能控性、能观性.ppt

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1、关于能控性、能观性现在学习的是第1页，共58页 古典中：C(s)既是输出又是被控量(1)、C(s)肯定与R(s)有关系，(2)、C(s)肯定是可测量的，因此，只要满足稳定，肯定能控能观现代中：被控制量是X（状态变量）现在学习的是第2页，共58页问题：1、每个状态X(t)是否受u(t)控制 2、状态变量在系统内部，能否通过观测Y(t)来测量X(t)现在学习的是第3页，共58页分析：1、x1与输入u无关，不能控，x2能控，x1,x2不完全能控。2、y=x1+x2 ,x1或x2都能对y产生影响，通过y能确定x1或x2，能观测。3、能控能观是最优制和最优估计的设计基础。-现在学习的是第4页，共58页3

2、.1 线性连续系统的能控性一、线性时变系统的能控性（一）定义：对于系统若存在输入信号u(t)，能在有限时间区间t0,tf内将系统的任意一个初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf),称x(t)在t0时刻或t0,tf区间上是完全能控的，或称系统在t0时刻是能控的，否则不能控。（二）性质 线性时变系统方程的解现在学习的是第5页，共58页 意义：系统状态x(t0)能控，即t0,tf区间上受u(t)控制。现在学习的是第6页，共58页（三）能控性判据定理3.1系统(A(t),B(t),C(t)在t0时刻或t0,tf 完全能控的充要条件是矩阵(t0,t)*B(t)是行线性无关的（满秩的、非奇异的）注意：1

3、、某些状态能控系统完全能控 2、系统完全能控肯定状态能控 系统，如果存在分段连续的u(t)在t0,tf内，将系统的任一x(t0)转移到x(tf),称此系统是状态完全能控制的，或状态能控的。若n个状态变量中，至少有一个状态变量不能控时,称系统是状态不完全能控或不能控.二、线性定常系统的能控性（一）定义:对 现在学习的是第7页，共58页（二）能控性判别准则:-三个定理定理3.2线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵是满秩的证明：线性定常系统状态方程的解现在学习的是第8页，共58页方程有解的充要条件是系数阵满秩 即现在学习的是第9页，共58页 都与u有关，所以状态完全能控，即能控现在学习的是第10页，

4、共58页例3.2有系统如下，判断其是否能控解：现在学习的是第11页，共58页故它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论a2、a1取何值，其秩为3，系统总是能控的。因此把凡是具有本例形式的状态方程，称之为能控标准型。现在学习的是第12页，共58页定理3.3若线性定常系统的系数矩阵A有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是输入矩阵B没有任何一行的元素全部为零。定理3.4若A为约旦型，则系统能控的充要条件是 （1）B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零。（2）B中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。现在学习的是第13页，共58页例3.4 判断下列系统的能控性现在

5、学习的是第14页，共58页所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控，可算出rankM3.结论：系统的能控性，取决于状态方程中的A和B。现在学习的是第15页，共58页3.2 线性定常离散系统的能控性一、定义 对于线性定常离散系统x(k1）Gx(k)+Hu(k)如果存在控制信号序列u(k)、u(k+1)u(n-1)，使得系统从第k步状态x(k)开始，能在第n步上达到零状态（平衡状态），即x(n)0，其中n为大于k的某一个有限正整数，称系统在第k步上是能控的，x(k)称为系统在第k步上的能控状态。如果对于任一个k，第k步上的状态x(k)都是能控状态，则系统

6、都完全能控，称系统完全能控。现在学习的是第16页，共58页注意：控制信号序列有限，但规律和大小没有限制二、判别准则定理3.5 线性定常离散系统(G,H)状态能控的充要条件是能控性矩阵证明：离散解：假设能控，经n步，x(k)=x(n)=0现在学习的是第17页，共58页写成其中u(0)u(n-1)T为n个未知，方程有解的充要条件是系数阵满秩，即说明：形式上同连续系统，ABGH现在学习的是第18页，共58页例3.5已知判断是否能控解：说明：也可把矩阵G化为对角形或约旦标准型后，按定理3.3、3.4判别系统是否能控。现在学习的是第19页，共58页3.3 线性定常系统的能观测性一、定义：系统如果对任意给

7、定的u(t)，在有限观测时间内t0tf内测量值，就能唯一地确定x(t0),则称x(t0)是能观的，如果每个x(t0)是能观，称状态完全能观，简称状态能观-现在学习的是第20页，共58页二、判别准则定理3.7线性定常系统 (A,B,C)状态能观测的充要条件是系统能观测性与输入向量无关，令u(t)=0,t0=0现在学习的是第21页，共58页可见，根据在0,tf量测的y(t),能将初始状态x(0)唯一地确定下来地充要条件是现在学习的是第22页，共58页例3.8、若系统为试判断系统的能观测性现在学习的是第23页，共58页现在学习的是第24页，共58页定理3.8若矩阵A有互不相同的特征值，则系统能观测的

8、充要条件是输出矩阵C没有任何一列的元素全部为0。定理3.9若矩阵A为约旦型，则系统能观测的充要条件是 （1）输出矩阵C中对应于互异特征值的各列，没有一列的元素全为0。（2）C中与每个约旦块的第一列相对应的各列，没有一列的元素全为0。现在学习的是第25页，共58页例3.10下列的一些系统是完全能观测的现在学习的是第26页，共58页下列的系统是不完全能观测的现在学习的是第27页，共58页三、线性定常离散系统的能观测性（一）定义：当u(k)给定，根据第i步，以及以后若干步对y(i),y(i+1)y(n)的测量，就唯一地确定出第i步的x(i)，称x(i)是能观的。如果每个x(i)都能观，称状态完全能观

9、，简称状态能观。（二）判别准则 定理3.10线性定常离散系统状态能观测的充要条件是现在学习的是第28页，共58页证明假设观测从第0步开始，令u(k)0，则现在学习的是第29页，共58页现在学习的是第30页，共58页现在学习的是第31页，共58页3.5 对偶原理一、线性系统的对偶 关系称系统 1 和2 是互为对偶的。1是2 的对偶系统或2是1的对偶系统。现在学习的是第32页，共58页（二）对偶系统的结构图特点现在学习的是第33页，共58页（1）输入端与输出端互换，信号传递方向相反 （2）信号引出点和信号综合点互换 （3）对应矩阵转置（三）对偶系统的传递函数互为转置1图表示用u1(t)控制y1(t

10、)是“控制问题”，2图表示用输出量去求输出量，称为“估计问题”现在学习的是第34页，共58页对偶系统的特征值是相同二、对偶原理 系统 1(A1,B1,C1)和 2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统，则1 的能控性等价于2 的能观性，2的能观性等价于 1 的能控性。或者说，若 1是状态完全能控的（完全能观的），则2是完全能观的（完全能控的）证明：对2 而言，能控性判别矩阵的秩为n，则系统状态完全能控的。现在学习的是第35页，共58页说明 1 的能观性判别矩阵N1的秩也为n，从而说明 1为完全能观的。同理有 即若 2 的N2满秩，2为完全能观，则 1 的M1亦满秩而为状态完全能控。现在学习的

11、是第36页，共58页3.6 线性系统的结构分解（1）当系统不能控或不能观测时，并不是所有状态都不能控或不能观测（可通过坐标变换对状态空间进行分解。）（2）把状态空间按能控性或能观性进行结构分解。一、结构分解举例现在学习的是第37页，共58页由定理3.3知：x1,x2能控，x3,x4不能控由定理3.8知：x2,x3能观测，x1,x4不能观现在学习的是第38页，共58页系统有：（1）能控能观（2）能控不能观（3）不能控能观（4）不能控不能观四种情况结构图：现在学习的是第39页，共58页x1能控不能观x2能观能控x3不能控能观x4不能控不能观上述是通过变换把一个系统分解成4个子系统现在学习的是第40

12、页，共58页现在学习的是第41页，共58页二、系统按能控性分解(一)定理3.10 设系统(A,B,C)不能控，则rankM=rankB,ABAn-1B=rn，必存在一非奇异矩阵T=Rc，使得现在学习的是第42页，共58页则系统得状态空间被分解成能控和不能控的两部分现在学习的是第43页，共58页(二)变换矩阵T的求法：（1）从M=B,ABAn-1B中选择r个线性无关的列向量 （2）以（1）求得的列向量，作为T的前r个列向量，其余列向量可以在保持T为非奇异的情况下，任意选择。(三)说明：（1）系统按能控性分解后，其能控性不变。（2）系统按能控性分解后，其传递函数阵不变。现在学习的是第44页，共58

13、页三、系统按能观测性分解(一)定理3.11 设系统(A,B,C)不能观，则现在学习的是第45页，共58页原状态方程被分解成能观和不能观测的两部分(二)变换矩阵R0的求法：现在学习的是第46页，共58页例3.16设线性定常系统如下，判别其能观性，若不是完全能观的，将该系统按能观性进行分解。解：系统的能观性判别矩阵所以该系统是状态不完全能观的。现在学习的是第47页，共58页为构造非奇异变换阵R0-1，取得其中R3,是在保证R0-1非奇异的条件下任意选取的。于是系统状态空间表达式变换为现在学习的是第48页，共58页现在学习的是第49页，共58页3.7 系统的实现一、概念：根据给定的传递函数阵G(s)

14、，求其相应的状态空间表达式(A,B,C,D)使其满足C(SI-A)-1B+D=G(S)，称该状态空间表达式 (A,B,C,D)为传递函数阵G(S)的一个实现。二、实现的目的是为了仿真（做模仿）通过模拟结构图，用积分器、加法器等（集成电路块）连接试验，物理可实现条件为1、G(S)中的每一个元素Gij(S)的分子分母多项式的系数均为实常数。2、G(S)中每一个元素均为S的真有理分式函数现在学习的是第50页，共58页三、如何实现：状态变量的选择有无穷多组，实现的方法有无穷多。单变量系统可以根据G(S)直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。四、最小实现现在学习的是第51页，共58页（2）定理：G(

15、S)的一个实现为最小实现的充要条件是 （A,B,C)不但能控而且能观。（3）确定最小实现的步骤1、对G(S)初选一种实现 (A,B,C)，通常选取能控或能观标准型实现，检查其实现的能控性（或能观性），若为能控又能观则 (A,B,C)便是最小实现。2、否则对以上标准型实现 (A,B,C)进行结构分解，找出其完全能控又完全能观的子系统 ,这便是G(S)的一个最小实现。现在学习的是第52页，共58页3.8 能控性和能观性与传递函数阵的关系一、定理3.12：对于单变量系统，如果G(S)存在零极点对消，则由状态变量选择而定，要么能控不能观，要么能观不能控,或既不能控也不能观，若没有零极点对消，则状态能控能观。现在学习的是第53页，共58页从状态空间看：现在学习的是第54页，共58页从传递函数阵看：现在学习的是第55页，共58页1、没有零极点对消，能控能观，2、有零极点对消，就会存在现在学习的是第56页，共58页由定理可得以下推论：G(s)所表示的仅仅是该系统既能观又能控的那一部分子系统，所以G(s)是系统的一种不完整描述 G(s)若有零极点对消，就会出现不能控或不能观。二、定理3.13：对于多变量系统，系统能控又能观的充分条件是其传递函数阵G(s)中无零极点对消。（不是必要条件）。现在学习的是第57页，共58页感谢大家观看现在学习的是第58页，共58页