第3章边值问题的解法精选PPT.ppt

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1、第3章边值问题的解法第1页，本讲稿共65页3.1 边值问题的分类*3.2 唯一性定理3.3 镜像法*3.4 分离变量法*3.5 有限差分法 解析法数值法第2页，本讲稿共65页3.1 边值问题的提法 边值问题：给定边界条件下求解电场的电位函数所满足的方程。对不同的问题，边界条件有不同的给定方式，场也满足不同的方程。第3页，本讲稿共65页3.1.1 边值问题的分类(1)已知场域边界面S上各点电位的值，即第一类边界条件或狄利克利条件(2)已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即第二类边界条件或诺伊曼条件(3)已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组 合值，即第三类边界条件或混合边界条件第4

2、页，本讲稿共65页 如果边界面S是导体，则三类问题变为：已知各导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体电位和另一部分导体的总电量。如果场域延伸到无限远处，对于电荷分布在有限区域的情况，则无限远处的电位为有限值，即自然边界条件第5页，本讲稿共65页3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程 在线性、各向同性、均匀的电介质中，有(3-1-5)对电荷分布在导体表面的静电场问题，在导体内部体电荷分布为零，即 ，故有(3-1-6)静电场的泊松方程拉普拉斯方程第6页，本讲稿共65页已知场域边界上各点电位值边值问题框图自然边界条件参考点电位 有限值边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边

3、界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即第7页，本讲稿共65页3.2 唯一性定理（Uniqueness Theorem)在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯的解必定是唯一的。静电场的唯一性定理。证明略第8页，本讲稿共65页 唯一性定理给出了拉普拉斯方程定解的充分必要条件，即 镜像法和分离变量法就是唯一性定理的应用。边界条件边界条件定解第9页，本讲稿共65页3.3 镜 像 法 实际的工程问题：当实际电荷靠近导体表面时，由于导体表面上会出现感应电荷，必然会对实际电荷的场产生影响。例1：地球对架空传输线所产生电场的影响。例2：发射

4、或接收天线的场分布会因支撑它们的金属导电体的出现而显著改变。结论：计算空间的电场，不仅要考虑原电荷的电场，还要考虑感应电荷的电场，这就必须知道表面电荷的分布。直接分析这些问题既复杂又困难。第10页，本讲稿共65页 镜像法是求解静电边值问题的一种间接方法，它巧妙应用唯一性定理，使某些看来难解的边值问题易于解决。主要用来求解无限大导体附近的电荷（点电荷/线电荷）产生的场。镜像法镜像法:是暂时忽略边界的存在，在是暂时忽略边界的存在，在所求区域外所求区域外所求区域外所求区域外放置放置虚虚虚虚拟电荷拟电荷拟电荷拟电荷来代替来代替实际导体表面（等位面）实际导体表面（等位面）实际导体表面（等位面）实际导体表

5、面（等位面）上复杂的电荷分布来上复杂的电荷分布来进行计算。此虚拟电荷称为实际电荷的镜像（进行计算。此虚拟电荷称为实际电荷的镜像（Image)Image)。镜像电荷的要求：根据唯一性定理，只要镜像电荷和实镜像电荷的要求：根据唯一性定理，只要镜像电荷和实际电荷一起产生的电位能满足给定的边界条件，又在所求的际电荷一起产生的电位能满足给定的边界条件，又在所求的区域内满足拉普拉斯方程即可。区域内满足拉普拉斯方程即可。第11页，本讲稿共65页3.3.1 点电荷与平面边界平面镜像法 求置于无限大导电平面上方d处的点电荷q的电位。分析：点电荷位于导体平面上时，导体上会产生感应电荷。感应电荷产生后，会影响上半空

6、间电场分布，即影响电位。能否在导电平面下方放一个电荷量为-q的点电荷来代替导体平面上的感应电荷？另上半空间的电位既满足拉普拉斯方程，又满足边界条件：导体表面电位由所有电荷产生，其值为0；且在无穷远处，总电位趋于0。第12页，本讲稿共65页 如果q为镜像电荷，则空间任一点P(x,y,z)的电位为第13页，本讲稿共65页在在z z 00的上半平面的上半平面(除点电荷所在点除点电荷所在点)，2 2=0=0；在；在z=z=0 0的平面上，的平面上，=0=0，2 2=0=0。当当z z、|x x|、|y y|时，时，00。验证解的正确性，关键是考察代替后得到z0的空间电位能否拉普拉斯方程和边界条件。根据

7、唯一性定理，式(3-1-1)必是所求问题的解。第14页，本讲稿共65页 用电位函数反求感应电荷量。导电平面上，有导体表面的感应电荷密度为 如果导电平面无限大，可以看作半径为无限大的圆，则无限大导电平面的感应电荷为导体表面感应的总电荷正是预期值q。第15页，本讲稿共65页 结论：点电荷位于无限大导体平面上时，导体表面总的感应电荷可以用位于对称位置，带等量异号电荷的镜像电荷来代替。镜像电荷不能放在当前求解的场域内。第16页，本讲稿共65页讨论：镜像电荷的讨论：镜像电荷的 数目？数目？1）当一个点电荷位于两平行导电平面的之间时，其镜像）当一个点电荷位于两平行导电平面的之间时，其镜像电荷数趋于无穷。电

8、荷数趋于无穷。2）若平面的夹角为）若平面的夹角为，且，且3603600 0/为偶数为偶数，则可以用镜像，则可以用镜像法求解，镜像电荷的个数为法求解，镜像电荷的个数为(3600/)-1，再加上原电荷总共，再加上原电荷总共3600/个，镜像电荷位于与原电荷关于边界对称的位置上，个，镜像电荷位于与原电荷关于边界对称的位置上，且大小相等、符号相反；若且大小相等、符号相反；若3600/不为偶数，则镜像电荷就不为偶数，则镜像电荷就会出现在所求区域，这将改变该区域内电位所满足的方程，不会出现在所求区域，这将改变该区域内电位所满足的方程，不能用镜像法求解。能用镜像法求解。第17页，本讲稿共65页【例3-1】图

9、3-2为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成的直角劈，今有一电量为100nC的点电荷位于点(3,4,0)，求点(3,5,0)处的电位和电场强度，其中各坐标单位为m。(3,4,0)图3-2 两垂直平面间的点电荷 解：两平面夹角为解：两平面夹角为900，则镜像电，则镜像电荷个数为荷个数为n=(3600/)-1=3，即为满足，即为满足边界条件，需要三个镜像电荷。其分边界条件，需要三个镜像电荷。其分布如下图。布如下图。第18页，本讲稿共65页(3,5,0)(-3,4,0)(-3,-4,0)(3,-4,0)保证x=0的平面电位为零保证y=0的平面电位为零则所求点(3,5,0)处的电位为(3,4

10、,0)则第19页，本讲稿共65页3.3.2 点电荷与球面边界 自由空间中接地导体球半径为a，一点电荷q位于距球心d处，如图 3-3所示，求球外任一点的电位。如果仍用镜像法求解，即接地导体球上的感应电荷对点电荷的影响可以用置于导体球内部的镜像电荷来代替，那么镜像电荷的大小和位置如何确定？图3-3 接地导体球外的点电荷第20页，本讲稿共65页待定：1)大小 由于导电球面弯曲，故镜像电荷量不等于真实电荷q，设镜像电荷为q1=-mq；2)位置 应在球内，且位于上半球内的球心与实际电荷的连线上(应为感应电荷左右对称)，设在距离原点b处。则球外任一点的电位为原电荷和镜像电荷共同产生式中第21页，本讲稿共6

11、5页 电位函数在球表面处电位为零电位函数在球表面处电位为零(边界条件边界条件)，即在，即在r=a处对处对任意角度任意角度，有，有解此方程得：结论：结论：1)一般一般m1。当。当m=1时时，d=a，即，即仅仅当真当真实电实电荷位于球荷位于球面上面上时时，镜镜像像电电荷在数量上才和真荷在数量上才和真实电实电荷相等。荷相等。2)当当电电荷荷q远远离球体离球体时时，镜镜像像电电荷荷则趋则趋于球心。于球心。第22页，本讲稿共65页 球体表面的电荷密度为球体表面总的感应电荷量为：结论：点电荷位于导体球面外时，导体表面总的感应电荷可以用镜像电荷来代替。镜像电荷不能放在当前求解的场域内。第23页，本讲稿共65

12、页 讨论：1)当球不接地时，球面电位不为零，而球面上的净电荷为零(边界条件)。为满足此边界条件，需再加入一个镜像电荷q2=-q1,其位置在球心以保持球面仍为等位面。此时球外任一点的电位为球的电位等于q2在球面上产生的电位，即 2）如果点电荷位于球内时，确定镜像电荷和前面方法一样，镜像电荷位于球外。第24页，本讲稿共65页3.3.3 线电荷的镜像线电荷位于无限长接地导体圆柱外线电荷位于无限大导体平面上镜像电荷：第25页，本讲稿共65页 自自由由空空间间中中无无限限长长接接地地导导体体圆圆柱柱半半径径为为a，一一个个线线密密度度为为l 的的无无线线长长带带电电直直线线置置于于离离圆圆柱柱轴轴线线距

13、距离离为为d处处,如如图图 3-4所示，求柱外任一点的电位。所示，求柱外任一点的电位。图 3-4 接地无限长导体圆柱外的线电荷 如果仍用镜像法求解，即接地导体圆柱上的感应电荷对线电荷的影响可以用置于导体圆柱内部的镜像电荷来代替，那么镜像电荷的大小和位置如何确定？第26页，本讲稿共65页待定：1)大小 设镜像电荷为 ；2)位置 应在球内，且位于上半球内的球心与实际电荷的连线上(应为感应电荷左右对称)，设在距离原点b处。则球外任一点的电位为原线电荷和镜像线电荷共同产生式中第27页，本讲稿共65页 电位函数在圆柱表面处电位为零电位函数在圆柱表面处电位为零(边界条件边界条件)，即在，即在=a处对处对任

14、意角度任意角度，有，有解此方程得：另在导体圆柱表面电场强度的切向分量为零，即验证略。第28页，本讲稿共65页 例3-2 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是D，若导体间的电压为U，如图3-5，求空间任一点的电位和单位长的电容。图 3-5 无线长平行双导线的电位和单位长度电容 第29页，本讲稿共65页 解解：由由于于两两圆圆柱柱导导体体间间电电压压为为U，因因此此两两圆圆柱柱导导体体带带等等量量异异号的电荷。号的电荷。当当两两导导体体间间距距较较近近时时，由由于于正正负负电电荷荷相相互互吸吸引引，因因此此两两导导体体表表面面上上的的电电荷荷分分布布不不均均匀匀（相相互互靠靠近近的的

15、一一侧侧电电荷荷密密度度大大，相相互互远远离离的的一一侧侧电电荷荷密密度度小小。可可将将两两圆圆柱柱导导体体上上的的分分布布电电荷荷看看成成集中分布的线电荷集中分布的线电荷l和和-l，利用柱面镜像法得，利用柱面镜像法得第30页，本讲稿共65页 以原点为参考点，线电荷 和 在空间任意点P处产生的电位分别为故P处的总电位为右边圆柱上任一点的电位为左边圆柱上任一点的电位为第31页，本讲稿共65页当Da时，故两圆柱导体间的为单位长度的电容为与式（2-4-2)结果不一致。这是由于此处考虑了两导线间电荷的相互作用，使电荷的中心位置发生偏移。与式（2-4-2)结果一致第32页，本讲稿共65页小结：镜像法的理

16、论基础是静电场唯一性定理；镜像法的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；镜像法的关键是确定镜像电荷(电轴)的个数(根数)，大小及位置；应用镜像法解题时，注意：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。第33页，本讲稿共65页3.4 分 离 变 量 法 分离变量法是把一个多变量函数表示成几个单变量函数乘积的方法。条件：（1）要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相和；（2）在坐标系中，要求待求偏微分方程的解可表示为三变量大函数的个函数乘积，且其中每个函数仅是一个坐标变量的函数。在直角、圆柱、球坐标系中都可以用分离变量法。第34页

17、，本讲稿共65页3.4.1 直角坐标系中的分离变量法在直角坐标系中，拉普拉斯方程为 设设可以表示为三个函数的乘积，可以表示为三个函数的乘积，即即 将式将式(3-4-2)代入式代入式(3-4-1)，并除以，并除以，得，得每项都为一个单变量的函数。第35页，本讲稿共65页要使上式成立，只有每项等于常数。即则为分离常数。这三个常数只有两个是独立的，且它们不能全为实数、虚数或零。常系数二阶微分方程的解的形式由分离常数的取值决定，以 为例。(3-4-4)(3-4-5)(3-4-6)第36页，本讲稿共65页若 为实数，则微分方程的解为若 为虚数，令 为实数)，则微分方程的解为若 0，则微分方程的解为第37

18、页，本讲稿共65页 、和 情况类似。则拉普拉斯方程的解 就有不同的组合形式。根据唯一性定理，给定边界条件时解是唯一的。第38页，本讲稿共65页 【例例3-3】如如图图 3-6所所示示长长方方形形截截面面的的导导体体槽槽，槽槽可可以以视视为为无无限限长长，其其上上有有一一块块与与槽槽相相互互绝绝缘缘的的导导体体盖盖板板，截截面面尺尺寸寸为为ab，槽槽体体的的电电位位为为零零，盖盖板板的的电电位位为为U0，求求槽槽内内的的电电位位函数。函数。图 3-6 导体槽中的电位 解：解：因为槽沿因为槽沿z方向无方向无限长，故电位函数与限长，故电位函数与z无关，无关，只是只是x、y的函数，即的函数，即=(x,

19、y)。这是一个。这是一个矩形域的二维场问题。矩形域的二维场问题。第39页，本讲稿共65页 在直角坐标系中，电位函数在直角坐标系中，电位函数(x,y)的拉普拉斯方程为的拉普拉斯方程为边界条件为：第40页，本讲稿共65页 令 ，则由分离变量法得到以下三个方程 若 为实数，则 一定为虚数，否则反之。第41页，本讲稿共65页注：注：称为方称为方程程(3-4-4)在边界条在边界条件下的件下的本征函数本征函数。kx=n/a称为称为本征值本征值。即即kxa=n或或kx=n/a(n=1,2,3,)，则，则令 为实数，则利用边界条件利用边界条件，得，得故再利用边界条件再利用边界条件，得，得故第42页，本讲稿共6

20、5页又 ，故利用边界条件利用边界条件，得，得故对不同的对不同的n对应的对应的进进行叠加，可得到行叠加，可得到电位函数的通解为：电位函数的通解为：双曲函数：第43页，本讲稿共65页由于 左右两边同乘以左右两边同乘以sin(mx/a)，并在区间并在区间(0，a)积分，有积分，有 由边界条件由边界条件，得，得第44页，本讲稿共65页因而，n=2,4,6,n=1,3,5,第45页，本讲稿共65页这样得到待求区域的电位为 所以，当n=1,3,5,时，当n=2,4,6,时，第46页，本讲稿共65页 【例3-4】如图 3-7所示两半板距离为d的平行板电容器存在着体电荷密度为 恒定电荷，其中一块板的电位为0，

21、另一块板的电位为U0，求电容器内的电位分布。图 3-7 电容器中的电位 解：因为平行板电容器中的电荷体密度为 ，因此电容器内的电位函数满足泊松方程：U0o边界条件：第47页，本讲稿共65页 由于平行板电容器在y和z方向都是无限大，因此待求区域内的电位函数仅是变量x的函数，故泊松方程可写成：将上式积分两次，得到通解：应用边界条件：第48页，本讲稿共65页 由于平行板电容器在y和z方向都是无限大，因此待求区域内的电位函数仅是变量x的函数，故泊松方程可写成：将上式积分两次，得到通解：应用边界条件：第49页，本讲稿共65页因此电容器的电位函数为:第50页，本讲稿共65页 如如图图 所所示示，两两块块半

22、半无无限限大大平平行行导导体体板板的的电电位位为为零零，与与之之垂垂直直的的底底面面电电位位为为(x,0)，求求此此半半无无限限槽槽中中的电位。的电位。其中：其中：无限长槽的电位 第51页，本讲稿共65页 提提示示：和和前前题题类类似似，这这是是一一个个二二维维拉拉普普拉拉斯斯方方程程边边值值问问题题，=(x,y)，边界条件为，边界条件为(0,y)=0(a,y)=0(x,)=0 第52页，本讲稿共65页为满足边界条件为满足边界条件，取级数，取级数 代入边界条件代入边界条件，得得 运用正弦函数的正交归一性，得 第53页，本讲稿共65页3.5 有 限 差 分 法 图 4-24 差分网格 差分表示式

23、 第54页，本讲稿共65页当h很小时，忽略四阶以上的高次项，得 第55页，本讲稿共65页考虑到可得 上式表明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。显然，当h越小，计算越精确。如果待求N个点的电位，就需解含有N个方程的线性方程组。若点的数目较多，用迭代法较为方便。第56页，本讲稿共65页3.5.1 简单迭代法 图 4-25 节点序号 第57页，本讲稿共65页 3.5.2 超松弛法 通常为节约计算时间，对简单迭代法要进行改进，每当算出一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方程迭代，这种迭代法叫做塞德尔(Seidel)迭代法。塞德尔迭代法的表达式为 此式也称为异步迭代法。由于更

24、新值的提前使用，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小。第58页，本讲稿共65页3.超松驰迭代法 式中称为松弛因子，其值介于 1 和 2 之间。当其值为1时，超松弛迭代法就蜕变为塞德尔(Seidel)迭代法。因子的选取一般只能依经验进行。但是对矩形区域，当M、N都很大时，可以由如下公式计算最佳收敛因子0:第59页，本讲稿共65页 例 4-20 设如图 4-26 所示的矩形截面的长导体槽，宽为 4h，高为3h，顶板与两侧绝缘，顶板的电位为 10V，其余的电位为零，求槽内各点的电位。图 4-26 例 4-20 用图 第60页，本讲稿共65页 解：将待求的区域分为 12 个边长为h的正方形网格，含六个内点，得出差分方程组：第61页，本讲稿共65页解以上方程组，得 第62页，本讲稿共65页表 4-1 简 单 迭 代 法 12345600.00.00.00.00.00.012.50.02.50.02.50.023.1250.6253.750.6253.1250.625104.14351.53635.06982.02424.14351.5363114.15151.54195.07780.03564.15151.5419第63页，本讲稿共65页表表 4-2 超松弛迭代法超松弛迭代法(=1.2)第64页，本讲稿共65页表 4-3 松弛因子的影响 第65页，本讲稿共65页