第二章多元正态分布的参数估计课件.ppt

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1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版标题样式第二章多元正态分布的参数估计第1页，此课件共65页哦2.1 多元正态分布的定义一元一元正态分布正态分布N(,2)的概率密度函数的概率密度函数为：为：若随机向量若随机向量 的概率密度函数为的概率密度函数为则称则称X服从服从p元正态分布元正态分布，记作，记作XNp(,)，其中，参数，其中，参数和和分别为分别为X的均值和协差阵。的均值和协差阵。第2页，此课件共65页哦例例1（二元正态分布（二元正态分布）设设XN2(,)，这里，这里易见，易见，是是X1和和 X2的相关系数。当的相关系数。当|0)作如下的剖分：作如下的剖分：第16页，此课件共65页哦则子向

2、量则子向量X1和和X2相互独立，当且仅当相互独立，当且仅当12=0。该性质指出，对于多元正态变量而言，其子向量之间互不该性质指出，对于多元正态变量而言，其子向量之间互不相关和相互独立是等价的。相关和相互独立是等价的。（7）设）设XN p(,),0，则，则例例4 设设XN3(,)，其中，其中则则X2和和X3不独立，不独立，X1和和(X2,X3)独立。独立。第17页，此课件共65页哦（8）设）设XN p(,),0，作如下剖分，作如下剖分则给定则给定X2时时X1的条件分布为的条件分布为 ，其中，其中12和和112分别是条件数学期望和条件协方差矩阵，分别是条件数学期望和条件协方差矩阵，112通常称通常

3、称为偏协方差矩阵。为偏协方差矩阵。第18页，此课件共65页哦这一性质表明，对于多元正态变量，其子向量的条件分布仍是这一性质表明，对于多元正态变量，其子向量的条件分布仍是（多元）正态的。（多元）正态的。例例5 设设XN3(,)，其中，其中试求给定试求给定X1+2X3时时 的条件分布。的条件分布。第19页，此课件共65页哦2.3 复相关系数和偏相关系数 一、复相关系数一、复相关系数二、偏相关系数二、偏相关系数第20页，此课件共65页哦一、复相关系数相关系数度量了一个随机变量相关系数度量了一个随机变量x1与另一个随机变量与另一个随机变量x2之间之间线性关系的强弱。线性关系的强弱。复相关系数度量了一个

4、随机变量复相关系数度量了一个随机变量X1与一组随机变量与一组随机变量X2,Xp之间线性关系之间线性关系的强弱。的强弱。将将X,(0)剖分如下：剖分如下：第21页，此课件共65页哦 X1和和X2的线性函数的线性函数 间的最大相关系数称为间的最大相关系数称为 X1和和X2间间的的复复(或或多重多重)相关系数相关系数(multiple correlation coefficient)，记作记作12,p,它度量了一个变量它度量了一个变量X1与一组变量与一组变量X2,Xp间的间的相关程度。相关程度。可推导出可推导出例例4 随机变量随机变量X1,Xp的任一线性函数的任一线性函数F=l1X1+lp Xp与与

5、X1,Xp的复相关系数为的复相关系数为1。证明证明:第22页，此课件共65页哦二、偏相关系数将将X,(0)剖分如下：剖分如下：称称 为给定为给定X2时时X1的的偏协方差矩阵偏协方差矩阵。记记 ，称，称 为为偏协方差偏协方差，它是剔，它是剔除了除了 的（线性）影响之后，的（线性）影响之后，Xi和和Xj之之间的协方差。间的协方差。第23页，此课件共65页哦给定给定X2时时Xi 和和Xj的的偏相关系数偏相关系数（partial correlation coefficient）定义为定义为:其中其中 。ijk+1,p度量了剔除度量了剔除Xk+1,Xp的（线性）影响之后，的（线性）影响之后，Xi和和Xj

6、间相间相关关系的强弱。关关系的强弱。对于多元正态变量对于多元正态变量X，由于，由于112也也是条件协方差矩阵，故此时偏是条件协方差矩阵，故此时偏相关系数与条件相关系数是同一个值，从而相关系数与条件相关系数是同一个值，从而ijk+1,p同时也度量同时也度量了在了在Xk+1,Xp值给定的条件下值给定的条件下Xi和和Xj间相关关系的强弱。间相关关系的强弱。第24页，此课件共65页哦3.5 和(N 1)S2的抽样分布一、一、的抽样分布的抽样分布二、二、(n 1)S的抽样分布的抽样分布第33页，此课件共65页哦一、的抽样分布1.正态总体正态总体 设设XNp(,),0，X1,X2,Xn是从总体是从总体X中

7、抽取的一个样中抽取的一个样本，则本，则2.非正态总体（非正态总体（中心极限定理中心极限定理）设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的一个样本，的一个样本，和和存在，当存在，当n很大且很大且n相对于相对于p也很大时，上式近似地成立。也很大时，上式近似地成立。第34页，此课件共65页哦第35页，此课件共65页哦 第36页，此课件共65页哦第37页，此课件共65页哦第38页，此课件共65页哦 第39页，此课件共65页哦 第40页，此课件共65页哦第41页，此课件共65页哦 第42页，此课件共65页哦二、均值向量与协差阵的最大似然估计 第43页，此课件共65页哦 第44页，此课件共65页哦 第45

8、页，此课件共65页哦 第46页，此课件共65页哦 第47页，此课件共65页哦三、估计量的性质1.1.无偏性无偏性2.2.有效性有效性3.3.一致性一致性4.4.充分性充分性第48页，此课件共65页哦充分统计量充分统计量1 充分性的概念充分性的概念例例1 为研究某种产品的合格品率，我们对该产品进行为研究某种产品的合格品率，我们对该产品进行检查，从该产品中随机抽取检查，从该产品中随机抽取10件进行观测，发现除第件进行观测，发现除第三、六件产品不合格外，其余三、六件产品不合格外，其余8件产品都是合格品。这件产品都是合格品。这样的观测结果包含了样的观测结果包含了两两种信息：种信息：(1)10件产品有件

9、产品有8件是合格品；件是合格品；(2)2 件不合格品分别是第三和第六件。件不合格品分别是第三和第六件。第49页，此课件共65页哦第二种信息对了解该产品合格品率是没有什么帮助的。一第二种信息对了解该产品合格品率是没有什么帮助的。一般地，设我们对该产品进行般地，设我们对该产品进行n 次观测，得到次观测，得到 x1,x2,xn，每个每个xj 取值非取值非0即即1，合格为，合格为1，不合格为，不合格为0。令。令 T=x1+xn，T为观测到的合格品数。在这种场合仅仅记为观测到的合格品数。在这种场合仅仅记录使用录使用T 不会丢失任何与合格品率不会丢失任何与合格品率 有关的信息，统计有关的信息，统计上将这种

10、上将这种“样本加工不损失信息样本加工不损失信息”称为称为“充分性充分性”。样样本本 x=(x1,x2,xn)有一个样本分布有一个样本分布F (x)，这个分布包含了样本中一切有关这个分布包含了样本中一切有关 的信息。的信息。第50页，此课件共65页哦统计量统计量T=T(x1,x2,xn)也有一个抽样分布也有一个抽样分布F T(t)，这这个分布个分布包含了统计量包含了统计量T中一切有关中一切有关 的信息的信息.当我们期望当我们期望用统计量用统计量T 代替原始样本且不损失任何有关代替原始样本且不损失任何有关 的信息时，的信息时，也就是期望抽样分布也就是期望抽样分布 F T(t)像像 F (x)一样概

11、括了有关一样概括了有关 的一切信息的一切信息.这即是说在统计量这即是说在统计量 T 取值为取值为 t 的情况下的情况下样本样本 x 的条件分布的条件分布F (x|T=t)已不含已不含 的信息，这正是统的信息，这正是统计量具有充分性的含义。计量具有充分性的含义。第51页，此课件共65页哦定义定义(充分统计量充分统计量)设设 x1,x2,xn 是来自某个总体是来自某个总体的样本，总体分布函数为的样本，总体分布函数为F (x;)，统计统计 量量 T=T(x1,x2,xn)称为称为 的充分统计量，如果在给定的充分统计量，如果在给定T 的取值后，的取值后，x1,x2,xn 的条件分布与的条件分布与 无关

12、无关.第52页，此课件共65页哦例例2 设总体为二点分布设总体为二点分布 为样本为样本,令令 则则T是是 的充分统计量的充分统计量;若若则则S不是不是 的充分统计量的充分统计量.下面我们给出几个例子下面我们给出几个例子,根据定义来验证一个统计量是不根据定义来验证一个统计量是不是充分的是充分的.第53页，此课件共65页哦在一般场合直接由定义出发验证一个统计量是充分统在一般场合直接由定义出发验证一个统计量是充分统计量比较困难计量比较困难.奈曼奈曼(Neyman)给出了一个简单的判别方给出了一个简单的判别方法法-因子分解定理因子分解定理.充分性原则充分性原则：在充分统计量存在的场合，任何统计推断都在

13、充分统计量存在的场合，任何统计推断都 可以基于充分统计量进行，这可以简化统计推断的程序可以基于充分统计量进行，这可以简化统计推断的程序,称称该原则为充分性原则该原则为充分性原则.第54页，此课件共65页哦 第55页，此课件共65页哦四、WISHART分布 第56页，此课件共65页哦 第57页，此课件共65页哦第58页，此课件共65页哦第59页，此课件共65页哦 通过上面的理论分析知道，多元正态总体均值向量和协通过上面的理论分析知道，多元正态总体均值向量和协差阵的最大似然估计分别是样本均值向量和样本协差阵。差阵的最大似然估计分别是样本均值向量和样本协差阵。利用利用SPSS软件可以迅速地计算出多元

14、分布的样本均值向软件可以迅速地计算出多元分布的样本均值向量、样本离差阵和样本协差阵。下面通过一个实例来说量、样本离差阵和样本协差阵。下面通过一个实例来说明多元正态分布参数估计的明多元正态分布参数估计的SPSS实现过程。实现过程。从沪深两市上市公司中随机抽取从沪深两市上市公司中随机抽取300家公司，取其三个反家公司，取其三个反映收益情况的三个财务指标：每股收益率（映收益情况的三个财务指标：每股收益率（eps）、净资产收）、净资产收益率（益率（roe）和总资产收益率（）和总资产收益率（roa）。现要求对这三个指）。现要求对这三个指标的均值和协差阵进行估计。标的均值和协差阵进行估计。第60页，此课件

15、共65页哦均值向量的估计在在SPSS中计算样本均值向量的步骤如下：中计算样本均值向量的步骤如下：1.选择菜单项选择菜单项AnalyzeDescriptive StatisticsDescriptives，打开，打开Descriptives对话框，如图对话框，如图2.1。将待估计的三个变量移入右边的。将待估计的三个变量移入右边的Variables列表框中。列表框中。图图2.1 Descriptives对话框对话框第61页，此课件共65页哦2.单击单击Options按钮，打开按钮，打开Options子对话框，如图子对话框，如图2.2所示。在对话框中选择所示。在对话框中选择Mean复选框，即计算样本

16、均值向量。单击复选框，即计算样本均值向量。单击Continue按钮返回主对话框。按钮返回主对话框。图图2.2 Options子对话框子对话框第62页，此课件共65页哦3.单击单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.2。即。即样本均值向量为（样本均值向量为（0.175，0.044，0.026）。）。表表2.2 样本均值向量样本均值向量第63页，此课件共65页哦协差阵的估计在在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：中计算样本协差阵的步骤如下：1.选择菜单项选择菜单项AnalyzeCorrelateBivariate，

17、打开，打开Bivariate Correlations对话框，如图对话框，如图2.3。将三个变量移入右边的。将三个变量移入右边的Variables列表框中。列表框中。图图2.3 Bivariate Correlations对话框对话框第64页，此课件共65页哦2.单击单击Options按钮，打开按钮，打开Options子对话框，如图子对话框，如图2.4。选择。选择Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵。单击复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵。单击Continue按钮，返回主对话框。按钮，返回主对话框。图图2.4 Options子对话框子对话框第65页，此课件共65页哦