2022年数学物理方法期末复习笔记.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载热力学统计物理期末复习一、简答题1、写出 焓、自由能、 吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）答： 焓的定义 H=U+PV,焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定义F=U-TS,自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉 布 斯 函 数 的 定 义 dG=-SdT+VdP；G=U-TS+PV, 吉 布 斯 函 数 的 全 微 分2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平稳 态分布有哪几种？答： 近独立子系统 指的是粒子之间的相互作用很弱,相互作 用的平均能量远小于单个粒子的平均能量,因而可以忽视粒子之间的

2、相互作用；全同粒子 组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统；描写近独立子系统平稳态分布有费米 - 狄拉克分布、玻色 - 爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布；3、简述 平稳态统计物理的基本假设；答： 平稳态统计物理的基本假设是等概率原理；等概率原理 认为,对于处于平稳状态的孤立系统,系统各个可能的微观 状态显现的概率是相等的；它是统计物理的基本假设,它的 正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到确定；4、什么叫 特性函数 ？请写出简洁系统的特性函数；答：马休在 1869 年证明, 假如适当挑选独立变量（称为自 然变量）,只要知道一个热力学函数,就可以通过求偏

3、导数名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载而求得匀称系统的全部热力学函数,从而把匀称系统的平稳性质完全确定 ；这个热力学函数称为特性函数；简洁系统的特性函数 有内能 U=U（S、V ）,焓 H=H（S、P）,自由能 F=F（T、V）,吉布斯函数 G=G（T、P）；5、什么是 空间 ？并简洁介绍粒子运动状态的经典描述；答：为了形象的描述粒子的运动状态,用 q 1 , , q r；p 1 , , p r 共 2r个变量为直角坐标,构成一个 2r 维空间, 称为 空间 ；粒子在某一时刻的力学运动状态 q 1

4、 , , q r；p 1 , , p r 可用 空间的一个点表示；6、试说明应用 经典能量均分定理 求得的抱负气体的内能和热容量中 哪些结论与试验不符（至少例举三项） ；答： 第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有奉献；其次、双原子分子的振动在常温范畴内为什么对热容量没有 奉献；第三、低温下氢的热容量所得结果与试验不符；这些 结果都要用量子理论才能说明；7、写出 玻耳兹曼关系 ,并据此给出熵函数的统计意义；答：玻耳兹曼关系：S=kln 熵函数的统计意义：微观态数的多少反映系统有序程度的高低； 微观态数增加就是有序程度的降低或是纷乱程度增 加,相应地熵增加；反之,微观态数削减就是有序程度的增

5、 加或纷乱度削减, 相应地熵削减； “熵是度量系统有序程度的 量” 有了明确定量意义；8、简述 开系、闭系以及孤立系的定义；答：热力学争论的对象是由大量微观粒子（分子或其它 粒子）组成的宏观物质系统；与系统发生相互作用的其它物名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载体成为外界；依据系统与外界相互作用的情形,可以作以下区分： 与其它物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界有能量交换,但没有物质交换的系统称为闭系；与外界极有能量交换,又有物质交换的系统称为开系；9、判定孤立系统是否处于平稳态

6、的基本原就以及熵判据；答： 基本原就 ：可以设想系统环绕该状态发生各种可能 的虚变动,而比较由此引起热力学函数的变化,依据热力学 函数处在平稳态时的性质来判定系统的状态；熵判据 ：孤立系统中发生的任何宏观过程,都朝着使系统的 熵增加的方向进行；假如孤立系统已经达到了熵为极大的状态,就不行能再发生任何宏观的变化,系统就达到了平稳态；因此孤立系统0/ 处在稳固平稳状态的必要和充分条件为：SS12S；210、写出熵判据的內容；答：孤立系统的熵永不削减,过程进行时熵增加,直到熵 达到最大值,系统处于平稳态；11、试写出热力学其次定律的克氏表述和开氏表述内容 . 答：克劳修斯表述：不行能把热量从低温物体

7、传到高温 物体而不引起其他变化；开尔文表述：不行能从单一热源吸取热量使之完全变为 有用功而不引起其他变化；12、写出等概率原理的内容；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答：处于平稳态的孤立系统,各个可能的微观状态显现 的概率是相等的；13、热力学其次定律的两种表述及其数学表达式；答：（开尔文表述）不行能制造出这样一种循环工作的热机,它只使单一热源冷却来做功,而不放出热量给其他物体,或 者说不是外界发生任何变化；（克劳修斯表述）不行能把热量从低温物体自动传到高温物体而不引起外界的变化；用数学式表示为

8、：dUTdSdW；14、简述等概率原理 答：对于处在平稳状态的孤立系统,系统各个可能的微观状 态显现的概率是相等的；该原理是统计物理中一个基本的假 设；15、什么是能量均分定理？答：对于处在温度为 T 的平稳状态的经典系统,粒子能量中 的每一个平方项的平均值等于 1 kT；这是依据经典玻耳兹曼 2 分布导出的一个重要定理；16、什么是微观粒子的全同性原理？答：该原理指出,全同粒子是不行辨论的,在含有多个全同 粒子的系统中,将任何两个全同粒子加以对换,不转变整个 系统的微观运动状态；17、写出玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统这三个系统分 布 a l 的表达式名师归纳总结 - - - - - -

9、-第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答：三个系统的分布 a l 的表达式分别为：玻耳兹曼系统：a llel；玻色系统：alell1费米系统：alell118、简述卡诺定理的内容；答：卡诺定理指出：全部工作于同样高温热源和低温热源的卡诺机,以可逆的卡诺机的效率为最大,可任；19、吉布斯函数的定义及其物理意义答：吉布斯函数定义为：GUTSPV；等吉布斯函数是一个态函数, 它的变化可以用可逆的等温压过程中的除体积功以外的功来量度；20、统计物理基本假设是什么？答：统计物理基本假设是就是等概率原理 态时各种可能的微观态显现的概率均等；21、简述

10、热力学平稳态 答：孤立系统, 不论其初态如何复杂, 即孤立系统平稳经过足够长的时间后,将会达到各种宏观性质长时间内不随时间变化的状态,这样 的状态叫热力学平稳态；22、表达自由能的定义及其物理意义答：自由能的定义FUTS；自由能是个态函数,它的变化可以用可逆等温过程中的功来 量度；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载23、简述 等概率原理的基本内容答：孤立系统处于平稳态时,全部可能显现的微观态的概率均相等；24、玻耳兹曼关系及其物理意义Skln,系统愈趋于平稳态,微观态数愈多,熵越大,因此熵是纷乱度

11、的量度；25、写出热力学其次定律的开尔文表述内容；有人利用地球表面和地球内部温度不同,做一个热机来发电, 称地热发电,把地球内部能量边为有用的电能,这是否违反热力学其次定律；答：开尔文表述：不行能从单一热源吸取热量使之完全变为 有用功而不引起其他变化；由于地球表面和地球内部的温度 不同,不是单一热源,所以不违反热力学其次定律26、简述玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统有什么区分和联系？区分：由费米子组成的系统称为费米系统,遵从泡利不相容 原理；由玻色子组成的系统称为玻色系统,不受泡利不 相容原理的约束；把可辨论的全同近独立粒子组成,且 处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称为玻 耳兹曼系统

12、；联系：在满意经典极限条件 e 1 时,玻色（费米）系统中 的近独立粒子在平稳态遵从玻耳兹曼分布；27、经典能量均分定理的内容是什么？举出不满意经典能量均分定理的三种情形；名师归纳总结 对于处在温度为T 的平稳状态的经典系统,粒子能量中每一第 6 页,共 15 页个平方项的平均值等于 1 k T；2（ 1）原子内的电子对气体的热容量没有奉献；（2）双原- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载子分子的振动在常温范畴内对热容量没有奉献；（ 3）低温下氢的热容量所得结果与试验不符；28、为什么在熵和体积不变的情形下,平稳态的内能最小？由热力学其次

13、定律有：dU TdS pdV可得：当 S、V 不变时,即 dS=0,dV=0；所以,dU 0由此可见,在系统由非平稳态趋向平稳态的过程中,系统的内能始终在削减dU0；当系统达到平稳时,dU=0,内能取微小值；29、什么是熵增加原理？答：绝热过程中系统的熵永不削减；对于可逆绝热过程,系 统的熵不变；对不行逆绝热过程,系统的熵增加；或孤立系 统的熵永不削减,这个结论叫做熵增加原理；二、运算题 1、已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布分布,其能量表达式为：1p2 xp2 yp2 zax2bx,其中a, 是粒子常量, 求粒子的平均能2m量；解：应用能量均分定理求粒子的平均能量时,需要留意所给能量表达式中ax

14、和 bx两项都是1x 的函数,不能直接将能量均分定理应用于ax 项而得出ax2kT的结论；要通过配方将2表达为1p2 xp2 yp2 zaxb2b22ma4a在上式中,仅第四项是 定理知x 的函数,又是平方项；由能量均分名师归纳总结 1p2 xp2 yp2 zaxb2b22kTb22 kTb2第 7 页,共 15 页2ma4a4a4a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、系统由 N 个无相互作用的线性谐振子组成 . a如其能量表达式为：p2 x1kx22m2时,求系统的内能；b如其能量表达式为：nn1 2,nn,1,0 2n时,求系统

15、的内能；解： a 由能均分定理UNkTnne1ln Z , b UN, Z1Z 1en111e2e2e21ennlnZ 11ln1e12lnZ 112e12e1U1NeN12争论：高温极限和低温极限；3、试求双原子分子抱负气体的振动熵；解 ： 双 原 子 分 子 理 想 气 体 的 振 动 配 分 函 数 ：名师归纳总结 Zv 1ev Z 1n1e2/1eln11eln1eev/T第 8 页,共 15 页2n0lnZv1ln2v SNklnv Z 1eNk1引入v/k,得：v SNkve11Nkln1TvT- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢

16、迎下载三、证明题1、试证明一个匀称物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减；证明： 等压过程中熵随体积的变化率为：SP,温度随体积V的变化率为：TPV方法一：由雅可比行列式可得：SP=S,P=S,PT,P=SPTP（1）的增减；VV,PT,PV,PTV由CPdQTSP可得：SPCP（2）dTTTT将（ 2）式代入（ 1）式可得：SPC PTP证毕VTV由于：C P0,T0,所以：SP的增减取决于TPVV方法二： 由SSP,VSP,TP,V可得：到dSSTCPTVPTPVPTVP2、试证明,对于二维自由粒子,在长度L 2内,在的能量范畴内,量子态数名师归纳总结 为Dd2L

17、2md；第 9 页,共 15 页h2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载dxdydpxdpy内的量子态数证明： 对于二维自由粒子,在体积元为：1dxdydp xdp y,h2用极坐标描述时,二维动量空间的体积元为pdpd ；在面积SL2内,动量大小在p 到pdp范畴内,动量方向在到d 范围内,二维自由粒子的可能状态数为：的dnSdP xdP ySPdPd s面积 h2h2因P2只与 P有关（ P0）, 故对积分可得：2mDd2SPdP2SP2,m2mSdD2mS,s=L2h2h22m2 hh23、证明：CVTT2pV,CpTT2Vp,并由

18、此导出：VT2pT2C VC0 VTV2pVdV；CpC0 pTp2VpdpV0T2p0T2证明 ：C VUVTSV TT以T ,V为状态参量,将上式求对V 的偏导数,有C VTT2ST2ST2pV VVTTVT2其中,其次步交换了偏导数的求导次序,第三步应用了麦氏关系,由抱负气体的物态方程pVnRT知,在 V 不变时, p 是 T的线性函数,即2pV0,所以CV0；这意味着,抱负气T2VT体的定容热容量只是温度 分,得T 的函数；在恒定温度下将式积名师归纳总结 CVC0 VTV2pVdV 第 10 页,共 15 页V 0T2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

19、- - 同理式学习必备欢迎下载）给：（2.2.8Cp pT TT 2 V2 以以 T , 为状态参量,将上式再求对 p 的偏导数,有Cp pT Tp 2 ST TT 2 Sp TT 2 V2p 其中,其次步交换了偏导数的求导次序,第三步应用了麦氏关系,由抱负气体的物态方程pVnRT知,在 p不变时, V 是 T的线性函数,即2 Vp0,所以Cp0；这意味着,抱负气T2pT体的定容热容量只是温度 分,得T 的函数；在恒定温度下将式积CpC0 pTp2 Vpdpp 0T24、气柱的高度为H,处在重力场中,试证明此气柱的内能和热容量为UU0NkTeNmgH1 ,C VC0 VNkN mgH2emgH

20、kT12mgHkT emgHkT1 2kT证明：假设气体是单原子分子抱负气体；重力场中分子的能 量为：名师归纳总结 Z 11p2 x32p2 yp2 zp2 ymgz,粒子的配分函数为：e1mgH第 11 页,共 15 页2 m1me12mp2 xpz2mgzdxdydzdP XdP YdP Zh3e1mgzdz12m32A1 112dxdyHh30h3mg- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其中 d x d y是气柱的截面积；气柱的内能为：3 NmgH NmgHU N ln Z 1 NkT NkT mgH U 0 NkT mgH 2

21、e kT 1 e 1 式中 U 0 3 NkT2mgH气体的热容量为 C V U C 0V Nk N mgHmgH 2e kT 12T e kT 1 2 kT5、试求确定零度下金属电子气体中电子的平均速率 v ；2解：由 F P F 可得 T 0 K 时电子的分布；2 mf 1, 0 Ff 0, F2 F P F 其中 是费米能级,P 是费米动量；2 m由于在体积 V 内,动量大小在 P -P dP 范畴内的量子态数为：43 V2 P 2dP,考虑到电子自旋在动量方向的投影有两个h可能值；8VP F0PP2dP14 P F3P F因此,动量的平均值为：P3 h8V4 1P FP2dP3 P F

22、4h303由：Pm v可得,平均速率为：v3P F4m四、推论题名师归纳总结 1、设系统含有两种粒子,其粒子数分别为N 和 N. 粒子间第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的相互作用很弱,可看作是近独立的；假设粒子可辨论,处在一个个体量子态的粒子数不受限制；试证明,在平稳态下两种粒子的最概然分布分别为：allel和allell；其中l和l是两种粒子的能级,l和l是能级简并度；解：粒子 A 能级,粒子数分布：l al 简并度l粒子 B 能级,粒子数分布：l al 简并度体系两种粒子分布要满意的条件为：lalN,a

23、lNalllallEll分布la,对应的微观状态数为1N.la lla .l分布2la,对应的微观状态数为N.lla la .l就系统的微观态数为12上式说明：当第一类粒子的分布为 al 时系统的微观态数； al ,而同时其次类粒子的分布为在平稳下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件 a l N,la l N a l l a l l E 下使 ln ln 1 2 为极大的分布；利用l l l斯特林公式可得：名师归纳总结 lnln12NlnNlallnallallnlNlnNlallnallallnl第 13 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

24、- - 由ln120,得学习必备欢迎下载ln12llna la lllna lal0ll而由限制条件可得：lla0,lla0llalllal0la0引入拉氏不定乘子,得a llnala llnaln12aala llllllllll依据拉格朗日未定乘子法原理,每个la 及la 的系数都等于零,所以得：lnalll0allexplllnal0allexpll争论：（1）、上面的推导说明,两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布,两分布的,不同,但有共同的,缘由在于开头就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值, 这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量,但不会相互转化； 从上述结果仍可看出, 由两个弱相互作用的子

25、系统构成的系统达到平稳时,两子系统有相同的（2）、假如把每一种粒子看作是一个子系统,就总系统是由两个子系统组成,在热平稳时,两子系统的温度相等；由于在热平稳时,两子 系统的温度相等；从上面打推导中可看出,在热平稳时,两子系统的是相同的,由此可见,参数是一个与温度有关的量；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、写出遵从玻耳兹曼分布的系统配分函数,并导出系统内 能、广义力、熵的统计表达式；再依据熵的统计表达式推导 出玻耳兹曼关系并阐述其物理意义；3、写出玻耳兹曼分布的的表达式、解答其物理意义；依据 玻耳兹曼分布导出气体分子的速率分布律；4、具体阐述爱因斯坦的固体模型理论,据此模型推导固体 热容量表达式,进而与经典理论做一比较并指出该理论的不 足及其根源 ；5、利用玻耳兹曼分布推导出抱负气体物态方程；6、简述经典固体模型理论；试依据该模型理论得出的结论 与试验结果做一比较；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页