复变函数第二章导数精.ppt

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1、复变函数第二章导数第1页，本讲稿共23页(1)复变函数是实变函数在复数范围内的推广.对于复变函数的极限,连续,导数的概念可以按照(1)给出.重点分析:(一)与实变函数中对应概念的不同之处.第2页，本讲稿共23页2.1 2.1 复变函数的极限复变函数的极限2.1.1 复变函数极限的概念定义:第3页，本讲稿共23页xyOz0dzOuvAef(z)几何意义:第4页，本讲稿共23页证明:2.1.2 复变函数极限定理?复变函数的极限第5页，本讲稿共23页定理2.1则运算性质:证明:结合复变函数及实变函数极限的定义.第6页，本讲稿共23页当 z0 时的极限不存在证 令 z=x+i y,则由此得让 z 沿直

2、线 y=k x 趋于零,我们有故极限不存在.例例2 2 证明函数第7页，本讲稿共23页2.2 复变函数的连续性性质：(1)(1)连续函数的四则运算仍然连续(定理2.3)；(2)(2)连续函数的复合函数仍然连续(定理2.4)；定义:则证明:结合复变函数极限定理,连续的定义.例3(见例2.7,2.8)第8页，本讲稿共23页x00例4第9页，本讲稿共23页例6解可知例5解第10页，本讲稿共23页2.3 导数2.3.1 导数的概念（实变函数导数概念的推广）定义存在,从实质上讲，复变函数在一点可导，要比实变函数在一点可导要求要高的多，复杂的多。第11页，本讲稿共23页主要原因就是 第三章，我们将看到，若

3、一个复变函数在一点的邻域内具有一阶导数，就有任意阶的导数。对于实变函数这是不具有的性质。另外，在高等数学中，要举出一个处处连续但处处不可导的函数是十分困难的。在复变函数中，这样的例子很多。例3 讨论的可导性。解:都是在整个复平面上处处连续，但在任何一点都不可导。第12页，本讲稿共23页在复平面上除原点外处处不可导。所以注:第13页，本讲稿共23页2.3.2 导数的运算规则PP38-39 定理2.5,2.6,2.7 给出了结论.与实变函数的导数计算规则相同.第14页，本讲稿共23页2.3.3 2.3.3 函数可导的必要与充分条件函数可导的必要与充分条件(可导点的判定可导点的判定)讨论两种特殊情况，第15页，本讲稿共23页柯西-黎曼方程第16页，本讲稿共23页定理2.8（1）关于柯西-黎曼方程的记忆注：实部,虚部对应相等得到柯西-黎曼方程第17页，本讲稿共23页（3）将结论推广至区域D在区域D内处处可导（2）导数公式：(4)实际应用：直接利用定理结论有一定难度。第18页，本讲稿共23页解：判定函数的可导点,并求导数.第19页，本讲稿共23页解：第20页，本讲稿共23页第21页，本讲稿共23页第22页，本讲稿共23页第23页，本讲稿共23页