【步步高】2014届高三数学一轮 8.2 空间几何体的表面积与体积课时检测 理 (含解析)北师大版.doc

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1、8.2 空间几何体的表面积与体积一、选择题1棱长为2的正四面体的表面积是()A. B4 C4 D16解析每个面的面积为:22.正四面体的表面积为:4.答案C2把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的 ()A2倍 B2倍 C.倍 D.倍解析由题意知球的半径扩大到原来的倍,则体积VR3,知体积扩大到原来的2倍答案B3如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为()(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)A. B. C. D.解析根据三视图的知识及特点,可画出多面体的形状,如图所示这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积VV长方体V正三

2、棱锥4462.答案B4某几何体的三视图如下,则它的体积是()(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)A8 B8C82 D.解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥,所以V2328.答案 A5已知某几何体的三视图如图,其中主视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为()(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)A24 B24C24 D24解析据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱,其中长方体的棱长分别为:2,3,4,半圆柱的底面半径为1,母线长为3,故其体积V23412324.答案A6某品牌香水瓶的三视图如图 (单位:cm),则该几何体

3、的表面积为()(三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)A. cm2 B. cm2C. cm2 D. cm2解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱上面四棱柱的表面积为23312130;中间部分的表面积为21,下面部分的表面积为24416264.故其表面积是94.答案 C7已知球的直径SC4,A,B是该球球面上的两点,AB,ASCBSC30,则棱锥S-ABC的体积为()A 3 B2 C. D1解析由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上,作过AB的小圆交直径SC于D,设SDx,则DC4x,此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD,在SAD和SB

4、D中,由已知条件可得ADBDx,又因为SC为直径,所以SBCSAC90,所以DCBDCA60,在BDC中 ,BD(4x),所以x(4x),所以x3,ADBD,所以三角形ABD为正三角形,所以VSABD4.答案C二、填空题8三棱锥PABC中,PA底面ABC,PA3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥PABC的体积等于_解析依题意有,三棱锥PABC的体积VSABC|PA|223.答案9一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_解析 设圆柱的底面半径是r,则该圆柱的母线长是2r,圆柱的侧面积是2r2r4r2,设球的半径是R,则球的表面积是4

5、R2,根据已知4R24r2,所以Rr.所以圆柱的体积是r22r2r3,球的体积是r3,所以圆柱的体积和球的体积的比是32.答案 3210如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是_解析由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱长为1,斜高为,连接顶点和底面中心即为高,可求得高为,所以体积V11.答案11如图,半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_解析由球的半径为R,可知球的表面积为4R2.设内接圆柱底面半径为r,高为2h,则h2r2R2.而圆柱的侧面积为2r2h4rh42R2(当且仅

6、当rh时等号成立),即内接圆柱的侧面积最大值为2R2,此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2R2.答案2R212如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm.解析根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为13 (cm)答案13三、解答题13某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的左视

7、图;(2)求该安全标识墩的体积解析(1)左视图同主视图,如图所示:(2)该安全标识墩的体积为VVPEFGHVABCDEFGH402604022064 000(cm3)14 .一个几何体的三视图如图所示已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S. (三视图:主(正)试图、左(侧)视图、俯视图)解析 (1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V11.(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,所以AA1

8、2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,S2(11112)62.15已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解析由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形,如右图所示(1)几何体的体积为:VS矩形h68464.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为:h15.左、右侧面的底边上的高为:h24.故几何体的侧面面积为:S24024.16四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值;(2)当四面体的体积最大时,求其表面积解析(1)如图,在四面体ABCD中,设ABBCCDACBDa,ADx,取AD的中点为P,BC的中点为E,连接BP、EP、CP.得到AD平面BPC,VA-BCDVA-BPCVD-BPCSBPCAPSBPCPDSBPCADa xa3(当且仅当xa时取等号)该四面体的体积的最大值为a3.(2)由(1)知,ABC和BCD都是边长为a的正三角形,ABD和ACD是全等的等腰三角形,其腰长为a,底边长为a,S表2a22a a2aa2a2.7

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