线性代数第四章第三节课件.ppt

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1、线性代数第四章第三节课件第1页，此课件共31页哦其中,且 称 为 n 元二次型，矩阵A称为二次型 的矩阵。第2页，此课件共31页哦 例如二次型为要写成矩阵形式，把 这些项分别改写成 即第3页，此课件共31页哦其矩阵表示式为或简单地就用对称矩阵 A=来表示.第4页，此课件共31页哦 4.2.15化二次型为标准形化二次型为标准形 如果二次型 通过满秩变换X=CY(C为n阶满秩方阵)，使得原二次型用 表示时，化为 ,简称此过程为化二次型为标准形。第5页，此课件共31页哦4.2.16正交变换正交变换 如果二次型 通过满秩变换X=CY,使得原二次型化为标准形，且满秩方阵C是正交矩阵，则称此变换为正交变换

2、。第6页，此课件共31页哦定理定理13 对于任何一个二次型一定能找到一个正交矩阵T，使得经过正交变换 X=TY,把它化为标准形其中 是二次型 的矩阵A的全部特征值。化二次型为标准形的定理：定理定理12 任何一个二次型都可化为标准型。即任何一个对称矩阵A，总能找到可逆矩阵C，使得 成为对角矩阵。第7页，此课件共31页哦例例4.2.5 化二次型为标准形.解解 先将含 的各项配成一个关于 的完全平方项，即第8页，此课件共31页哦再将含 的各项配成完全平方，即 令即得 第9页，此课件共31页哦例例4.2.6 求一个正交变换X=TY，把二次型化为标准形.解解 的矩阵是 A=A的特征多项式第10页，此课件

3、共31页哦det(E-A)=第11页，此课件共31页哦于是A的不同特征值为 (二重)对于 (二重)，求解齐次线性方程组（4E A）X=O，由 4E A=求得一个基础解系为第12页，此课件共31页哦先正交化,令第13页，此课件共31页哦再单位化，令对于 ，求解齐次线性方程组（EA）X=O，由第14页，此课件共31页哦 -2EA=第15页，此课件共31页哦求得它的一个基础解系为第16页，此课件共31页哦再单位化，得令T=第17页，此课件共31页哦则T是正交矩阵，并且有 T AT=于是，令X=TY，得 =第18页，此课件共31页哦4.2.17二次型二次型的秩的秩 将二次型 的矩阵A的秩，称为二次型

4、的秩。第19页，此课件共31页哦 4.2.18正惯性指数与负惯性指数正惯性指数与负惯性指数 在二次型 的标准形中，系数为正的平方项个数p称为 的正惯性指数；系数为负的平方项个数sp称为 的负惯性指数，其中s为 的秩。惯性定理：定定理理14 二次型 的任一标准形中，系数为正的平方项个数是惟一确定的，它等于 的正惯性指数；而系数为负的平方项个数也是惟一确定的，它等于 的负惯性指数。第20页，此课件共31页哦 4.2.19正定二次型正定二次型 二次型 如果对任意一组不全为零的实数，都有则称 为正定二次型。第21页，此课件共31页哦4.2.20 正定矩阵正定矩阵 如果二次型 是正定二次型,对称矩阵A称

5、为正定矩阵。第22页，此课件共31页哦 4.2.21 k阶主子式阶主子式(kn)在 n 阶方阵A中，取第 行及第 列（即行标与列标相同）所得到的 k 阶子式称为A的 k 阶主子式(kn)。第23页，此课件共31页哦 例如，设 A=取第1，3行及第1，3列得到二阶子式就是一个二阶主子式.第24页，此课件共31页哦 4.2.22k阶顺序主子式阶顺序主子式 在 n 阶方阵A中取第 行及第列得到的 k 阶子式（kn），称为A的 k 阶顺序主子式。第25页，此课件共31页哦 例如，上例中的A，1阶顺序主子式|2|=2，二阶顺序主子式是三阶顺序主子式是det A.第26页，此课件共31页哦 正定矩阵的判定

6、定理：定理定理15 n 元二次型 是正定的 全大于零。定理定理16 满秩变换不改变二次型的正定性。定定理理17 n 元二次型 是正定的 它的正惯性指数等于 n。第27页，此课件共31页哦 定理定理18 n 元二次型 是正定的 它的矩阵A的特征值全大于零。定理定理19 n 元二次型 是正定的 它的矩阵A的所有顺序主子式全大于零。即对称矩阵A是正定矩阵 它的所有顺序主子式全大于零。第28页，此课件共31页哦4.2.23 负定、半正定负定、半正定与半负定的二次型与半负定的二次型 设 是二次型，对任一组不全为零实数 ，如果都有 ，则称 是负定的；如果都有 ，则称 是半正定的；如果都有 ,称是半负定的。第29页，此课件共31页哦 4.2.24 负定、半正定与半负定矩阵负定、半正定与半负定矩阵 如果对称矩阵A所对应的二次型 分别是负定的、半正定、半负定，则分别称对称矩阵A为负定的、半正定、半负定。第30页，此课件共31页哦例例4.2.7 判别下列二次型的正定性：（1）（2）（3）解解（1）的矩阵为 A=第31页，此课件共31页哦