《初中数学总复习资料》2017中考数学压轴试题复习第一部分专题二因动点产生的等腰三角形问题201707071107.doc

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1、§12 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1已知线段AB5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2已知线段AB6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画

2、图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是确定的，夹A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法如图1，如果ABAC，直接列方程；如图2，如果BABC，那么；如图3，如果CACB，那么代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来图1 图2 图3 例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A

3、(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来P在x轴上截得的弦长MN4是定值2等腰三角形AMN存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MAMN和NANM时，点P的纵坐标是相等的图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以yax2所以b0，c0将代入yax2，得解得（舍去

4、了负值）（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为已知A(0, 2)，所以而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA圆心P到x轴的距离所以在点P运动的过程中，P始终与x轴相交（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，为定值等腰AMN存在三种情况：如图3，当AMAN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0图2 图3如图4，当MAMN时，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM2此时xOH2所以点P的纵坐标为如图5，当NANM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为图4 图5如图6，当NANM4时，在RtAON中，OA2，AN4，所以ON2此时xOH2

5、所以点P的纵坐标为如图7，当MNMA4时，根据对称性，点P的纵坐标也为图6 图7考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切这是因为：设点P的坐标为已知B(0, 1)，所以而圆心P到直线y1的距离也为，所以半径PB圆心P到直线y1的距离所以在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yax2bxc（a0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为(10, 0)和，以OB为直径的A经过C点，直线l垂直x轴于B点（1）求直线BC的解析式；（2）

6、求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是A上一动点（不同于O、B），过点M作A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0t8）秒时恰好使BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值 图 图1 动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到，EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高拖动点Q在BC上运动，可以体验到，BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形 思路点拨1从直线BC的解析式可以得到OBC的三

7、角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（3）题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高 4第（4）题的PBQ中，B是确定的，夹B的两条边可以用含t的式子表示分三种情况讨论等腰三角形图文解析（1）直线BC的解析式为（2）因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设yax(x10)代入点C，得解得所以抛物线的顶点为（3）如图2，因为EF切A于M，所以AMEF由AEAE，AOAM，可得RtAOERtAME所以12同理34于是可得EAF90°所以51由tan5tan1，得所以ME·MFMA2，即mn25 图2（4）在BPQ中，co

8、sB，BP10t，BQt分三种情况讨论等腰三角形BPQ：如图3，当BPBQ时，10tt解得t5如图4，当PBPQ时，解方程，得如图5，当QBQP时，解方程，得图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF为直径的G与x轴相切于点A如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G到x轴的距离等于圆的半径，所以G与x轴相切于点A图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线yx2(mn)xmn（mn）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C（1）若m2，n1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分

9、别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,1)，求ACB的大小；（3）若m2，ABC是等腰三角形，求n的值动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，ABC保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标2第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解

10、析（1）由yx2(mn)xmn(xm)(xn)，且mn，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)若m2，n1，那么A(2, 0)，B(1, 0)（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,1)，mn1，OC1若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OBm(n)mn1所以OC2OA·OB所以所以tan1tan2所以12又因为1与3互余，所以2与3互余所以ACB90°图1 图2 图3（3）在ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2(n2)2，BC25

11、n2，AC244n2当ABAC时，解方程(n2)244n2，得（如图2）当CACB时，解方程44n25n2，得n2（如图3），或n2（A、B重合，舍去）当BABC时，解方程(n2)25n2，得（如图4），或（如图5）图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,1)，mn1由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,1)，得AB2(mn)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21所以AB2BC2AC2于是得到RtABC，ACB90°第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CACB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直

12、接写出B(2, 0)，n2例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在ABC中，ACB90°，AC4cm，BC3cm如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连结PQ，设运动时间为t（s）（0t4），解答下列问题：（1）设APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQPC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体

13、验到，当点P运动到AB的中点时，APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况还可以体验到，当QC2HC时，四边形PQPC是菱形思路点拨1在APQ中，A是确定的，夹A的两条边可以用含t的式子表示2四边形PQPC的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，图文解析（1）在RtABC中，AC4，BC3，所以AB5，sinA，cosA作QDAB于D，那么QDAQ sinAt所以SSAPQ当时，S取得最大值，最大值为（2）设PP与AC交于点H，那么PPQC，AHAPcosA如果四边形PQPC为菱形，那么PQPC所以QC2HC解方程，得图3 图4（3）等腰三角形APQ存在三种情况：如图5，当APAQ

14、时，5tt解得如图6，当PAPQ时，解方程，得如图7，当QAQP时，解方程，得图5 图6 图7考点伸展在本题情境下，如果点Q是PPC的重心，求t的值如图8，如果点Q是PPC的重心，那么QCHC解方程，得 图8例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知RtABC中，C90°，AC8，BC6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，

15、是否存在时间t，使得PQC为等腰三角形若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由（，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，PQ与BD保持平行，等腰三角形PQC存在三种情况 思路点拨1过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值2线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上3等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长图文解析（1）在RtABC中，AC8，BC6，所以AB10如图2，当点Q在AB上时，作BD/PQ交AC于点D，那么所以AD5所以CD3如图3，当点Q在BC上时，又因为，所以因此PQ/B

16、D所以PQ的最大值就是BD在RtBCD中，BC6，CD3，所以BD所以PQ的最大值是图2 图3 图4（2）如图2，当点Q在AB上时，0t5，SABD15由AQPABD，得所以SSAQP如图3，当点Q在BC上时，5t8，SABC24因为SCQP，所以SSABCSCQP24(t8)2t216t40（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ2CP，C90°，所以PQC不可能成为等腰三角形当点Q在AB上时，我们先用t表示PQC的三边长：易知CP8t如图2，由QP/BD，得，即所以如图4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA，AH在RtCQH中，由勾股定理，得CQ分三种情况讨论等腰三角形PQC：（1）当PCPQ时，解方程，得3.4（如图5所示）当QCQP时，整理，得所以(11t40)(t8)0解得3.6（如图6所示），或t8（舍去）当CPCQ时，整理，得解得3.2（如图7所示），或t0（舍去）综上所述，当t的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，PQC是等腰三角形图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：如图8，当点Q在AB上时，PQ当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为如图9，当点Q在BC上时，PQ当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为综上所述，PQ的最大值为图8 图9