东北大学线性代数第六章课后习题详解二次型.docx

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1、教学基本要求：教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章第六章二次型二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理

2、、正定二次型等.一、二次型与合同变换一、二次型与合同变换1.二次型n 个变量 x1,x2,xn的二次齐次函数f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a1nx1xn+2an-1 nxn-1xn(6.1)称为一个 n 元二次型元二次型.当系数 aij均为实数时，称为 n 元实二次型.(P131定义 6.1)以下仅考虑 n 元实二次型.设11121n112222n21n2nnnnaaaxaaaxA,xaaax，那么f(x1,x2,xn)=xTAx.(6.2)式(6.2)称为 n 元二次型的矩阵表示.例例 6.16.1(例 6.1P132)二次型 f 与对

3、称矩阵 A 一一对应，故称 A 是二次型 f 的矩阵，f 是对称矩阵 A 的二次型，且称 A 的秩R(A)为二次型二次型 f 的秩的秩.(定义 6.2P132)由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义定义 6.26.2仅含平方项的二次型f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2(6.3)称为标准形标准形.系数 a11,a22,ann仅取-1,0,1 的标准形称为规范形规范形.(定义 6.3 P132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理定理 6.16.1线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变

4、.(定理 6.1 P133)这是因为TTx CyB C ACTTAB C AC C0R(A)R(B)fx Axfy By.2.合同变换在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.定义定义 6.36.3设 A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵 C，使 B=CTAC，则称 A 与 B 是合同合同的，或称矩阵 B是 A 的合同矩阵.对 A 做运算 CTAC 称为对 A 进行合同变换合同变换，并称 C 是把 A 变为 B 的合同变换矩阵合同变换矩阵.(定义6.4 P133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)

5、不一定合同.(P134)A 与 B 合同可逆矩阵 C，B=CTACA 与 B 等价可逆矩阵 P,Q，B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系.(推论 1P137)正交矩阵 Q，Q-1AQ=QTAQ=BA 与 B 既相似又合同合同变换的作用：合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.x CyTTTT C0TC0fx Axy C ACyy By A C ACB如果 B 是对角矩阵，则称 f=yTBy 是 f=xTAx 的标准形.二、用正交变换化二次型为标准形1.原理由第五章第三节知：对于实对称阵 A，存在正交矩阵 Q，使 Q-1AQ

6、 为对角矩阵(对角线上的元素为 A 的n 个特征值).因此，二次型 f=xTAx 经正交变换 x x=Qy y 就能化为标准形 f=yT(QTAQ)y=yT(Q-1AQ)y.定理定理 6.26.2任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值.(定理 6.2P134)推论推论 1 1任意实对称矩阵都与对角矩阵合同.(推论 1P137)推论推论 2 2任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形.(推论 2P137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变

7、换.2.用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型 f=xTAx 为标准形的过程与将实对称阵 A 正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出 A 的全部互异特征值1,2,s；(2)求齐次线性方程组(iE-A)x=(i=1,2,s)的基础解系(即求 A 的 n 个线性无关特征向量)；(3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到 n 个正交规范的线性无关特征向量1,2,n；(4)正交相似变换矩阵 Q=(1,2,n)，正交相似变换 x=Qy 把二次型 f=xTAx 变为标准形 f=yT(QTAQ)y.例例 6.26.2(例 6.2P134)例例 6.36.3(例 6.3P135

8、)三、用配方法化二次型为标准除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例例 6.46.4(例 6.4P139)例例 6.56.5(例 6.5P139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形：(1)二次型中含有平方项例如，若二次型中含有平方项 a11x12，则把所有含 x1的项集中起来配方，接下来考虑 a22x22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项 2a12x1x2，则令112212iixyy,xyy,xy,i3,.,n.那么关于变量 y1,y2,yn的二次

9、型中就有了平方项，然后回到(1).四、正定二次型1.惯性定理虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理定理 6.36.3(惯性定理)设实二次型 f=xTAx 的秩为 r，且在不同的可逆线性变换 x=Cy 和 x=Dy 下的标准形分别为f=1y12+2y22+ryr2,i0，f=1y12+2y22+ryr2,i0，则1,2,r与1,2,r中正数的个数相同.(定理 6.3P142)定义定义 6.46.4二次型 f 的标准形中的正(负)系数的个数称为 f 的正正(负负)惯性指数惯性指数.(定义 6.5P143)惯性定理指出

10、，可逆变换不改变惯性指数.推论推论n 阶实对称阵 A 与 B 合同的充分必要条件是 A 与 B 有相同的正惯性指数和负惯性指数.(推论P143)正惯性指数+负惯性指数=R(A).正惯性指数=正特征值的个数，负惯性指数=负特征值的个数.2.二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义 6.6-6.7P143)ff ff f/Af0,x0(AA0)/Af0,x0(AA0)/Af0,x0(AA0)/Af0,x0(AA0)/Ax0,f(x)0y0,f(y)0 正定正定记作半正定半正定记作负定负定记作半负定半负定记作不定且由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.3.正定二次型(正定

11、矩阵)的判定定理定理 6.46.4n 元实二次型 f=xTAx 为正定(负定)二次型的充分必要条件是 f 的正(负)惯性指数等于 n.(定理 6.4P143)定定理理6.56.5n元实二次型f=xTAx为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f的正(负)惯性指数小于n，且负(正)惯性指数为 0.(推论 1P143)推论推论 2 2n 阶实对称阵 A 正定(负定)的充分必要条件是 A 的 n 个特征值全是正数(负数)；A 半正定(半负定)的充分必要条件是 A 的 n 个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数).(推论 2P143)例例 6.66.6(例 6.6P143)例例 6.76.7(例

12、 6.7P144)例例 6.86.8(例 6.8P144)例例 6.96.9(例 6.9P144)定义定义 6.46.4设 A=(aij)n，则行列式11121k12222kkk1k2kkaaaaaaD(k1,2,n)aaa称为 A 的 k 阶顺序主子式.(定义 6.8P144)定理定理 6.66.6n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于零；A 负定的充分必要条件是 A 的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零.(定理 6.5P144)例例 6.106.10(例 6.10P145)五、二次型应用 实例实例 6-16-1二次曲面图形的判定六、习题(P148

13、)选择题：1.提示：110.5A11000.50.50.51|1|=10,119901 100,100A199100.511.25选 D2.提示：f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32-2x1x2+2x2x3=(x1-x2)2+(x2+x3)2+2x32正惯性指数为 3，故选 A3.提示：方法一特征值为 2,-1,-1，故选 C.方法二011A101110|0|=0，排除 A,B011010 ,|A|=20，排除 D选 C4.B填空题：1.提示：f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+4x1x2+8x1x3-2x2x3.2.1200221001300000.错误的解答：

14、1202210123.提示：323221rrrr2rr211211211A121033033112033000秩为 2错误的解答：正惯性指数为 3，故秩为 3.事实上，线性变换y1=x1+x2,y2=x2-x3,y3=x1+x3不可逆，故 R(f)n.6.提示：方法一a22A2a222a与600相似3a=6a=2方法二f(y1,y2,y3)=6y12A 有 2 个 0 特征值R(A)=1a=2方法三f(y1,y2,y3)=6y12A 的特征值为 6,0,0二次型的特征值为 a+4,a-2,a-2a+4=0,a-2=0a=27.提示：A 的各行元素之和为 3A(1,1,1)T=3(1,1,1)T

15、R(f)=13 是 A 的唯一非零特征值标准形为 f(y1,y2,y3)=3y12或 f(y1,y2,y3)=3y22或 f(y1,y2,y3)=3y32解答题：1.参见 P134-135的例 6.2、例 6.32.参见 P139的例 6.4、例 6.53.参见 P145的例 6.104.(1)521A21111t|5|=50,521021,101A211t2010t1 t2(2)1t1At12125|1|=10,21t1t0t1,2A5t4t0-4/5t0，所以 f 为正定二次型(A=UTU是正定矩阵).6.提示：因为 A 正定，故存在正交矩阵 Q 和正定对角矩阵 D=diag(1,2,n)

16、，使 A=QDQT.令D1=diag(12n,.,)，则A=QDQT=QD1D1TQT=UTU，其中 U=(QD1)T.5、6 两题表明 A 是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 U 使 A=UTU.7.提示：设对称矩阵 A 与矩阵 B 合同，则存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B.BT=(CTAC)T=CTAC=B，所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵.8.提示：方法一矩阵 A 与矩阵-A 合同，则存在可逆矩阵 C，使 CTAC=-A.从而|CTAC|=|-A|C|2|A|=(-1)n|A|A|(|C|2-(-1)n)=0A可逆|C|2=(-1)nC可逆|C|20，故 n 为偶数方法二A 的

17、正惯性指数=-A 的负惯性指数A 的负惯性指数=-A 的正惯性指数A 与-A 合同A 与-A 有相同的正惯性指数和负惯性指数A 的正惯性指数=A 的负惯性指数n 为偶数9.提示：513153A15302333k00k3 因为 R(A)=2，所以 k=3.(或由 R(A)=2，有|A|=0，得 k=3.)余下略.10.提示：20003a0a3与125相似a 02200103a29a5a20a35余下略.11.提示：1b1ba1111与014相似2a51b1a30ba1b1111余下略.12.提示：(1)A 的特征值为 1,1,0，Q 的第 3 列是属于 0 的特征向量，1 的特征向量与其正交，易

18、知为(2/2,0,-2/2)T和(0,1,0)T，是 Q 的前两列.于是A=Qdiag(1,1,0)QT=.(2)A+E 的特征值为 2,2,1，所以 A+E 为正定矩阵.13.提示：(1)a01EA0a111(a1)222a11(a)01110(a1)a12(a)01010(a1)a2(a)1(a1)(a)(2a1)aa2)(a)(2a1)(a2)(a1)(a)(a2)(a1)A 的特征值为 a-2,a,a+1.(2)二次型 f 的规范形为 f(y1,y2,y3)=y12+y22，所以 A 有 2 个正特征值，一个 0 特征值.由于 a-2a0|A|0A-1的任意特征值 1/0A-1正定A*

19、的任意特征值|A|/0A*正定15.提示：x，xT(A+B)x=xTAx+xTBx0A+B 正定16.提示：A 与对角矩阵 diag(1,2,n)(12n)相似正交矩阵 Q，QAQ=diag(1,2,n)ny QxTT2iii 1nn22ii1iinx1y1x1y1i 1i 1fx Axy Dyymaxfmaxy,minfminy当分别取T1ye和Tnye时，得1nx1x1maxf,minf .17.提示：设是 A 的特征值，则3+2+-3=0，的值为 1 或复数.因为 A 是实对称矩阵，所以 A 的特征值全为 1，因此 A 为正定矩阵.18.提示：A,B 实对称A,B 的特征值都是实数A 的

20、特征值都大于 a，B 的特征值都大于 bA-aE 和 B-bE 正定(若是 A 的特征值，则-a 是 A-aE 的特征值)15第题(A-aE)+(B-bE)正定，即 A+B-(a+b)E 正定A+B 的特征值都大于 a+b.19.提示：必要性 设 R(A)=n，令 B=A，则 AB+BTA=2A2为正定矩阵.充分性设 AB+BTA 是正定矩阵，若 R(A)0 x，有 BxBx=只有零解R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解实二次型的标准形式及其求法.(3)了解合同变换和合同矩阵的概念.(4)了解惯性定理和实二次型的规范形.(5)了解正定

21、二次型、正定矩阵的概念及其判别法.例例 6 6.1.1设12A21,则在实数域上与 A 合同的矩阵为D.(A)2112;(B)2112;(C)2112;(D)1221.(2008数二 三 四)提示：合同的矩阵有相同的秩相同的秩，有相同的相同的规范规范形形，从而有相同的正惯性指数相同的正惯性指数与负惯性指数负惯性指数.故选 D.例例 6.26.2已知二次型 f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为 2.(1)求 a 的值；(2)求正交变换 x=Qy，把 f 化成标准形；(3)求方程 f(x1,x2,x3)=0 的解.(2005数一)解解(1

22、)1 a1 a0220A1 a1 a01 a1 a0002002R(A)21+a=1-aa=0(2)略.(3)f(x1,x2,x3)=0(x1+x2)2+2x32=0 x1=-x2,x3=0解为 k(-1,1,0)T,kR例例 6 6.3.3若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4 经正交变换化为 y12+4z12=4，则 a=1.(2011数一)提示提示：二次型 f(x,y,z)=x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz 经正交变换化为标准形 f=y12+4z12，因此二次型矩阵1a1Aa31111与014相似.所以1a1a310a1111.例例 6 6.4.4

23、设矩阵211100A121,B010112000，则 A 与 BB.(A)合同且相似；(B)合同但不相似；(C)不合同但相似；(D)既不合同也不相似.（2007数一）解解211EA1211211121122111030(3)003 即 A 的特征值为 0,3,3.故 A 与 B 不相似.由于 A 与 B 有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以 A 与 B 合同.故选 B.例例 6 6.5.5设 A 为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面x(x y z)A y1z 在正交变换下的标准方程的图形如下图，则 A 的正特征值个数为B.(2008数一)(A)0；(B)1；(C)2；(D)3.提示：图形是双曲抛物

24、面，说明 A 的秩为 2，正惯性指数为正惯性指数为 1，所以选 B.例例 6.66.6设 A 为三阶实对称矩阵,且满足条件 A2+2A=O.已知 A 的秩 R(A)=2,(1)求 A 的全部特征值；(2)当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵.解解(1)设是 A 的特征值，则2+2=0，=0 或-2R(A)=2A 的特征值为 0,-2,-2(2)A+kE 的特征值则为 k,k-2,k-2当 k2 时，A+kE 为正定矩阵例例 6 6.7.7设101A020101，矩阵 B=(kE+A)2，其中 k 为实数，E 为单位矩阵.求对角矩阵，使 B 与相似，并问 k 为何值时，B 为正定矩阵.解

25、解A 是实对称矩阵，则 kE+A 是实对称矩阵，(kE+A)2是实对称矩阵.A 与 diag(0,2,2)相似kE+A 与 diag(k,k+2,k+2)相似(kE+A)2与 diag(k2,(k+2)2,(k+2)2)相似=diag(k2,(k+2)2,(k+2)2)当 k0 且 k-2 时，B 为正定矩阵例例 6 6.8.8设 A,B 分别为 m 阶和 n 阶正定矩阵,试判定分块矩阵AOCOB的正定性.解解x,y，有 xTAx0,xTBx0 x或 y，有(xT,yT),(xT,yT)C xy=xTAx+xTBx0AOCOB正定例例 6 6.9.9设TACDCB为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶与 n 阶对称矩阵，C 为 mn 矩阵.(1)计算 PTDP，其中1mnEA CPOE(2)利用(1)的结果，判断矩阵 B-CTA-1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论.(2005数三)