型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望现在学习的是第19页，共46页解解例例8 求求:现在学习的是第20页，共46页2.连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 f(x)则则现在学习的是第21页，共46页现在学习的是第22页，共46页现在学习的是第23页，共46页现在学习的是第24页，共46页3.二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望现在学习的是第25页，共46页解解例例11 设设(X,Y)的分布律为的分布律为由于由于现在学习的是第26页，

8、共46页现在学习的是第27页，共46页现在学习的是第28页，共46页现在学习的是第29页，共46页现在学习的是第30页，共46页现在学习的是第31页，共46页三、数学期望的性质三、数学期望的性质(1)设设C为常数，则有为常数，则有E(C)=C(2)设设X是一个随机变量，是一个随机变量，C为常数，则有为常数，则有(4)设设X，Y是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有 (3)设设X1，X2,Xn是是n个随机变量，个随机变量，a1，a2,an 为实数，则有为实数，则有现在学习的是第32页，共46页解解例例14现在学习的是第33页，共46页现在学习的是第34页，共46页四、小结四、小结1

9、.数学期望是一个实数数学期望是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权平加权平均均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机它从本质上体现了随机变量变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2.数学期望的性质数学期望的性质现在学习的是第35页，共46页3.常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望现在学习的是第36页，共46页 4.常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望现在学习的是第37页，共46页根据生命表知根据生命表知,某年龄段保险者里某年龄段保险者里,一一 年中每个年中每个人死亡的概率为人死亡的概率为0.002,现有

10、现有10000个这类人参加人个这类人参加人寿保险寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取若在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元元赔偿金赔偿金.问每人一年须交保险费多少元问每人一年须交保险费多少元?例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗?备份题备份题现在学习的是第38页，共46页解解设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X,被保险人所得赔偿金的期望值应为被保险人所得赔偿金的期望值应为 若设每人一年须交保险费为若设每人一年须交保险费为a 元元,现在学习的是第39页，共46页由被保险人交的由被保险人交的“纯保险费纯保险费”与他们所能得到的赔与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知偿金的期望值相等知故每人故每人1年应向保险公司交保险费年应向保险公司交保险费4元元.现在学习的是第40页，共46页解解例例2 某大学二年级学生进行了一次数学统考某大学二年级学生进行了一次数学统考,设其成绩设其成绩 X 服从服从 N(75,9)的正态分布的正态分布,试求学生成绩的期望值试求学生成绩的期望值.现在学习的是第41页，共46页解解例例3现在学习的是第42页，共46页例例4商店的销售策略商店的销售策略现在学习的是第43页，共46页解解现在学习的是第44页，共46页现在学习的是第45页，共46页到站时刻到站时刻概率概率例例5现在学习的是第46页，共46页