电磁场时变电磁场.ppt

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1、电磁场时变电磁场现在学习的是第1页，共65页3.1 法拉第电磁感应定律3.2 全电流定律3.3 时变电磁场的基本方程3.4 时变电磁场的能量与能流3.5 时变电磁场的波动性3.6 时谐电磁场现在学习的是第2页，共65页一、法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律 英国物理学家法拉第通过大量的试验，证实了存在着如下的英国物理学家法拉第通过大量的试验，证实了存在着如下的普遍规律：当穿过某一闭合导体回路的磁通不论由于什么原因发普遍规律：当穿过某一闭合导体回路的磁通不论由于什么原因发生变化时，在导体回路中就会出现电流，这种现象称为生变化时，在导体回路中就会出现电流，这种现象称为电磁感应电磁感应现象现象

2、，出现的电流称为，出现的电流称为感应电流感应电流。导体回路中出现感应电流是导体回路中必然存在某种电动势导体回路中出现感应电流是导体回路中必然存在某种电动势的反映，这种由电磁感应引起的电动势叫做的反映，这种由电磁感应引起的电动势叫做感应电动势感应电动势。3.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律现在学习的是第3页，共65页1、表述表述：若通过闭合导体回路：若通过闭合导体回路L L所围面积的磁通量发生变化时，回路所围面积的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电动势，并引起感应电流。感应电动势的中会出现感应电动势，并引起感应电流。感应电动势的大小大小等于回路等于回路中磁通量对时间的变化率。中磁通量对

3、时间的变化率。方向方向由楞次定律决定：感应电动势由楞次定律决定：感应电动势力图阻止回路中磁通的变化。力图阻止回路中磁通的变化。2、数学表达式为：数学表达式为：式中，式中，S 是由闭合导体回路是由闭合导体回路 L 所限定的曲面，其正侧面与所限定的曲面，其正侧面与 L 的方的方向成右手螺旋关系。向成右手螺旋关系。3.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律现在学习的是第4页，共65页 二、感应电场二、感应电场(涡旋电场涡旋电场)法拉第说明了法拉第说明了“动磁生电动磁生电”的现象，但并没有说明出现感应电的现象，但并没有说明出现感应电动势的真正原因，以及当时变磁场附近不存在导体回路时会发生动势的真正原

4、因，以及当时变磁场附近不存在导体回路时会发生什么情况。麦克斯韦在对电磁感应现象进行深入分析后认识到：什么情况。麦克斯韦在对电磁感应现象进行深入分析后认识到：导体中的电流必然由电场引起导体中的电流必然由电场引起。这种由磁场变化激励或者说感应出来的电这种由磁场变化激励或者说感应出来的电场被称为场被称为感应电场感应电场，记为：，记为：在导体回路在导体回路上的环量就是回路上的感应电动势上的环量就是回路上的感应电动势 。不论有。不论有无导体回路，时变磁场都会激励起感应电场。无导体回路，时变磁场都会激励起感应电场。因此，电磁感应现象的实质是：因此，电磁感应现象的实质是：时变磁场在周围空间激励起时变磁场在周

5、围空间激励起感应电场，若该电场中有导体，就会在导体上引起感应电流感应电场，若该电场中有导体，就会在导体上引起感应电流。3.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律现在学习的是第5页，共65页 根据以上分析和推广，法拉第电磁感应定律可改写成：根据以上分析和推广，法拉第电磁感应定律可改写成：式中，式中，L 应理解为任意闭合路径，而不一定是导体回路，应理解为任意闭合路径，而不一定是导体回路，S 是是 L所张成的任所张成的任意曲面。意曲面。假设磁场随时间变化，闭合路径和它所张成的曲面均不随时间变化。根据旋假设磁场随时间变化，闭合路径和它所张成的曲面均不随时间变化。根据旋度定理度定理 ，有：，有：这里，

6、由于这里，由于 S 不随时间变化，将不随时间变化，将 与与 调换次序；调换次序；B 又可以是空间位置的函又可以是空间位置的函数，所以写成偏微分的形式。将上式移项整理，得：数，所以写成偏微分的形式。将上式移项整理，得：要使上式对任意要使上式对任意 S 都成立，必有：都成立，必有：3.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律现在学习的是第6页，共65页 可见，时变磁场是感应电场的旋涡源，感应电场是有旋场，可见，时变磁场是感应电场的旋涡源，感应电场是有旋场，因此又被称为涡旋电场，其电力线是闭合曲线，并与其旋涡源因此又被称为涡旋电场，其电力线是闭合曲线，并与其旋涡源时变磁场的磁力线相交链。时变磁场的磁

7、力线相交链。这说明感应电场的性质不同于静电场这说明感应电场的性质不同于静电场(无旋场无旋场)，其原因在于，其原因在于两者的激励源不同，但它们对电荷的作用相同。可以证明，对于两者的激励源不同，但它们对电荷的作用相同。可以证明，对于其它方式引起的磁通变化，也可以推出上面两式。其它方式引起的磁通变化，也可以推出上面两式。3.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律现在学习的是第7页，共65页 若在空间中同时存在感应电场若在空间中同时存在感应电场 和静电场和静电场 ，则总电场，则总电场 。对于静电场有对于静电场有 ，故对总电场仍有：，故对总电场仍有：若若 B 不随时间变化，可得静电场中的环路定律。可见

8、上面不随时间变化，可得静电场中的环路定律。可见上面两式既适用于静电场，又适用于时变场，分别称为两式既适用于静电场，又适用于时变场，分别称为法拉第电磁感法拉第电磁感应定律的微分形式和积分形式应定律的微分形式和积分形式，这是电磁理论中的普适方程。，这是电磁理论中的普适方程。3.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律现在学习的是第8页，共65页例：例：如图所示，若半径为如图所示，若半径为 a，平行于，平行于 z 轴的无限长圆柱体附近的轴的无限长圆柱体附近的磁感应强度为：磁感应强度为：，求空间电场分布。，求空间电场分布。解：解：根据题意，空间结构和磁场分布都是根据题意，空间结构和磁场分布都是关于关于

9、 z 轴旋转对称，因此时变磁场激励出轴旋转对称，因此时变磁场激励出的感应电场也应关于的感应电场也应关于 z 轴旋转对称。取与轴旋转对称。取与圆柱同轴的回路圆柱同轴的回路 L，在该回路上，在该回路上 处处处处与回路相切且幅度处处相等。与回路相切且幅度处处相等。3.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律现在学习的是第9页，共65页 3.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律现在学习的是第10页，共65页一、位移电流一、位移电流 我们首先看一个引例。如图，一个我们首先看一个引例。如图，一个中间填充理想介质的电容器接在交流电中间填充理想介质的电容器接在交流电源两端，源两端，L 为一个与导线相交链的

10、闭合为一个与导线相交链的闭合回路。若取一个以回路。若取一个以 L 为边界的曲面为边界的曲面 与与导线相交，则由安培环路定律，有：导线相交，则由安培环路定律，有：为导线中的传导电流为导线中的传导电流若取另一曲面若取另一曲面 ，不与导线相交而从两极板之间通过，则有：，不与导线相交而从两极板之间通过，则有：这说明恒定磁场中的安培环路定律用于时变场时产生了矛盾。这说明恒定磁场中的安培环路定律用于时变场时产生了矛盾。S1 cL 3.2 全电流定律全电流定律现在学习的是第11页，共65页 麦克斯韦首先注意到并从理论上解决了这一矛盾。由于两极麦克斯韦首先注意到并从理论上解决了这一矛盾。由于两极板间有时变电场

11、，据此他假定这种变化的电场引起了另一类型的板间有时变电场，据此他假定这种变化的电场引起了另一类型的电流，并称之为电流，并称之为位移电流位移电流，记为，记为 ，且，且 。位移电流与传导电。位移电流与传导电流具有相同的磁效应，并以相同的方式在周围空间产生磁场。这流具有相同的磁效应，并以相同的方式在周围空间产生磁场。这样，安培环路定律可改写为：样，安培环路定律可改写为：式中，式中，为为位移电流密度位移电流密度。由旋度定理。由旋度定理可得其微分形式为：可得其微分形式为：3.2 全电流定律全电流定律现在学习的是第12页，共65页二、全电流定律二、全电流定律 为了得到位移电流密度为了得到位移电流密度 的表

12、达式，麦克斯韦首先分析了前的表达式，麦克斯韦首先分析了前述矛盾的实质。我们知道，电流连续性方程述矛盾的实质。我们知道，电流连续性方程 是是一个普适方程，而安培环路定律是在恒定电流，即一个普适方程，而安培环路定律是在恒定电流，即 的条的条件下得出的。在时变场中，件下得出的。在时变场中，不再恒等于零。因此安培环路不再恒等于零。因此安培环路定律在时变条件下必须加以修正。定律在时变条件下必须加以修正。麦克斯韦认为，在时变情况下，高斯定律仍然适用，即：麦克斯韦认为，在时变情况下，高斯定律仍然适用，即：这样，电流连续性方程可写成：这样，电流连续性方程可写成：3.2 全电流定律全电流定律现在学习的是第13页

13、，共65页即：即：如果把如果把 看作是另一种电流，则应用安培环路定律，有：看作是另一种电流，则应用安培环路定律，有：与前面的式子比较可知：与前面的式子比较可知：。可见，空间任意点的位移电流。可见，空间任意点的位移电流密度密度 等于该点的电位移矢量对时间的变化率。这就是修正后的等于该点的电位移矢量对时间的变化率。这就是修正后的安培环路定律的微分形式安培环路定律的微分形式。其。其积分形式积分形式也容易得出：也容易得出：我们把矢量我们把矢量 称为称为全电流密度全电流密度，由于其散度恒为零，所，由于其散度恒为零，所以全电流线为闭合电流线，在传导电流中断处必有位移电流接续以全电流线为闭合电流线，在传导电

14、流中断处必有位移电流接续下去。修正后的安培环路定律称为下去。修正后的安培环路定律称为全电流定律全电流定律。3.2 全电流定律全电流定律现在学习的是第14页，共65页 若若 D 不随时间变化，就成为恒定磁场中的安培环路定律。因不随时间变化，就成为恒定磁场中的安培环路定律。因此，全电流定律既适用于时变场，又适用于静态场，也是宏观电此，全电流定律既适用于时变场，又适用于静态场，也是宏观电磁理论中的一个普适方程。磁理论中的一个普适方程。位移电流是麦克斯韦引入的一个非常重要的概念。存在变化位移电流是麦克斯韦引入的一个非常重要的概念。存在变化的电场的空间就存在位移电流，它并不表示有带电粒子的定向运的电场的

15、空间就存在位移电流，它并不表示有带电粒子的定向运动。位移电流的正确性被以后的所有实验所证实。动。位移电流的正确性被以后的所有实验所证实。全电流定律说明，位移电流与传导电流一样，是磁场的旋涡全电流定律说明，位移电流与传导电流一样，是磁场的旋涡源。这意味着，即使不存在传导电流，变化的电场也能激励出磁源。这意味着，即使不存在传导电流，变化的电场也能激励出磁场，这就解释了场，这就解释了“动电生磁动电生磁”的现象。的现象。3.2 全电流定律全电流定律现在学习的是第15页，共65页例：已知无源自由空间中的磁场强度为例：已知无源自由空间中的磁场强度为 ,H0、为常数，求为常数，求:(1)位移电流密度；位移电

16、流密度；(2)电场强度。电场强度。3.2 全电流定律全电流定律现在学习的是第16页，共65页一、麦克斯韦一、麦克斯韦(Maxwell)方程组方程组1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 我们知道，对任意矢量场的研究需要了解其旋度和散度。前我们知道，对任意矢量场的研究需要了解其旋度和散度。前面两节介绍的法拉第电磁感应定律和全电流定律适用于静态场和面两节介绍的法拉第电磁感应定律和全电流定律适用于静态场和时变场。它们分别给出了电场和磁场的旋度，即场与旋涡源的关时变场。它们分别给出了电场和磁场的旋度，即场与旋涡源的关系。对于电场和磁场与各自散度源之间的关系，我们在第二章介系。对于电场和磁场与各自散度源之间的

17、关系，我们在第二章介绍的高斯定律和磁通连续性原理在时变场情况下至今未发现与它绍的高斯定律和磁通连续性原理在时变场情况下至今未发现与它们相矛盾的事实，因此它们也适用于时变场。们相矛盾的事实，因此它们也适用于时变场。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第17页，共65页 这样，我们就得到了下面的这样，我们就得到了下面的宏观电磁场的基本方程宏观电磁场的基本方程。这些定律由。这些定律由麦克斯韦概括、完善和推广，被命名为麦克斯韦概括、完善和推广，被命名为麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组。全电流定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律现在学习的是第18页，共65页2.结构方程结构方

18、程(辅助方程辅助方程)在有媒质存在时，上述电磁场的基本方程尚不完备，在有媒质存在时，上述电磁场的基本方程尚不完备，D、B和和 J 都与媒质的特性有关。因此，还需要补充三个描述媒质特性都与媒质的特性有关。因此，还需要补充三个描述媒质特性的方程。对于均匀、线性、各向同性的媒质来说，有：的方程。对于均匀、线性、各向同性的媒质来说，有：3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第19页，共65页3.物理意义物理意义 麦克斯韦方程组揭示了各个场矢量与场源的关系，只要知道了这些关麦克斯韦方程组揭示了各个场矢量与场源的关系，只要知道了这些关系就可以从场源求出电磁场分布，同时麦克斯韦方程组也

19、体现了电场和磁系就可以从场源求出电磁场分布，同时麦克斯韦方程组也体现了电场和磁场的性质，从方程中可以看出：场的性质，从方程中可以看出：(1)电场的散度等于电荷密度，电荷是电场的散度源；由电荷产生的电电场的散度等于电荷密度，电荷是电场的散度源；由电荷产生的电场是有散场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。场是有散场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。(2)磁场的散度恒为零，磁场没有散度源，至今没有证实磁场的散度恒为零，磁场没有散度源，至今没有证实“磁荷磁荷”的存在；磁场是无散场，磁力线是无头无尾的闭合曲线。的存在；磁场是无散场，磁力线是无头无尾的闭合曲线。(3)涡旋电场的旋度等于磁场的负时变率，时

20、变磁场的负时变率涡旋电场的旋度等于磁场的负时变率，时变磁场的负时变率是涡旋电场的旋涡源；由时变磁场的负时变率产生的涡旋电场与电是涡旋电场的旋涡源；由时变磁场的负时变率产生的涡旋电场与电荷产生的无旋电场不同，它是有旋场，其电力线是闭合曲线，与磁荷产生的无旋电场不同，它是有旋场，其电力线是闭合曲线，与磁力线相交链。力线相交链。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第20页，共65页 (4)磁场的旋度等于传导电流密度与位移电流密度之和，即磁场的旋度等于传导电流密度与位移电流密度之和，即全电流密度。全电流密度是磁场的旋涡源；磁场是有旋场，磁力全电流密度。全电流密度是磁场的旋涡源；

21、磁场是有旋场，磁力线是闭合曲线，与全电流线相交链。线是闭合曲线，与全电流线相交链。(5)时变电场、时变磁场可以不断地互相激励，说明时变电时变电场、时变磁场可以不断地互相激励，说明时变电磁场是由时变电场和时变磁场组成的不可分割的统一体。磁场是由时变电场和时变磁场组成的不可分割的统一体。(6)场源一旦激励起了时变电场或者时变磁场，即使去掉场场源一旦激励起了时变电场或者时变磁场，即使去掉场源，时变电场、时变磁场也会互相激励，且闭合的电力线与闭合源，时变电场、时变磁场也会互相激励，且闭合的电力线与闭合的磁力线相互交链，电磁场分布的空间逐渐增大，电磁场以波动的磁力线相互交链，电磁场分布的空间逐渐增大，电

22、磁场以波动的形式向远处传播。的形式向远处传播。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第21页，共65页 (7)方程中的所有场量既是空间坐标的函数，又是时间的函方程中的所有场量既是空间坐标的函数，又是时间的函数。如果方程中的所有场量都不随时间变化，方程中的时间偏导数。如果方程中的所有场量都不随时间变化，方程中的时间偏导项均等于零，则方程退化为静态场的方程。项均等于零，则方程退化为静态场的方程。(8)在线性媒质中，麦克斯韦方程组是线性方程组，满足叠在线性媒质中，麦克斯韦方程组是线性方程组，满足叠加原理，即多个场源各自产生的场可以在空间同时存在，空间任加原理，即多个场源各自产生

23、的场可以在空间同时存在，空间任意一点的场均等于所有场源在该点产生的场的叠加。意一点的场均等于所有场源在该点产生的场的叠加。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第22页，共65页4.洛伦兹洛伦兹(Lorentz)力力 静止电荷和运动电荷静止电荷和运动电荷(即电流即电流)是电磁场的场源，电磁场又会是电磁场的场源，电磁场又会对电荷产生作用力。当空间存在电磁场时，速度为对电荷产生作用力。当空间存在电磁场时，速度为 v，电量为，电量为 q的电荷既受到电场力的作用，又受到磁场力的作用。电场力和磁的电荷既受到电场力的作用，又受到磁场力的作用。电场力和磁场力的合力称为场力的合力称为洛伦

24、兹力洛伦兹力，表示为：，表示为：物理实验证实了洛伦兹力公式适用于任何运动的带电粒子物理实验证实了洛伦兹力公式适用于任何运动的带电粒子。现在学习的是第23页，共65页5.麦克斯韦方程组的历史意义麦克斯韦方程组的历史意义 麦克斯韦方程组、结构方程和洛伦兹力公式一起，完全、正麦克斯韦方程组、结构方程和洛伦兹力公式一起，完全、正确地反映了宏观电磁场的基本规律及其与其它物质相互作用的规确地反映了宏观电磁场的基本规律及其与其它物质相互作用的规律，构成了宏观电磁理论的基础。它的建立对近代电磁学的发展律，构成了宏观电磁理论的基础。它的建立对近代电磁学的发展起到了十分巨大的推动作用，它的正确性在大量的科学实践中

25、得起到了十分巨大的推动作用，它的正确性在大量的科学实践中得到了证实，它的伟大之处在于它不仅可以完美地解释过去已发现到了证实，它的伟大之处在于它不仅可以完美地解释过去已发现的电磁物理现象，而且还预言了电磁波的存在。的电磁物理现象，而且还预言了电磁波的存在。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第24页，共65页例：例：已知在自由空间中，电场强度为已知在自由空间中，电场强度为 ，求磁场强，求磁场强度度 H。解：由 和 ，有则有：3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第25页，共65页二、边界条件二、边界条件 与静态场一样，在时变场中也往往存在两种不同媒质

26、的边界与静态场一样，在时变场中也往往存在两种不同媒质的边界面，因此，在时变场中也必须研究它的边界条件，研究方法与静面，因此，在时变场中也必须研究它的边界条件，研究方法与静态场相同，即把积分形式的场方程应用于边界面上的闭曲面或闭态场相同，即把积分形式的场方程应用于边界面上的闭曲面或闭曲线，就可推出时变场的边界条件。边界条件就是麦克斯韦方程曲线，就可推出时变场的边界条件。边界条件就是麦克斯韦方程组的积分方程在边界面处的特殊形式。组的积分方程在边界面处的特殊形式。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第26页，共65页 3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程时变电磁场

27、的边界条件时变电磁场的边界条件麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组现在学习的是第27页，共65页 在电磁场问题中，经常将均匀、线性、各向同性、对电磁波在电磁场问题中，经常将均匀、线性、各向同性、对电磁波损耗较小的媒质近似为损耗较小的媒质近似为理想介质理想介质，其，其 均为实数，均为实数，；将导；将导电性能很好的导体近似为电性能很好的导体近似为理想导体理想导体，其，其 。下面分别给出两。下面分别给出两种常见边界面处的边界条件。种常见边界面处的边界条件。对于对于两种理想介质的边界面两种理想介质的边界面，由于理想介质中没有自由电荷，由于理想介质中没有自由电荷分布，因此，边界面处不存在自由电荷和传导电流，即：

28、分布，因此，边界面处不存在自由电荷和传导电流，即：，则边界，则边界条件简化为：条件简化为：3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第28页，共65页 对于对于理想介质与理想导体的边界面理想介质与理想导体的边界面，由于物质中的电流密度，由于物质中的电流密度总是有限的，而理想导体的电导率总是有限的，而理想导体的电导率 ，若理想导体中存在非，若理想导体中存在非零电场，则必然导致零电场，则必然导致 ，与物理事实不符，因此理想导，与物理事实不符，因此理想导体中电场必为零，则时变磁场也为零体中电场必为零，则时变磁场也为零(若有非零时变磁场，必定若有非零时变磁场，必定会感应出电场，又出现

29、矛盾会感应出电场，又出现矛盾)，所以理想导体中不存在时变电磁，所以理想导体中不存在时变电磁场。场。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第29页，共65页上式中，上式中，是导体表面外法向单位矢量。该边界条件表明，在理想导体是导体表面外法向单位矢量。该边界条件表明，在理想导体表面有面电流和面电荷分布；在边界面处，电场矢量、电力线必然垂直表面有面电流和面电荷分布；在边界面处，电场矢量、电力线必然垂直于理想导体表面，磁场矢量、磁力线必然平行于理想导体表面。于理想导体表面，磁场矢量、磁力线必然平行于理想导体表面。对于对于 很大的良导体，当频率很高时，电磁场只存在于导体表面很小的薄

30、很大的良导体，当频率很高时，电磁场只存在于导体表面很小的薄层内，这种现象称为层内，这种现象称为趋趋(集集)肤效应肤效应，薄层的厚度称为，薄层的厚度称为透入深度透入深度。时，时，即理想导体，其透入深度为零。即理想导体，其透入深度为零。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程设理想导体为媒质设理想导体为媒质1，理想介质为媒质，理想介质为媒质2，则边界条件为：，则边界条件为：现在学习的是第30页，共65页例：例：在两块无限大理想导体板在两块无限大理想导体板 和和 之间的空气中传播的电之间的空气中传播的电磁波的电场强度为磁波的电场强度为 ，其中，其中 为常数，试求为常数，试求(1)磁场强度磁场

31、强度 H；(2)两块导体板表面上的电流密度两块导体板表面上的电流密度。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第31页，共65页解：解：(1)由由Maxwell第二方程第二方程 ，有：有：(2)导体表面的电流存在于两块导体板导体表面的电流存在于两块导体板相对的一面，根据理想导体与理想介相对的一面，根据理想导体与理想介质的边界条件，有：质的边界条件，有：3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第32页，共65页三、时变电磁场的唯一性定理三、时变电磁场的唯一性定理(自学自学)麦克斯韦方程组是宏观电磁现象的基本方程，描述了电磁场在空间中随时麦克斯韦方程组是宏观

32、电磁现象的基本方程，描述了电磁场在空间中随时间的变化规律。要得到实际问题中电磁场的具体表达式，必须求解麦克斯韦方间的变化规律。要得到实际问题中电磁场的具体表达式，必须求解麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组是时空函数的方程组，要得到唯一确定的解，需要知道程组。麦克斯韦方程组是时空函数的方程组，要得到唯一确定的解，需要知道初值条件和边值条件。因此，一个至关重要的问题就是，给定什么样的初值条初值条件和边值条件。因此，一个至关重要的问题就是，给定什么样的初值条件和边值条件，电磁场才能有唯一解。件和边值条件，电磁场才能有唯一解。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第33页，共65页

33、时变电磁场的唯一性定理时变电磁场的唯一性定理：设含有均匀、线性、各向同性媒质的区域：设含有均匀、线性、各向同性媒质的区域 V 的边界面为的边界面为 S，只要给定，只要给定 时刻区域时刻区域 V 中各点电场矢量和磁场矢量的初中各点电场矢量和磁场矢量的初始值，并同时给定始值，并同时给定 时边界面时边界面 S 上电场矢量的切向分量，或者磁场矢量的切向上电场矢量的切向分量，或者磁场矢量的切向分量，或者一部分边界面上分量，或者一部分边界面上的电场矢量切向分量和其余边界面上的磁场矢量切向分量，则区的电场矢量切向分量和其余边界面上的磁场矢量切向分量，则区域域 V 中的时变电磁场有唯一解。中的时变电磁场有唯一

34、解。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第34页，共65页 时变电磁场的唯一性定理重要性时变电磁场的唯一性定理重要性表现在：表现在：(1)是判断电磁场问题数学模型准确性的标准，只有给出了适是判断电磁场问题数学模型准确性的标准，只有给出了适当的初值条件和边值条件的电磁场问题，才可求出唯一确定解。当的初值条件和边值条件的电磁场问题，才可求出唯一确定解。(2)说明可以用任意方便的解法来求解电磁场，只要数学模型说明可以用任意方便的解法来求解电磁场，只要数学模型正确，求解过程正确且所得的解满足麦克斯韦方程和初值条件、正确，求解过程正确且所得的解满足麦克斯韦方程和初值条件、边值条件

35、，则所得的解就是该电磁场问题的唯一解。边值条件，则所得的解就是该电磁场问题的唯一解。(3)可以建立许多求解电磁场问题的等效原理，把一个不易求可以建立许多求解电磁场问题的等效原理，把一个不易求解的问题变成一个易于求解的问题。解的问题变成一个易于求解的问题。3.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程现在学习的是第35页，共65页一、时变电磁场的能量密度一、时变电磁场的能量密度 静电场和恒定磁场的能量密度分别为：静电场和恒定磁场的能量密度分别为：在得到这两个公式时，我们并没有对场的时变性质作特别要求，在得到这两个公式时，我们并没有对场的时变性质作特别要求，因此它们也适用于时变场。因此它们也适用

36、于时变场。这样，时变电磁场中能量密度这样，时变电磁场中能量密度 w 是电场能量密度是电场能量密度 与磁场能与磁场能量密度量密度 之和，即：之和，即：所以，区域所以，区域 V 中的总电磁能量为：中的总电磁能量为：3.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流现在学习的是第36页，共65页二、坡印廷矢量和坡印廷定理二、坡印廷矢量和坡印廷定理 与静态场一样，时变电磁场也具有能量，而且还特有能量流与静态场一样，时变电磁场也具有能量，而且还特有能量流动现象。时变电磁场以电磁波的形式从场源向周围空间传播，因动现象。时变电磁场以电磁波的形式从场源向周围空间传播，因此电磁场的能量也随之传播，形成电磁能流

37、。下面我们根据麦克此电磁场的能量也随之传播，形成电磁能流。下面我们根据麦克斯韦方程组，推导电磁能量守恒和转化定律斯韦方程组，推导电磁能量守恒和转化定律坡印廷定理坡印廷定理，并引，并引入一个描述电磁能流的物理量入一个描述电磁能流的物理量坡印廷矢量坡印廷矢量 S。根据麦克斯韦第一、第二方程：根据麦克斯韦第一、第二方程：和矢量恒等式：和矢量恒等式：3.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流现在学习的是第37页，共65页有：有：则：则：将上式两边在任意体积将上式两边在任意体积 V 上积分，有：上积分，有：3.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流现在学习的是第38页，共65页根据散

38、度定理，并交换积分与偏微分的次序，有：根据散度定理，并交换积分与偏微分的次序，有：3.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流坡印廷定理坡印廷定理上式表明，单位时间内流入上式表明，单位时间内流入 V 的电磁能量一部分被损耗掉，另一部分就是的电磁能量一部分被损耗掉，另一部分就是 V 中增中增加的电磁能量。因此，加的电磁能量。因此，坡印廷定理体现了电磁场中的能量守恒关系坡印廷定理体现了电磁场中的能量守恒关系。单位时间内体单位时间内体积积 V 中损耗中损耗的焦耳热的焦耳热V 中电磁能量随时间的增长中电磁能量随时间的增长率，或者说是单位时间内率，或者说是单位时间内 V 中增加的电磁能量中增加的

39、电磁能量单位时间内通过单位时间内通过边界面边界面 S 流入体流入体积积 V 中的电磁中的电磁能量能量现在学习的是第39页，共65页 由于由于 表示通过曲面表示通过曲面 S 流出体积流出体积 V 的功率，所以的功率，所以 表示通过单位面积的功率，令表示通过单位面积的功率，令S 就称为就称为坡印廷矢量坡印廷矢量，其方向表示电磁能量流动的方向，大小为，其方向表示电磁能量流动的方向，大小为通过与能流方向垂直的单位面积的功率，因此，通过与能流方向垂直的单位面积的功率，因此，S 也称为也称为能流密能流密度矢量度矢量。坡印廷定理主要应用于时变电磁场，也可以应用于静态场。坡印廷定理主要应用于时变电磁场，也可以

40、应用于静态场。在静态场中在静态场中 ，所以坡印廷定理可表示为：，所以坡印廷定理可表示为：表明，通过闭曲面表明，通过闭曲面 S 流入体积流入体积 V 中的功率等于中的功率等于 V 内损耗的功率。内损耗的功率。3.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流现在学习的是第40页，共65页例：例：在某无源的理想介质区域中，在某无源的理想介质区域中，。求：求：(1)坡印廷矢量；坡印廷矢量；(2)坡印廷矢量的时间平均值。坡印廷矢量的时间平均值。解：解：(1)先利用先利用Maxwell方程组求出方程组求出 H。由由 ，得：，得：S 只有只有 z 分量，所以电磁能量沿分量，所以电磁能量沿 z 轴方向流动

41、。轴方向流动。(2)可以看出，可以看出，S 是是 t 的周期函数，所以其平均值等于它在一个周的周期函数，所以其平均值等于它在一个周期期 内的平均值：内的平均值：3.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流现在学习的是第41页，共65页 我们知道，变化的电磁场可以相互激励，即使场源消失，电我们知道，变化的电磁场可以相互激励，即使场源消失，电磁场仍然存在，并以波动的形式向远处传播，形成电磁波。因此磁场仍然存在，并以波动的形式向远处传播，形成电磁波。因此电磁场矢量必然满足波动方程。下面仍从麦克斯韦方程组出发导电磁场矢量必然满足波动方程。下面仍从麦克斯韦方程组出发导出时变电磁场矢量满足的波动方

42、程，并在简单条件下求解波动方出时变电磁场矢量满足的波动方程，并在简单条件下求解波动方程，以说明电磁场的波动性。程，以说明电磁场的波动性。一、波动方程一、波动方程 设所讨论的区域中有时变场源电流设所讨论的区域中有时变场源电流 J 和时变场源电荷和时变场源电荷 ，媒，媒质是均匀、线性、各向同性的。质是均匀、线性、各向同性的。对第二方程对第二方程 两边取旋度，并交换两边取旋度，并交换 与与 的的运算次序，得：运算次序，得：3.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性现在学习的是第42页，共65页根据矢量恒等式根据矢量恒等式 ，第四方程，第四方程 和和第一方程第一方程 ，代入上式，整理得：，代入上式，

43、整理得：同样，对第一方程同样，对第一方程 两边取旋度，并交换两边取旋度，并交换 与与 的运算次序，得：的运算次序，得：将第二方程将第二方程 和第三方程和第三方程 代入上式，整理得：代入上式，整理得：3.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性现在学习的是第43页，共65页 根据偏微分方程的知识可知，方程根据偏微分方程的知识可知，方程(1)、(2)都具有波动方程的都具有波动方程的形式，因此将其称为电磁场的形式，因此将其称为电磁场的波动方程波动方程或或达朗贝尔方程达朗贝尔方程。若研究区域中无源，将若研究区域中无源，将 代入代入(1)、(2)式，得到式，得到无源无源区域中的波动方程区域中的波动方程：

44、若无源区域中媒质不导电，将若无源区域中媒质不导电，将 代入上面两式，得到代入上面两式，得到无源无源不导电媒质中的波动方程不导电媒质中的波动方程：3.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性现在学习的是第44页，共65页 电磁波是从场源电磁波是从场源(例如天线例如天线)向远离场源的无源空间向远离场源的无源空间(例如天线例如天线周围的空气周围的空气)中传播的。因此我们可以利用有源波动方程来研究中传播的。因此我们可以利用有源波动方程来研究场源是如何辐射电磁波的，也可以利用无源波动方程来研究电磁场源是如何辐射电磁波的，也可以利用无源波动方程来研究电磁波在离开场源后是如何在无源空间中传播的。波在离开场源

45、后是如何在无源空间中传播的。3.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性现在学习的是第45页，共65页二、波动性二、波动性 为说明电磁场的波动性，必须求解上面的波动方程。假设所研究区为说明电磁场的波动性，必须求解上面的波动方程。假设所研究区域中无源，且媒质是均匀、线性、各向同性、不导电的。域中无源，且媒质是均匀、线性、各向同性、不导电的。令令 表示表示 E 或或 H 的任一分量，则波动方程为：的任一分量，则波动方程为：在直角坐标系中，上式可写成：在直角坐标系中，上式可写成：为简化求解，假设为简化求解，假设 只是只是 z 和和 t 的函数，则：的函数，则：其中，其中，是媒质中的光速。真空中是媒质

46、中的光速。真空中 。根据数理方程的知识，在无界空间，上述方程的达朗贝尔解为：根据数理方程的知识，在无界空间，上述方程的达朗贝尔解为：3.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性现在学习的是第46页，共65页下面我们来说明达朗贝尔解的物理意义。下面我们来说明达朗贝尔解的物理意义。由由 可知，可知，时刻时刻 z 处的数值在处的数值在 时刻又时刻又出现在出现在 处。这说明同一物理量在处。这说明同一物理量在不同时空点上重复出现了不同时空点上重复出现了“振动在空间中振动在空间中的传播的传播”，这种现象就是，这种现象就是波动波动。3.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性 这样，在这样，在 的时间内，整

47、个波形向正的时间内，整个波形向正 z 方向移动了方向移动了 ，如图，如图所示。所以，所示。所以，表示一个以速度表示一个以速度 v 向向+z 方向传播的波；同方向传播的波；同理，理，表示一个以速度表示一个以速度 v 向向-z 方向传播的波。所以，无界空方向传播的波。所以，无界空间波动方程的解是沿间波动方程的解是沿+z 方向和方向和-z 方向传播的两个波的叠加。方向传播的两个波的叠加。函数函数 f、g的具体表示式取决于场源的空间分布形式和时变形式。的具体表示式取决于场源的空间分布形式和时变形式。现在学习的是第47页，共65页 前面的讨论是针对随时间任意变化的电磁场进行的。在实际前面的讨论是针对随时

48、间任意变化的电磁场进行的。在实际问题中，通常需要研究的，也是最重要的是随时间做简谐变化的问题中，通常需要研究的，也是最重要的是随时间做简谐变化的时谐电磁场时谐电磁场。正弦变化和余弦变化统称为时谐变化。又由于正弦。正弦变化和余弦变化统称为时谐变化。又由于正弦和余弦只有和余弦只有 的相位差别，因此，又往往将时谐变化称为正弦的相位差别，因此，又往往将时谐变化称为正弦变化，将时谐电磁场称为变化，将时谐电磁场称为正弦电磁场正弦电磁场。时谐电磁场之所以重要，是因为它容易产生和激励，易于分时谐电磁场之所以重要，是因为它容易产生和激励，易于分析，而且任意时变形式的电磁场都可以按时间展开成傅里叶级数析，而且任意

49、时变形式的电磁场都可以按时间展开成傅里叶级数的形式，将其看作是许多个时谐电磁场的叠加。因此，研究时谐的形式，将其看作是许多个时谐电磁场的叠加。因此，研究时谐电磁场是研究一切时变场的重要基础电磁场是研究一切时变场的重要基础。3.6 时谐电磁场时谐电磁场现在学习的是第48页，共65页一、时谐电磁场的复数表示式一、时谐电磁场的复数表示式 对于时谐场中的物理量，以电场强度对于时谐场中的物理量，以电场强度 为例可表示为：为例可表示为：式中，式中，分别为分别为 E 的各分量在的各分量在 点处的振幅；点处的振幅；分别为分别为 E 的对应分量在的对应分量在 点处的初始相角；点处的初始相角；是角频率，即单位时间

50、内相位的变化量。其它场矢量也可以是角频率，即单位时间内相位的变化量。其它场矢量也可以表示成类似的形式，这种表示式称为表示成类似的形式，这种表示式称为瞬时表示式瞬时表示式。3.6 时谐电磁场时谐电磁场现在学习的是第49页，共65页 可以看出，瞬时表示式比较繁琐，若直接用于分析、计算将可以看出，瞬时表示式比较繁琐，若直接用于分析、计算将比较麻烦。如果我们将时谐场的场矢量、激励源都用复数表示，比较麻烦。如果我们将时谐场的场矢量、激励源都用复数表示，并将场方程改写成复数形式，将会使时谐场的计算、分析大为简并将场方程改写成复数形式，将会使时谐场的计算、分析大为简化。下面我们先讨论时谐场量的化。下面我们先