大地线的定义与性质精.ppt

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1、大地线的定义与性质第1页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续1）大地线的定义：大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。大地线的性质：大地线的性质：1、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面；2、曲面上连接任何两点的最短直线必为 大地线。3、大地线的测地曲率等于0曲线的测地曲率：曲线的测地曲率：曲线的曲率在曲面切平面上的投影。大地线的曲率：大地线的挠率第2页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续2）2、大地坐标系中大地线的微分方程、大地坐标系中大地线的微分方程(1).大地线的二阶微分方程大地线的二阶微分方程以u,v 为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为：下标

2、为相应的偏导数。第3页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续3）对于椭球面，有：代入前面公式，得：则旋转椭球面上大地线的微分方程为：第4页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续4）(2).克莱劳定理克莱劳定理直角坐标系中的椭球面方程：椭球面法向量为：以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：两者指向一致，即：第5页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续5）由上式的前两个方程得：将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系：1代入 式，整理得：12第6页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续6）将关系：即：大地线上各点的平行圈半径与该点的大地线方位角正弦的乘积

3、是常数。代入上式，即得克莱劳定理：第7页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续7）(3).大地线的一阶微分关系式大地线的一阶微分关系式由克莱劳定理，微分得：第8页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续8）又如图所示：代入上式，得：三个微分关系式可整理为：3第9页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续9）3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程 大地线始点坐标P0(B0,L0)，大地线上任何点的位置向量都可以展开成S,A的级数形式：Frenet标架的坐标轴定义：x指向大地线的切向t，y指向大地线的主法向n，向内为正，z指向大地线

4、的副法向b，构成左手系。xyz4第10页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续10）显然有：根据曲线论中的Frenet公式：由以上两式可求出各阶导数：第11页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续11）将上式代入大地线展开式 ，得Frenet标架下的三维坐标：45顾及公式：第12页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续12）和：求导得：第13页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续13）代入Frenet标架下的三维坐标公式 ，得：5第14页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续14）将坐标系饶 y逆时针旋转A，得x”、y”、z”坐标系，则有：x

5、yzzx 以P0点为原点的地平坐标系(站心坐标系)x、y、z，与x”、y”、z”坐标系的关系为：xyzzxy第15页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续15）最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，称为Weingarten级数。6第16页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续16）法截弧为平面曲线，其挠率为0，同理可推得地平坐标系中的计算式为：第17页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续17）4、基于大地线的椭球面曲线坐标系、基于大地线的椭球面曲线坐标系(1).大地线极坐标系大地线极坐标系大地圆：大地圆：到极点具有相同大地线长 度的点所构成的轨迹。由大地线

6、长度和大地方位角可描述曲面点的位置 。如图所示：对照第一基本形式，得：由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：第18页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续18）大地线的归化长度 m 的计算公式：由 式求出偏导数代入得：6第19页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续19）(2).测地坐标系测地坐标系 以过P0点的经线及其平行线为v曲线，过P0点与经线正交的一族大地线为u曲线，构成的坐标格网称为测地坐标系测地坐标系测地坐标在v曲线方向用Sx，u曲线方向用Sy,即：第20页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续19）n 称为测地平行线的归化长度因子。由

7、 式求出对A偏导数，并顾及A=90，得：6第21页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续20）根据球面角超的定义，在球面直角三角形 中，球面角超为：根据球面三角形的Legendre定理：77将 式代入上式，得：第22页，本讲稿共24页2.2.5 大地线（续大地线（续21）代入测地平行线的归化长度因子公式，得：精确到二次项时的归化长度因子计算公式为：则与子午弧长相应的测地平行线的弧长为：第23页，本讲稿共24页习习 题题1.纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？2.推导大地线的三个微分式。3.试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地大地线是否等距？4.简述weingarten级数的推导步骤。第24页，本讲稿共24页