第三章向量空间精选PPT.ppt

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1、第三章向量空间第1页，本讲稿共116页第一节第一节第一节第一节 向量空间向量空间向量空间向量空间第四节第四节第四节第四节 欧氏空间欧氏空间欧氏空间欧氏空间第二节第二节第二节第二节 向量的线性相关性向量的线性相关性向量的线性相关性向量的线性相关性第五节第五节第五节第五节 线性变换线性变换线性变换线性变换第三节第三节第三节第三节 向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标第2页，本讲稿共116页1 1理解理解n维向量的概念。维向量的概念。2 2理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关的重要性质理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关的重

2、要性质并会进行判别。并会进行判别。3 3理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，并会理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，并会求向量组的最大无关组与向量组的秩。求向量组的最大无关组与向量组的秩。4 4知道知道n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念，知维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念，知道基变换和坐标变换。道基变换和坐标变换。本章学习要求：对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。第3页，本讲稿共116页 5了解向量内积的概念，了解标准正

3、交基的概念，会用线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。6了解线性变换的概念，了解正交变换和正交矩阵的概念和性质。7理解线性变换的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。8了解相似矩阵的概念及性质。了解矩阵对角化的充要条件。会求实对称矩阵的相似对角形矩阵。本章学习要求：对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。第4页，本讲稿共116页1.1.1.1.向量空间向量空间向量空间向量空间第三章 向量空间 我我们们知知道道三三维维向向量量的的概概念念，知

4、知道道三三维维向向量量与与一一个个三三元元有有序序数数组组形形成成一一一一对对应应，实实际际生生活活中中很很多多事事物物也也可可用用多个数构成的有序数组来刻划多个数构成的有序数组来刻划.a1x1+a2x2+anxn=b就可用就可用 n+1个数构成的有序数组个数构成的有序数组(a1,a2,an,b)来代表来代表.如一个如一个n元线性方程组元线性方程组一、一、一、一、n n 维向量的定义及运算维向量的定义及运算维向量的定义及运算维向量的定义及运算我们把三维向量的概念予以推广，讨论我们把三维向量的概念予以推广，讨论 n 维向量维向量.由由 n 个个数数构构成成的的有有序序数数组组(a1,a2,an)

5、称称为为 一一个个n n 维维维维向向向向量量量量,其其中中ai 称称为为该该向向量量的的第第 i 个个分分量量(i=1,2,n).1.n 维向量维向量定义定义1 1第5页，本讲稿共116页第三章 向量空间我们也可把我们也可把 n 维向量的分量排成一列，如维向量的分量排成一列，如此时可称此时可称 为为 n n 维列向量维列向量维列向量维列向量；相应地称把分量排成一；相应地称把分量排成一行的向量称为行的向量称为 n n 维行向量维行向量维行向量维行向量，如，如 =(a1,a2,an).由上面可看出，由上面可看出，n 维向量的概念与运算实际上与维向量的概念与运算实际上与1 n (或或 n 1)矩阵

6、一致矩阵一致.上一页第6页，本讲稿共116页第三章 向量空间设设A是一个是一个 m 行行 n 列的矩阵，则列的矩阵，则 A 的每一行是一的每一行是一个个 n 维行向量，维行向量，A 的每一列是一个的每一列是一个m维列向量，分别维列向量，分别称它们为称它们为 A A 的行向量与列向量的行向量与列向量的行向量与列向量的行向量与列向量.并可以表示为并可以表示为上一页第7页，本讲稿共116页第三章 向量空间一般用希腊字母一般用希腊字母 ,表示表示 n 维向量维向量.分量全是分量全是实数的向量称为实向量实数的向量称为实向量.以后我们所讨论的向量都是以后我们所讨论的向量都是指实向量指实向量.注意：注意：n

7、 3 时的向量没有直观的几何意义时的向量没有直观的几何意义.规定规定:对于对于 =(a1,a2,an),=(b1,b2,bn),=ai=bi,i=1,2,n.1)加减法加减法 设设 =(a1,a2,an),=(b1,b2,bn),定义定义 =(a1 b1,a2 b2,an bn).2)数乘数乘 设设 =(a1,a2,an),k为实数，定义数为实数，定义数 k 与向量与向量 的乘积为的乘积为k =(ka1,ka2,，kan).2.n 维向量的运算维向量的运算第8页，本讲稿共116页第三章 向量空间易验证，向量的运算满足如下八条基本规律：易验证，向量的运算满足如下八条基本规律：1)加法交换律加法交

8、换律 +=+;2)加法结合律加法结合律 (+)+=(+)+;3)向量向量 0=(0,0,0)称为称为零向量零向量零向量零向量，它有性质，它有性质4)(1)=(a1,a2,an)称为称为 的的负向量负向量负向量负向量，记为记为 .显然有：显然有：+()=0;+0=;5)1 =;6)数乘结合律数乘结合律 k(l)=(k l);7)第一分配律第一分配律 k(+)=k +k ;8)第二分配律第二分配律 (k+l)=k +l ,(其中其中 ,为任意为任意 n 维向量维向量,k,l 为实数为实数).上一页第9页，本讲稿共116页第三章 向量空间设设V是是一一些些 n 维维向向量量的的非非空空集集合合，如如

9、果果 V 关关于向量的加法与数乘封闭，即于向量的加法与数乘封闭，即(1),V,有有 +V.(2)V,k R,有有 k V.则称则称 V 是一个是一个向量空间向量空间向量空间向量空间.二、向量空间二、向量空间二、向量空间二、向量空间定义定义1 11.1.1.1.向量空间向量空间向量空间向量空间第10页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 1全体全体 n 维向量的集合维向量的集合(x1,x2,xn)|xi R,i=1,2,n 是一个向量空间，记为是一个向量空间，记为 Rn.特别的特别的特别的特别的n=1 时全体实数时全体实数 R 是一个向量空间是一个向量空间;n=3 时时全体三维向量全体三维向量(

10、x1,x2,x3)|xi R,i=1,2,3 是是一个向量空间，记为一个向量空间，记为R3.n=2 时全体平面中的向量时全体平面中的向量(x1,x2)|xi R,i=1,2 是是一个向量空间，记为一个向量空间，记为R2.第11页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 3例 2而而W=(a1,a2,an)|是一向量空间是一向量空间.不是一向量空间不是一向量空间,因为它关于加法与数乘均不封闭因为它关于加法与数乘均不封闭.仅含一个仅含一个 n 维零向量维零向量 0=(0,0,0)的集合的集合 0 构成一个向量空间，称为构成一个向量空间，称为零空间零空间零空间零空间.上一页第12页，本讲稿共116页第三

11、章 向量空间设设 V 是是一一个个向向量量空空间间，W V,W .如如果果 W 关关于于向向量量的的加加法法与与数数乘乘也也封封闭闭，则则称称 W 是是 V 的的子空间子空间子空间子空间.定义定义3 3例 4 V 本身和本身和 0 都是都是 V 的子空间，称它们为的子空间，称它们为 V 的的平凡子空间平凡子空间平凡子空间平凡子空间.它们分别构成它们分别构成 V 的最大和最小的最大和最小的子空间的子空间.V的其他的子空间称为的其他的子空间称为非平凡子空间非平凡子空间非平凡子空间非平凡子空间.上一页二、子空间二、子空间二、子空间二、子空间由定义可知，向量空间由定义可知，向量空间 V 的非空子集的非

12、空子集 W 是是 V 的子空间的子空间当且仅当对任意的当且仅当对任意的，W 及数及数 k,l R,都有都有 k+lW.第13页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 5n个分量个分量都是都是 R n 的子空间的子空间.及及例 6 设设 V,则则 L()=k|k R 为为 V 的的子子空空间间，称称它为它为由由由由 生成的子空间生成的子空间生成的子空间生成的子空间，称为这子空间的称为这子空间的生成元生成元生成元生成元.是是 V 的由的由 1,2,s 生成的子空间生成的子空间.更一般地，设更一般地，设 1,2,s V.上一页第14页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 7设设 A 为为 m 行行 n

13、 列列实实矩矩阵阵，设设 A 的的列列向向量量为为 1,2,n,则则 L(1,2,n)是是 Rm 的的子子空空间间，称称为为 A A的列空间的列空间的列空间的列空间，记为，记为 N(A)，设设 A 的的行行向向量量为为 1,2,n,则则 L(1,2,n)也是也是Rn 的子空间，称为的子空间，称为 A A 的行空间的行空间的行空间的行空间.上一页例 8线性方程组线性方程组 Ax=0 的解集合的解集合 S 构成一个向量空间，构成一个向量空间，其中其中 A 为已知为已知 m X n 矩阵，矩阵，x 为为 n 维未知列向量维未知列向量.第15页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 9设设 W1，W2

14、是是向向量量空空间间 V 的的两两个个子子空空间间，则则 V 的子集的子集以及以及上一页都是都是 V 的子空间的子空间.前者称为前者称为 W1 和和 W2 的交，记为的交，记为后者称为 W1 和 W2 的和，记为 第16页，本讲稿共116页第三章 向量空间2.2.2.2.向量的线性相关性向量的线性相关性向量的线性相关性向量的线性相关性一、向量组的线性相关与线性无关的概念一、向量组的线性相关与线性无关的概念一、向量组的线性相关与线性无关的概念一、向量组的线性相关与线性无关的概念对于对于 n 维向量组维向量组 1,2,s，如果存在不全为零如果存在不全为零的实数的实数 k1,k2,ks 使得使得k1

15、 1+k2 2+ks s=0,否则，称否则，称 1,2,s 线性无关线性无关线性无关线性无关.则称则称 n 维向量组维向量组 1,2,s 线性相关线性相关线性相关线性相关，定义定义1 1三维空间中两向量三维空间中两向量“共线共线”，三个向量，三个向量“共面共面”的概念的概念加以推广加以推广.得到得到所谓所谓 1,2,s 线性无关，即如果线性无关，即如果k1 1+k2 2+ks s=0,则必有则必有k1=k2=ks=0.第17页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 1设设 R 中的向量中的向量 1=(1,-1,1),2=(2,0,2),3=(2,-1,0),因为因为 2 1+2 2 3=0.练习

16、向量组向量组 1=(1,2,0,1),2=(1,1,1,3),3=(1,3,1,1)是否线性相关？是否线性相关？2 1 2 3=0.则向量组则向量组 1，2，3 线性相关线性相关.第18页，本讲稿共116页例 2第三章 向量空间证明证明 n 维向量组维向量组 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),en=(0,0,1)线性无关线性无关.令令 k1e1+k2e2+knen=0,即即 (k1,k2,kn)=(0,0,0)，所以所以 k1=k2=kn=0,即即 e 1,e 2,e n 线性无关线性无关.证证证证上一页第19页，本讲稿共116页第三章 向量空间设设 k1,k2,ks R,1,2,s

17、 是是 n 维向维向量，若量，若 =k1 1+k2 2+ks s则称则称 为为向量向量 1,2,s 的一个的一个线性组合线性组合线性组合线性组合，或称或称 可由向量组可由向量组 1,2,s 线性表出线性表出线性表出线性表出.定义定义2 2上一页例 3设设 R 中的向量中的向量 1=(1,2,1),2=(0,1,2),3=(4,0,1),=(14,3,3).因为因为 2 1-2+3 3=.所以所以 可以由可以由 1，2，3 线性表示线性表示.第20页，本讲稿共116页例 4第三章 向量空间设设 1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)，则对任意，则对任意的的=(a1,a2,a3

18、)R,有有 =a11+a22+a33.所以所以 R 中的任一向量都可以由中的任一向量都可以由 1,2,3 线性表示线性表示.上一页定理1当当 s 2 时时，向向量量组组 1,2,s 线线性性相相关关的的充充分分必必要要条条件件是是其其中中至至少少有有一一向向量量能能由由其其余余向量线性表出向量线性表出.第21页，本讲稿共116页第三章 向量空间必要性必要性必要性必要性k1 1+k2 2+ks s=0.于是于是即即 s 可由可由 1,2,s 1 线性表出线性表出.设设 1,2,s 线性相关，则有不全为零的实数线性相关，则有不全为零的实数 k1,k2,ks，使使若某个向量例如若某个向量例如 1 1

19、 可被其余向量线性表出，即有可被其余向量线性表出，即有 1=k2 2+k3 3+ks s,于是于是1 1+(k2)2+(ks)s=0,其系数其系数 不全为零，故不全为零，故 1,2,s 线性相关线性相关.充分性充分性充分性充分性证证证证不妨设不妨设 ks 0,上一页第22页，本讲稿共116页例 5第三章 向量空间含有零向量的含有零向量的 n 维向量组必定线性相关，因为若维向量组必定线性相关，因为若向量组向量组 1,2,s 中有一为零向量，不妨设中有一为零向量，不妨设 1=0，则，则0 2+0 3+0 s=0=1,由定理由定理1 可知，该向量组线性相关可知，该向量组线性相关.上一页第23页，本讲

20、稿共116页第三章 向量空间定理2如如果果向向量量组组 1,2,s 中中有有一一部部分分向向量量线线性性相相关关，则则这这 s 个个向向量量也也线线性性相相关关；如如果果向向量量组组 1 1,2 2,s s 线性无关，则其任何部分向量组也线性无关线性无关，则其任何部分向量组也线性无关.不妨设前不妨设前 r(rs)个向量个向量 1,2,r 线性相关，线性相关，即存在不全为零的数即存在不全为零的数k1,k2,kr 使得使得k1 1+k2 2+kr r=0再取再取 kr+1=kr+2=ks=0,则有则有k1 1+k2 2+kr r+kr+1 r+1+ks s=0,而而 k1,k2,ks 不全为零，所

21、以不全为零，所以 1,2,s 线性相关线性相关.证证证证上一页另一方面，若向量组另一方面，若向量组 1,2,s 线性无关，由于原命线性无关，由于原命题与逆否命题等价，故其任何部分向量组必线性无关题与逆否命题等价，故其任何部分向量组必线性无关.部分相关则整体相关；整部分相关则整体相关；整部分相关则整体相关；整部分相关则整体相关；整体无关则部分无关体无关则部分无关体无关则部分无关体无关则部分无关.第24页，本讲稿共116页第三章 向量空间上一页定理3如如果果向向量量组组 1,2,s 线线性性无无关关，而而向向量量组组 1 1,2 2,s s，线线性性相相关关，那那么么 一一定定可可以以由由向向量组

22、量组 1 1,2 2,s s 线性表示，且表示法唯一线性表示，且表示法唯一.由于向量由于向量 1,2,s,线线性相关，即存在不全性相关，即存在不全为零的数为零的数k1,k2,ks ,k 使得使得证证证证如果如果 k=0,那么上式变为那么上式变为而且而且 k1,k2,ks 不全为零，这与不全为零，这与 1,2,s 线性无线性无关矛盾，故关矛盾，故 k 0.从而，从而，第25页，本讲稿共116页则则那么那么 一定可以由向量组一定可以由向量组 1,2,s唯一地唯一地线性表示线性表示.第26页，本讲稿共116页第三章 向量空间二、向量组的线性相关性与矩阵的秩二、向量组的线性相关性与矩阵的秩二、向量组的

23、线性相关性与矩阵的秩二、向量组的线性相关性与矩阵的秩2.2.2.2.向量的线性相关性向量的线性相关性向量的线性相关性向量的线性相关性定理4设设 1=(a11,a12,a1n),2=(a21,a22,a2n),m=(am1,am2,amn)所构成的矩阵为所构成的矩阵为 且且 A 的秩为的秩为 r，则则 A 中存在中存在 r 个行个行向量（列向量）线向量（列向量）线性无关，性无关，且且 A 的任一行（列）都可以由这的任一行（列）都可以由这 r 个行向量个行向量（列向量）线性表示（列向量）线性表示.第27页，本讲稿共116页设设 1,2,m 为为 m 个个 n 维维向向量量，A 是是以以它它们们为为

24、行行向向量量构构成成的的 m n 矩矩阵阵，则则 1,2,m 线线性性相关的充要条件是相关的充要条件是 r(A)m.推论推论推论推论1 1 1 1由定理由定理4知，向量组的秩等于它构成的矩阵的秩，故知，向量组的秩等于它构成的矩阵的秩，故由定理由定理4可得：可得：第28页，本讲稿共116页证证证证 设设 r(A)=r.由定理由定理4，A 有有 r 个行向量线性无关个行向量线性无关.若若 r=m,则则 A 的的 m 个行向量线性无关，即个行向量线性无关，即 1,2,m 线线性无关；性无关；若若 r n 时时，m 个个 n 维向量一定线性相关维向量一定线性相关.推论推论推论推论3 3 3 3第30页

25、，本讲稿共116页第三章 向量空间由定理由定理4 4及其推论可知判断一个向量组的线性相关性的及其推论可知判断一个向量组的线性相关性的问题可转化为求矩阵的秩的问题问题可转化为求矩阵的秩的问题.总结：总结：总结：总结：（向量组线性相关性的矩阵判别法）（向量组线性相关性的矩阵判别法）若矩阵的秩等于向量的个数，则向量组线性无关；若矩阵的秩等于向量的个数，则向量组线性无关；若矩阵的秩小于向量的个数，则向量组线性相关若矩阵的秩小于向量的个数，则向量组线性相关.一般分三种情况：一般分三种情况：1)向量的个数大于向量的维数，则必线性相关；向量的个数大于向量的维数，则必线性相关；2)向量的个数等于向量的维数，则

26、可利用向量组向量的个数等于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵构成的矩阵 A 的行列式：若的行列式：若|A|0,则线性无关，则线性无关，若若|A|=0,则线性则线性相关；相关；3)向量的个数小于向量的维数，则可利用向量组向量的个数小于向量的维数，则可利用向量组构成的矩阵构成的矩阵 A 的秩：若的秩：若 r(A)等于向量的个数等于向量的个数,则则线性无关，若线性无关，若 r(A)小于向量个数小于向量个数,则线性则线性相关；相关；第31页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 6判断向量组判断向量组 1=(1,-2,0,2),2=(-2,4,6,-6),3=(2,1,2,3),4=(3,3,3,4)

27、是否线性相关是否线性相关.解解解解第32页，本讲稿共116页因为因为 r(A)=3 3,所以所以 1,2,3,4 线性相关；线性相关；2)由于由于=140 0,所以所以 1,2,3 线性无关；线性无关；解解解解所以所以 r(A)=2 3,从而可知从而可知 1,2,3 线性相关线性相关.3)第34页，本讲稿共116页第三章 向量空间三、向量组的极大无关组与秩三、向量组的极大无关组与秩三、向量组的极大无关组与秩三、向量组的极大无关组与秩如果向量组如果向量组 I（可以含有无穷多个向量）（可以含有无穷多个向量）中的中的部分组部分组显然，一个向量组线性无关当且仅当它的极大无关显然，一个向量组线性无关当且

28、仅当它的极大无关组就是它自身组就是它自身.满足条件满足条件:2)向量组向量组 I 中任一向量都可以由中任一向量都可以由 1,2,r线性表示，线性表示，1)线性无关，线性无关，1,2,r 是向量组是向量组 I 的一个的一个极大无关组极大无关组极大无关组极大无关组.则称则称定义定义 3 32.2.2.2.向量的线性相关性向量的线性相关性向量的线性相关性向量的线性相关性第35页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 7向向量量组组 1=(1,0,0),2=(1,1,0),3=(2,1,0)中中，显显然然 1,2 线线性性无无关关，且且 3=1+2,即即 3 能能由由 1,2 线线性性表表出出，所所以以

29、 1,2 就就是是向向量量组组 1,2,3 的的一个极大无关组一个极大无关组.同样可验证同样可验证 1,3 及及 2,3 均是向量组的极大无均是向量组的极大无关组关组.第36页，本讲稿共116页定理 5由由有有限限个个行行向向量量组组成成的的向向量量组组的的任任一一极极大大无无关关组组所所含含向向量量的的个个数数均均相相等等，且且等等于于该该向向量量组组所构成的矩阵的秩所构成的矩阵的秩.由上例可看出一个向量组的极大无关组可能不止一个，由上例可看出一个向量组的极大无关组可能不止一个，但可以证明：但可以证明：定义定义 4 4向向量量组组的的极极大大无无关关组组中中所所含含向向量量的的个个数数称称为

30、为向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩.第37页，本讲稿共116页定理 6矩阵矩阵 A 的秩就等于它的行向量组的秩，的秩就等于它的行向量组的秩，也也等等于它的列向量组的秩于它的列向量组的秩.定理定理6 6说明，求向量组的秩等价于求矩阵的秩说明，求向量组的秩等价于求矩阵的秩.例 8求向量组求向量组的一个极大无关组，并求其秩的一个极大无关组，并求其秩.第38页，本讲稿共116页解解解解则则 r(A)=r(B)=3.可以可以看出，矩阵看出，矩阵 B 的左上角的三的左上角的三阶子式不为零，从而，阶子式不为零，从而，第39页，本讲稿共116页第三章 向量空间练习求向量组求向量组 1 =(1,2,1,

31、2,2),2 =(4,1,2,1,3),3 =(1,1,1,1,1/3),4 =(2,5,4,1,-1)的秩的秩,并找出它的一个极大无关组并找出它的一个极大无关组.上一页定理 7如果线性无关向量组如果线性无关向量组可以由向量组可以由向量组线性表示，则线性表示，则第40页，本讲稿共116页第三章 向量空间推论推论推论推论4 4 4 4设一向量组的秩为设一向量组的秩为 r，则向量组中任意则向量组中任意 r 个线性无关的向量可构成一极大无关组个线性无关的向量可构成一极大无关组.由推论由推论4 4易得易得推论推论推论推论5 5 5 5设向量组的秩为设向量组的秩为 r，则该向量组中任意多则该向量组中任意

32、多于于r 个向量构成的部分组一定线性相关个向量构成的部分组一定线性相关.上一页推论推论推论推论6 6 6 6向量组的任一线性无关部分组都可以扩充向量组的任一线性无关部分组都可以扩充为向量组的一个最大无关组为向量组的一个最大无关组.第41页，本讲稿共116页第三章 向量空间设设V 是一向量空间是一向量空间,1,2,r V 且满足且满足(1)1,2,r 线性无关线性无关;(2)V,可由可由 1,2,r 线性表出线性表出.一、一、一、一、向量空间的基与维数向量空间的基与维数向量空间的基与维数向量空间的基与维数则称向量组则称向量组 1,2,r 为向量空间为向量空间 V 的一组的一组基底基底基底基底(基

33、基基基)，而，而 r 称为向量空间称为向量空间 V 的的维数维数维数维数，记为，记为 dim V=r.3 3 3 3 向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标定义定义1 1规定：规定：零空间的维数为零空间的维数为0,0,它没有基它没有基.由上定义可知，向量空间的基就是它的一个极大无由上定义可知，向量空间的基就是它的一个极大无关组关组.由于向量组的极大无关组是不唯一的，所以向量由于向量组的极大无关组是不唯一的，所以向量空间的基也是不唯一的空间的基也是不唯一的.第42页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 2例 1设设 Rn 为为全全体体 n

34、 维维向向量量构构成成的的向向量量空空间间,证证明明 n 维维向向量量组组 e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),en=(0,0,0,1)是是 Rn 的基的基,且且 dim Rn=n.由由矩矩阵阵判判别别法法知知 e1,e2,en 线线性性无无关关.设设 =(x1,x2,xr)为任一为任一 n 维向量维向量,显然有显然有 =x1 e1+x2 e2+xnen.所以所以 可由可由 e1,e2,en 线性表出线性表出,即即 e1,e2,en 是是 Rn 的基的基,从而从而dim Rn=n.证证证证设设 V 为一向量空间，且为一向量空间，且 dimV=r,而而 1,2,r 为为 V 中中

35、 r 个线性无关的向量，证明个线性无关的向量，证明 1,2,r 必为向量空间必为向量空间 V 的一组基的一组基.证证证证上一页第43页，本讲稿共116页第三章 向量空间显然显然 1,2,r 线性无关，任取线性无关，任取 V,由于由于dimV=r,则则 1,2,r,线性相关，于是存在不全为零的实线性相关，于是存在不全为零的实数数 k1,k2,kr,k,使使k1 1+k2 2+kr r+k =0.若若 k=0,则则 k1,k2,kr 不全为零，且不全为零，且k1 1+k2 2+kr r=0.而而 1,2,r 线性无线性无 关，与题设矛盾关，与题设矛盾.证证证证故故 k 0.从而由从而由 k1 1+

36、k2 2+kr r+k =0.得得 即即 可由可由 1,2,r 线性表示线性表示，由定义，由定义1知知 1,2,r 为为 V 的一组基的一组基.若向量空间若向量空间 V 为为 r 维的，则维的，则V 中任意中任意 r 个个线性无关的向量线性无关的向量是是 V 的一组基的一组基.定理 1第44页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 3证明向量组证明向量组 1 =(1,2,1),2=(3,0,1),3=(2,3,5)为空间为空间R3 的一组基的一组基.由于由于 dim R3 =3,故只要证明故只要证明 1,2,3 线性无关即可线性无关即可.1,2,3 线性无关，从而线性无关，从而 1,2,3 可构

37、成空间可构成空间 R3 的的一组基一组基.证证证证上一页 注意：注意：任意任意 n 个线性无关的个线性无关的 n 维维向量都是向量都是 R n 的的一组基一组基.第45页，本讲稿共116页第三章 向量空间二、向量在给定基下的坐标二、向量在给定基下的坐标二、向量在给定基下的坐标二、向量在给定基下的坐标设设 1,2,m 是向量空间是向量空间 V 的一个基的一个基,V,可由可由 1,2,m 线性表线性表出出:=x1 1+x2 2+xm m ,则组合系数则组合系数(x1,x2,xm)称为向量称为向量 在基在基 1,2,m 下的下的坐标坐标坐标坐标.(x1,x2,xm R )(5.1)3 3 3 3 向

38、量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标定义定义2 2注：注：在基在基 1,2,m 下的坐标是唯一的下的坐标是唯一的.=y1 1+y2 2 +ym m ,(5.2)由由(5.1)(5.1)式减去式减去(5.2)(5.2)式式,得得 (x1 y1)1+(x2 y2)2+(xm ym)m=0,由于由于 1,2,m 线性无关线性无关,故故x1 y1=x2 y2=xm ym=0,即即 xi=yi (i=1,2,m).事实上事实上,若还有另一坐标若还有另一坐标(y1,y2,ym),即即第46页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 4已已知知 e1=(

39、1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),en=(0,0,0,1)是是 Rn 的的基基.而而对对 Rn 中中任任一一向向量量 ,有有 =(x1,x2,xn)=x1 e1+x2 e2+xnen,所以所以 在基在基 e1,e2,en 下的坐标就是其自身下的坐标就是其自身.故故 e1,e2,en 称为空间称为空间 Rn 的的标准基标准基标准基标准基.上一页第47页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 5设设 1=(1,1,1)T,2=(1,1,-1)T,3=(1,-1,-1)T,证证明明 1,2,3 是是 R3 的的一一个个基基,并并求求 =(1,2,1)T 在这个基下的坐标在这个基下的坐标.上一

40、页解解解解以以 1,2,3 为列向量构成矩阵为列向量构成矩阵 A,因为因为 所以所以 1,2,3 线性无关线性无关,从而是从而是 R3 的一个基的一个基.令令 =x1 1+x2 2+x3 3,即即x1=1,x2=1/2,x3=1/2.所以所以 在基在基 1,2,3 下的坐标为下的坐标为(1,1/2,1/2).第48页，本讲稿共116页练习设设 1=(1,1,2),2=(1,3,0),3=(1,0,1),证证明明 1,2,3 是是 R3 的的一一个个基基,并并求求 =(0,1,3)在在这这个个基下的坐标基下的坐标.Dim R3 =3,而而解解解解所以所以 1,2,3 线性无关线性无关,从而是从而

41、是 R3 的一个基的一个基.令令 =x1 1+x2 2+x3 3,所以所以 在基在基 1,2,3 下的坐标为下的坐标为(2,1,1).即即(0,1,3)=x1(1,1,2)+x2(1,3,0)+x3(1,0,1),则则x1+x2 +x3 =0,x1+3x2 =1,3x1+2x2+x3=3,x1=2,x2=1,x3=1.第49页，本讲稿共116页第三章 向量空间三、基变换与坐标变换公式三、基变换与坐标变换公式三、基变换与坐标变换公式三、基变换与坐标变换公式设设向向量量空空间间 V 的的维维数数为为 n,则则 V 中中任任意意 n 个个线线性性无无关关的的向向量量都都是是 V 的的基基,对对于于不

42、不同同的的基基,同同一一个个向向量量的的坐坐标标一一般般是是不不同同的的.下下面面我我们们来来看看看看同同一一个个向向量量在在两两个个不不同同基下的坐标之间有什么关系基下的坐标之间有什么关系.3 3 3 3 向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标向量空间的基及向量的坐标设设 1,2,r 及及 1,2,r 是是向向量量空空间间V 的的两两个个基基.那那么么由由基基的的定定义义,向向量量 i(i=1,2,r)可可由由 1,2,r 唯一线性表出唯一线性表出.设设第50页，本讲稿共116页第三章 向量空间矩矩阵阵 A 称称为为由由基基 1,2,r 到到基基 1,2,r

43、 的的过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵,它是它是可逆的可逆的.(证明请自己完成证明请自己完成)令令即即(1)第51页，本讲稿共116页第三章 向量空间将将 (1)(1)式简记为式简记为:(1,2,n)=(1,2,n)A(2)新基新基旧基旧基过渡矩阵过渡矩阵公式公式(2)(2)称为称为基变换公式基变换公式基变换公式基变换公式.上一页注：注：第52页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 6求求 R3 中中由由标标准准基基 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1),到到基基 1=(1,1,2),2=(1,3,0),3=(1,0,1)的过渡矩阵的过渡矩阵.所求过渡矩阵为所求过渡

44、矩阵为解解解解上一页第53页，本讲稿共116页第三章 向量空间命题 1关于过渡矩阵关于过渡矩阵,下面两个结论是经常用到的下面两个结论是经常用到的:设由基设由基 1,2,r 到基到基 1,2,r 的过渡矩的过渡矩阵为阵为 A,则由基则由基 1,2,r 到基到基 1,2,r 的的过渡矩阵为过渡矩阵为A 1.基基 1,2,r A基基 1,2,rA 1命题 2设设由由基基 1,2,r 到到基基 1,2,r 的的过过渡渡矩矩阵阵为为C1,则则由由基基 1,2,r 到到基基 1,2,r 的的过过渡渡矩矩阵阵为为C2,则则由由基基 1,2,r 到到 1,2,r 的的过过渡矩阵为渡矩阵为C1 C2.基基 1,

45、2,n C1基基 1,2,n基基 1,2,nC2C1 C2上一页第54页，本讲稿共116页第三章 向量空间练习求求R3中中由由基基 1=(3,1,2),2=(1,1,1),3=(2,3,1)到到基基 1=(2,1,1),2=(1,2,3),3=(2,0,1)的过渡矩阵的过渡矩阵.由标准基由标准基 e1,e2,e3 到基到基 1,2,3 及基及基 1,2,3 的的过渡矩阵分别为过渡矩阵分别为和和解解解解即即 (1,2,3)=(e1,e2,e3)C1,(1,2,3)=(e1,e2,e3)C2故故 (e1,e2,e3)=(1,2,3)C1 1从而从而=(1,2,3)C1 1C2(1,2,3)=(e1

46、,e2,e3)C2上一页第55页，本讲稿共116页第三章 向量空间故由知基故由知基 1,2,3 到基到基 1,2,3 的过渡矩阵的过渡矩阵 C 为为上一页第56页，本讲稿共116页第三章 向量空间将上式用矩阵表示为将上式用矩阵表示为将基变换公式代入得将基变换公式代入得设设向向量量 在在基基 1,2,r 与与基基 1,2,r 下下的的坐标分别为坐标分别为(x1,x2,xr)与与(y1,y2,yr)即即(3)上一页第57页，本讲稿共116页第三章 向量空间由向量坐标的唯一性由向量坐标的唯一性,可得可得或或(4)上上 式说明了式说明了 在两个不同基下的坐标之间的关系在两个不同基下的坐标之间的关系,称

47、称为为坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式.新坐标新坐标旧坐标旧坐标上一页第58页，本讲稿共116页第三章 向量空间上面的讨论可总结为上面的讨论可总结为:设设由由向向量量空空间间 V 的的基基 1,2,r 到到基基 1,2,r 的的过过渡渡矩矩阵阵 A,而而向向量量 在在基基 1,2,r 与与基基 1,2,r 下的坐标为下的坐标为(x1,x2,xr)与与(y1,y2,yr),则则(1,2,r)=(1,2,r)A,且且上一页第59页，本讲稿共116页第三章 向量空间例 7设设 R3 中中两两组组基基分分别别为为 1=(1,2,1)T,2=(2,3,3)T,3=(3,7,1)T,1=(

48、3,1,4)T,2=(5,2,1)T,3=(1,1,-6)T.求求由由基基 1,2,3 到到基基 1,2,3 的的过过渡渡矩矩阵阵 A，并求并求向量向量 =21 2+3 在基在基 1,2,3 下的坐标下的坐标.则则 1=(1,2,1)T,2=(2,3,3)T,3=(3,7,1)T,1=(3,1,4)T,2=(5,2,1)T,3=(1,1,-6)T.解解解解上一页第60页，本讲稿共116页第三章 向量空间上一页由坐标变换公式可得向量由坐标变换公式可得向量 =21 1-2 2+3 3 在基在基 1 1，2 2 ,3 3 下的坐标为下的坐标为第61页，本讲稿共116页第三章 向量空间练习设设 R3

49、中中一一组组基基为为 1=(3,1,2),2=(1,1,1),3=(2,3,1),求求向向量量 =(1,0,0)在在基基 1,2,3 下的坐标下的坐标.设设 =(1,0,0)在在基基 1,2,3下下的的坐坐标标为为(y1,y2,y3),在在基基 e1,e2,e3 下下的的坐坐标标为为(x1,x2,x3)=(1,0,0),则由于则由于(1,2,3)=(e1,e2,e3)由基由基 e1,e2,e3 (旧基旧基)到基到基 1,2,3(新基新基)的过渡的过渡矩阵为矩阵为解解解解上一页第62页，本讲稿共116页第三章 向量空间从而从而上一页第63页，本讲稿共116页1.1.空间向量及两向量的夹角空间向量

50、及两向量的夹角 (回顾回顾)实际问题中实际问题中,既有大小又有方向的物理量称为既有大小又有方向的物理量称为向量向量向量向量.第五章 欧氏空间4.4.4.4.欧氏空间欧氏空间欧氏空间欧氏空间向量向量 =(x,y,z)的的长度长度长度长度 向量的向量的方向角方向角方向角方向角将将空空间间两两向向量量 ,的的起起点点移移至至一一点点o,两两有有向向线线段段的的夹夹角角 (0 )，称为向量称为向量 与与 的的夹角夹角夹角夹角,当时，称时，称 与与 垂直垂直垂直垂直(正交正交正交正交)，记作记作 .当当 =0 或或 时，称时，称 与与 平行平行平行平行(共线共线共线共线)，记作记作 /.记为(a,b)第