2022年空间向量与立体几何知识点和习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 空间向量与立体几何【学问要点】1空间向量及其运算：1 空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面对量加、减法的 三角形法就和平行四边形法就拓广到空间依旧成立空间向量的线性运算的运算律：加法交换律： abba；加法结合律： a bc ab c ；安排律： a aa；a b ab2 空间向量的基本定理：共线 平行 向量定理：对空间两个向量充要条件是存在实数,使得 aba,bb 0 ,a b 的共面对量定理：假如两个向量 a,b 不共线,就向量 c 与向量a,b 共面的充要条件是存在惟一一对实数,使得 cab空间向量分解定理：假如三

2、个向量a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在惟一的有序实数组1,2,3,使得 p1a2b3c3 空间向量的数量积运算：1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 空间向量的数量积的定义：ab|a |b cosa,b；空间向量的数量积的性质：ae|a cosa,e；aba b0；|a|2aa；|a b| |a |b 空间向量的数量积的运算律： a ba b ；交换律： abb a；安排律： a b ca cbc4 空间向量运算的坐标表示：空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿 x轴,y 轴, z

3、轴的正方向引单位向量 i ,j ,k,就这三个相互垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i ,j ,k,由空间向量分解定理,对于空间任一向量 a,存在惟一数组 a 1,a2,a3 ,使 aa1i a2j a3k,那么有序数组 a1,a2,a3 就叫做空间向量 a 的坐标,即 aa1,a2,a3 空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 aa 1,a2,a3 ,bb 1,b2,b3,就 aba 1b1,a2b2,a3b3；aba 1b1,a2b2,a3b3 ；aa1,a2,a3 ；aba1b1a2b2a3b3空间向量平行和垂直的条件：a bb 0aba1b1,a2b2,a3b3R；2 名师归纳总结

4、- - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - abab0a1b1a2b2a3b30向量的夹角与向量长度的坐标运算公式：设 aa 1,a2,a3 ,bb 1,b2,b3,就|a|aa|2 a 1|2 a 22 a 3|,b|bba 32 b 12 b 2;2 b 3;cosa ,baba 1 2a 1 b 1a 2b 2b 3b 3 2a|ba 2 2a 3 2b 1 2b 2 2在空间直角坐标系中,点 两点间的距离是Aa1,a2,a3 ,Bb1,b2,b3 ,就 A,B|AB|a 1b 12a 2b 22 a 3b 32.2空间向量在立体几

5、何中的应用：1 直线的方向向量与平面的法向量：如图, l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a 的直线,对空间任意一点 O,点 P在直线 l 上的充要条件是存在实数 t ,使得OP OA t a,其中向量 a 叫做直线的方向向量由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定假如直线 l 平面 做平面 的法向量,取直线 l 的方向向量 a,就向量 a 叫3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由此可知,给定一点 法向量的平面惟一确定A及一个向量 a,那么经过点 A以向量 a 为2 用空间向量刻画空间中平行

6、与垂直的位置关系：设直线 l ,m的方向向量分别是a,b,平面,的法向量分别是 u,v,就l m a b akb,kR；l m ab ab0；l au a u0；l a u aku,kR；u v ukv,kR；uv uv03 用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角：设 a,b 是两条异面直线,过空间任意一点O作直线 a a,b b,就 a 与 b 所夹的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角明显设异面直线 a 与 b 的方向向量分别是v1,v2,a 与 b 的夹角为,0,就|cosv 1,v2|v 1v2|2|v 1|v2|直线和平面所成的角： 直线和平面所成的角是指

7、直线与它在这个平面内的射影所成的角面设直线 a 的方向向量是 u,平面 的法向量是 v,直线 a 与平的夹角为,明显4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0 ,就|cosu,v|uv|2|u|v|二面角及其度量： 从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角记作l 在二面角的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OAl ,OBl ,就 AOB叫做二面角l的平面角利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图,如 AB,CD分别是二面角l 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线, 就二面角l 的大小就是向量 AB

8、与 CD 的 夹角的大小方法二：如图, m1,m2 分别是二面角的两个半平面,的法向量,就m1,m2与该二面角的大小相等或互补4 依据题目特点,同学们可以敏捷挑选运用向量方法与综合方5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 法,从不同角度解决立体几何问题【复习要求】1明白空间向量的概念,明白空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的正交分解及其坐标表示2把握空间向量的线性运算及其坐标表示3把握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积 判定向量的共线与垂直4懂得直线的方向向量与平面的法向量5能用向量语言表述线线、

9、线面、面面的垂直、平行关系6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的运算问题【例题分析】例 1 如图,在长方体 OAEBO1A1E1B1中,OA3,OB4,OO 12,点 P在棱 AA1 上,且 AP2PA1,点 S在棱 BB1 上,且 B1S2SB,点 Q,R分别是 O1B1,AE的中点,求证： PQ RS【分析】建立空间直角坐标系,设法证明存在实数 k,使得PQkRS .解：如图建立空间直角坐标系,就O0,0,0 ,A3,0,0 ,B0,4,0 ,O10 ,0,2 ,A13 ,0,2 ,B10 ,4,2 ,E3,4,0 AP2PA1,AP2AA 12 0 0, , 2 0 , ,04,33

10、36 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - P 3 0, ,4 3S ,0,42同理可得： Q0,2,2 ,R3,2,0 ,3PQ2,3 ,2RS ,3PQ /RS,又 R PQ,PQ RS【评述】 1、证明线线平行的步骤：1 证明两向量共线；2 证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可2、本体仍可采纳综合法证明,连接 四边形即可,请完成这个证明PR,QS,证明 PQRS是平行例 2 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求

11、证：平面AMN 平面 EFBD【分析】要证明面面平行,可以通过线线平行来证明,也可以证 明这两个平面的法向量平行解法一：设正方体的棱长为4,如图建立空间直角坐标系, 就 D0,0,0 ,A4,0,0 ,M2,0,4 ,N4,2,4 ,B4,4,0 ,E0,2,4 ,F2,4,4 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 取 MN的中点 K,EF的中点 G,BD的中点 O,就 O2,2,0 ,K3,1,4 ,G1,3,4 MN 2 ,2,0 ,EF 2 ,2,0 , AK 1,1,4 ,OG 1,1,4 , MN EF

12、,AKOG,MN/EF,AK/OG,MN 平面 EFBD,AK 平面 EFBD,平面 AMN 平面 EFBD解法二：设平面 法向量是AMN的法向量是 aa 1,a2,a3 ,平面 EFBD的bb 1,b2,b3 由aAM0 ,aAN,0得2 a 14 a 30 ,0取 a31,得 a2 ,2,1 2 a 24 a 3由bDE,0bBF0,得2 b 24 b 3,0 ,0取 b31,得 b2 , 2,1 2 b 14 b 3a b,平面 AMN 平面 EFBD注：此题仍可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,请试一试例 3 在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N是棱 A1B1,B1B

13、的中点,求异面直线 AM和 CN所成角的余弦值8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法一：设正方体的棱长为2,如图建立空间直角坐标系, 就 D0,0,0 ,A2,0,0 ,M2,1,2 ,C0,2,0 ,N2,2,1 AM ,1,0 2 , CN ,2 1,0 ,设 AM 和CN 所成的角为,就 cos AM CN 2 ,| AM | CN | 5异面直线 AM和 CN所成角的余弦值是 25解法二：取 AB的中点 P,CC 1 的中点 Q,连接 B1P,B1Q,PQ,PC易证明： B1P MA,B1Q NC, P

14、B1Q是异面直线 AM和 CN所成的角设正方体的棱长为2,易知B 1PB 1 Q5,PQPC2QC26,cosPB 1 QB 1P2B 1 Q2PQ22,2 B 1PB 1 Q52异面直线 AM和 CN所成角的余弦值是5【评述】空间两条直线所成的角是不超过90 的角,因此按向量的夹角公式运算时,分子的数量积假如是负数,就应取其肯定值,9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 使之成为正数,这样才能得到异面直线所成的角 锐角 例 4 如图,正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a,侧棱长为 2 ,求直线 AC1与平面

15、 ABB1A1所成角的大小【分析】利用正三棱柱的性质,适当建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角,再用向量方法运算；二是利用平面ABB 1A1 的法向量求解解法一：如图建立空间直角坐标系,就 A0,0,0 ,B0,a,0 ,A 1 0 0, , 2 a ,C 1 3 a, a, 2 a 取 A1B1的中点 D,就 D ,0 a , 2 a ,连接 AD,C1D2 2 2就 DC 3 a , 0 , 0 , AB 0 , a , 0 , AA 1 0 , 0 , 2 a ,2DC 1 AB ,0 DC 1 AA 1 0 ,DC 1平面 ABB 1A1, C1A

16、D是直线 AC1 与平面 ABB 1A1 所或的角3 a a aAC 1 , , 2 a , AD ,0 , 2 a ,2 2 2cos C 1 AD AC 1 AD 3,| AC 1 | AD | 2直线 AC1与平面 ABB1A1所成角的大小是 30 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二：如图建立空间直角坐标系,就A0,0,0 ,B0,a,0 ,A10 ,0,2 ,C13 a,a,2a ,从而再利用向量22AB0,a0,AA 10,0 ,2a,AC 13a,a,2a22设平面 ABB 1A1的法向量

17、是 ap ,q,r ,由aAB0 ,aAA 10 ,得aqar0,0,取 p1,得 a1 ,0,0 2设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为,0,2sin|cosAC1,a|AC1|a|1,30.|AC 1a|2【评述】充分利用几何体的特点建立适当的坐标系,的学问求解线面角； 解法二给出了一般的方法, 即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换例 5 如图,三棱锥 PABC中,PA底面 ABC,ACBC,PAAC1,BC2,求二面角 APBC的平面角的余弦值解法一：取 PB的中点 D,连接 CD,作 AEPB于 EPAAC1,PAAC,PCBC2 ,CDPB11 名师归纳总结 -

18、 - - - - - -第 11 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - EAPB,向量 EA 和DC 夹角的大小就是二面角APBC的大小如图建立空间直角坐标系,就 C0,0,0 ,A1,0,0 ,B0,2 ,0 ,P1,0,1 ,由 D是 PB的中点,得 D 12 , 2 2, 12 2由 PEEB APAB 2 13 , 得 E是 PD的中点,从而 E 34 , 4 2, 34 1 2 3 1 2 1EA 4 , 4 ,4 , DC 2 , 2 ,2 EA DC 3cos EA , DC| EA | DC | 3即二面角 APBC的平面角的余弦值是 3 3解法二：

19、如图建立空间直角坐标系,就 A0,0,0 ,B 2 ,1, 0 ,C0,1,0 ,P0,0,1 ,AP 0 0, 1, ,AB2 0,1, ,CB2, 0 0, ,CP ,01,1 .设平面 PAB的法向量是 aa 1,a2,a3,平面 PBC的法向量是 bb 1,b2,b3 由aAP,0aAB,0a ,12,0 .得a 30a 20,取 a11,得2 a 112 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由bCB,0bCP0得2b 10,0,取 b31,得 b0 ,1,1 b 2b 3cosa ,b|ab|33a|b二

20、面角 APBC为锐二面角,二面角 APBC的平面角的余弦值是|3|333【评述】 1、求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于 棱的两个向量, 转化为这两个向量的夹角； 应留意两个向量的始点应 在二面角的棱上2、当用法向量的方法求二面角时,有时不易判定两个平面法向量的夹角是二面角的平面角仍是其补角,但我们可以借助观看图形而得到结论,这是由于二面角是锐二面角仍是钝二面角一般是明显的例 6 如图,三棱锥 PABC中,PA底面 ABC,PAAB,ABC60 , BCA90 ,点 D,E分别在棱 PB,PC上,且 DE BC 求证： BC平面 PAC； 当 D为 PB的中点时,求 AD与平面 PA

21、C所成角的余弦值； 试问在棱 PC上是否存在点 E,使得二面角 ADEP为直二 面角.如存在,求出 PEEC的值；如不存在,说明理由13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：如图建立空间直角坐标系设 PAa,由已知可得 A0,0,0 ,B1a,3a0,C0,3a,0,P00,a.222 AP,0 ,0a ,BC1a , ,0 0 ,2APBC,0BCAP又 BCA90 , BCACBC平面 PAC D为 PB的中点, DE BC,E为 PC的中点D1a,3a,1a ,E0 ,3a ,1a44242由 知, BC

22、平面 PAC,DE平面 PAC, DAE是直线 AD与平面 PAC所成的角AD 14 a , 4 3a , 12 a , AE 0 , 4 3a , 12 a ,cos DAE| AD AD| AEAE | 144 ,即直线 AD与平面 PAC所成角的余弦值是 144 由 知, DE平面 PAC,DEAE,DEPE, AEP是二面角 ADEP的平面角PA底面 ABC,PAAC,PAC90 在棱 PC上存在一点 E,使得 AEPC,这时, AEP90 ,且PEPA24AC2EC3故存在点 E使得二面角 ADEP是直二面角,此时 PEEC43注：此题仍可以不建立空间直角坐标系,通过综合法加以证明,

23、14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 请试一试练习 1-3 一、挑选题：1在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E是 BB1的中点,就二面角 EA1D1D的平面角的正切值是 A 2 B2 C 5 D 2 22正方体 ABCDA1B1C1D1 中,直线 AD1 与平面 A1ACC 1所成角的大小是 A30 B45 C60 D90 3已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC内的射影为ABC的中心,就 AB1与底面 ABC所成角的正弦值等于 A 13 B 3 2 C 3 3 D 23

24、4如图,l ,A,B,A,B到 l 的距离分别是 a 和 b,AB与,所成的角分别是和,AB在,内的射影分别是 m和 n,如 ab,就以下结论正确选项 A,mn B,m15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - n C,mn D,mn 二、填空题：5在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为 AA1,AB,BB1,B1C1的中点,就异面直线EF与 GH所成角的大小是 _6已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为 3 ,就该正四棱柱的体积等于 _37如图,正四棱柱ABCDA1B1

25、C1D1 中,AA12AB,就异面直线 A1B与AD1 所成角的余弦值为 _8四棱锥 PABCD的底面是直角梯形, BAD90 ,AD BC,AB BC 1AD,PA底面 ABCD,PD与底面 ABCD所成的角是230 设 AE与 CD所成的角为,就 cos_三、解答题：9如图,正四棱柱 且 C1E3ECABCDA1B1C1D1 中,AA12AB4,点 E在 CC 1上,16 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： A1C平面 BED； 求二面角 A1DEB平面角的余弦值10如图,在四棱锥OABCD中,底面 A

26、BCD是边长为 1 的菱形,ABC,OA底面 ABCD,OA2,M为 OA的中点, N为 BC的4中点 证明：直线 MN 平面 OCD； 求异面直线 AB与 MD所成角的大小11如图,已知直二面角PQ,APQ,B,C,17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - CACB, BAP45 ,直线 CA和平面 证明： BCPQ；所成的角为 30 求二面角 BACP平面角的余弦值习题 1 一、挑选题：1关于空间两条直线 a、b 和平面,以下命题正确选项 A 如 a b,b,就 aB 如 a,b,就 a b C 如 a,b,就

27、 a b D 如 a,b,就 a b 2正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,底面边长为 2,就该棱锥的体积为 A8 B 8 C6 D2 33已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,就直线 AB1与侧面 ACC 1A1所成角的正弦值等于 A 4 6 B 104 C 2 2 D 2 34已知某个几何体的三视图如下,依据图中标出的尺寸 单位：cm,18 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可得这个几何体的体积是 A40003 cmB80003 cm333 C2000cm3 D4000cm5如三棱柱的一个侧面是

28、边长为 一个内角为 602 的正方形,另外两个侧面都是有的菱形,就该棱柱的体积等于 32D42A2B22C19 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、填空题：6已知正方体的内切球的体积是43,就这个正方体的体积是_7如正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1,AB1与底面 ABCD成 60角,就直线 AB1 和 BC1所成角的余弦值是 _8如三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 表面积是 _9连结球面上两点的线段称为球的弦半径为3 ,就其外接球的4 的球的两条弦 AB、CD的长度分别等于 2 7、4

29、3,每条弦的两端都在球面上运动,就两弦中点之间距离的最大值为 _10已知 AABC是等腰直角三角形, ABACa,AD是斜边 BC上的高,以 AD为折痕使 BDC成直角在折起后形成的三棱锥 ABCD中,有如下三个结论：直线 AD平面 BCD；侧面 ABC是等边三角形；三棱锥 ABCD的体积是2a3.24号 其中正确结论的序号是 _ 写出全部正确结论的序三、解答题：11如图,正三棱柱ABCA1B1C1 中,D是 BC的中点, ABAA120 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求证： ADB1D； 求证： A1C 平

30、面 A1BD； 求二面角 BAB1D平面角的余弦值12如图,三棱锥 PABC中,PAAB,PAAC,ABAC,PAAC2,AB1,M为 PC的中点 求证：平面 PCB平面 MAB； 求三棱锥 PABC的表面积13如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中, ABC90 ,ABBCAA12,M、N分别是 A1C1、BC1 的中点21 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求证： BC1平面 A1B1C； 求证： MN 平面 A1ABB 1； 求三棱锥 MBC1B1的体积14在四棱锥 SABCD中,底面 ABCD为矩形,SD底

31、面 ABCD,AD2,DCSD2点 M在侧棱 SC上, ABM60 证明： M是侧棱 SC的中点； 求二面角 SAMB的平面角的余弦值练习 1-3 一、挑选题：22 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1B 2A 3B 4D 二、填空题：560 62 74 8 52 4三、解答题：9以 D为坐标原点,射线 DA为 x 轴的正半轴,建立如下列图直角坐标系 Dxyz依题设, B2,2,0 ,C0,2,0 ,E0,2,1 ,A12 ,0,4 DE 0 2, 1, ,DB 2 , 2 0, ,0 ,A1CBD,A1CDEA

32、 1C2 , ,24 ,DA 1 2 , ,0 4 . A 1 CDB,0A 1 CDE又 DBDED, A1C平面 DBE值为 设向量 nx ,y,z 是平面 DA1E的法向量,就nDE nDA 1.2yz,0令 y1,得 n4 ,1,2 2x4z0 .cos n,A 1 C|n|A 1 C|14 42二面角 A1DEB平面角的余弦nA 1C144210作 APCD于点 P如图,分别以 z 轴建立坐标系23 AB,AP,AO所在直线为 x,y,名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 A0,0,0 ,B1,0,0

33、,P 0 ,2,0 ,D2,2, 0 ,O0,0,2222 ,M0,0,1 ,N12,20, ,2 2,2 nOD0 ,44 MN 12 4,2 4,1 ,OP,02 2,2 ,OD2 2设平面 OCD的法向量为 nx ,y,z ,就nOP,0即2 2yx2z2,02z.0取z2,得n04,2.2y22|1, 3,MNn,0MN 平面 OCD 设 AB与 MD所成的角为,AB ,10 ,0,MD2,2,1 ,cos|ABMD222AB|MD|即直线 AB与 MD所成角的大小为 311 证明：在平面内过点 C作 COPQ于点 O,连结 OB,PQ,CO又CACB,OAOBBAO45 , ABO45 , AOB90 , BOPQ,又 COPQ,PQ平面 OBC,PQBC 由 知,OCOA,OCOB,OAOB,故以 O为原点,分别 24 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 以直线 OB,OA,OC为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 如图 CO, CAO是 CA和平面所成的角,就 CAO30 不妨设 AC2,就AO3,