上海市奉贤中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题含解析.doc

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1、-1-上海市奉贤中学上海市奉贤中学 2018-20192018-2019 学年高一数学下学期期末考试试题（含解学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）析）一、填空题（一、填空题（5454 分）分）1.一个扇形的半径是2cm，弧长是4cm，则圆心角的弧度数为_.【答案】2【解析】【分析】直接根据弧长公式，可得。【详解】因为lR，所以42，解得2【点睛】本题主要考查弧长公式的应用。2.已知sin3cos，则cos2_.【答案】45【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系式，联立求解出22sin,cos，由二倍角公式即可算出。【详解】因为sin3cos，又22sincos1，解得2219cos,si

2、n1010，故22194cos2cossin10105。【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式及二倍角公式的应用。3.已知tan2x，且,x ，则x _.【答案】arctan2或arctan2【解析】【分析】利用正切函数的单调性及周期性，可知在区间(,)2与区间(0,)2内各有一值，从而求出。【详解】因为函数tanyx的周期为，而且tanyx在,22kk内单调增，-2-所以tan2x 有两个解，一个在(,)2，一个在(0,)2，由反正切函数的定义有，arctan2x 或arctan2x。【点睛】本题主要考查正切函数的性质及反正切函数的定义的应用。4.函数cos2yx的单调增区间是_.【答案】2

3、,222kk，kZ【解析】【分析】先利用诱导公式化简，即可由正弦函数的单调性求出。【详 解】因 为cossin2yxx，所 以cos2yx的 单 调 增 区 间 是2,222kk，kZ。【点睛】本题主要考查诱导公式以及正弦函数的性质单调性的应用。5.若 12f kkkk2k kN，则 1f kf k_.【答案】33k【解析】【分析】观察式子特征，直接写出1f k，即可求出 1f kf k。【详解】观察()f k的式子特征，明确各项关系，以及首末两项，即可写出(1)f k，所以(1)1(2)(3)2(21)(22)f kkkkkkk，相比()f k，增加了后两项21,22kk，少了第一项k，故

4、1(21)(22)33f kf kkkkk。【点睛】本题主要考查学生的数学抽象能力，正确弄清式子特征是解题关键。-3-6.设3sincos2sinxxx，其中02，则的值为_.【答案】116【解析】【分析】由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值。【详解】313sincos2sincos2 sincoscos sin2sin()22666xxxxxxx，所以sin()sin()6xx，因为02，故11266。【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用。7.设数列na（n*N）是等差数列，若2a和2018a是方程24830 xx的两根，则数列na的前 2019 项的和201

5、9S_【答案】2019【解析】【分析】根据二次方程根与系数的关系得出220182aa，再利用等差数列下标和的性质得到1201922018aaaa，然后利用等差数列求和公式可得出答案.【详解】由二次方程根与系数的关系可得220182aa，由等差数列的性质得出12019220182aaaa，因此，等差数列 na的前2019项的和为12019201920192019 2201922aaS，故答案为：2019.【点睛】本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.-4-8.已知等比数列 na的递增数列，且2510aa，2125

6、nnnaaa则数列 na的通项公式na _.【答案】2n【解析】【分析】利用等比数列的定义以及通项公式，列出关于1,a q的方程，利用单调性解出符合题意的1,a q，即求得 na的通项公式。【详解】设等比数列 na的首项和公比分别是1,a q，依题意有，2491122(1)5a qa qqq，又等比数列 na为递增数列，解得122aq，故数列 na的通项公式为*2()nnanN。【点睛】本题主要考查等比数列的单调性以及通项公式的求法，待定系数法是解决此类问题的常用方法。9.公比为q的无穷等比数列 na满足：1q，12kkkak aanN，则实数k的取值范围为_.【答案】,20,【解析】【分析】

7、依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出k的表达式，再利用求值域的方法求出其范围。【详解】由题意有21()1qk qqkq，即111qkqq，因为1q，所以,20,k 。【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用以及基本函数求值域的方法。-5-10.已知函数sin03yx的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移0m m 个单位后，所得图像关于原点对称，则m的最小值为_.【答案】3【解析】【分析】先利用周期公式求出，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m的表达式，即可求出m的最小值。【详解】由2T得2，所以sin 23yx，向左平移0m m 个单位后

8、，得到sin2()sin(22)33yxmxm，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3mkkZ，则62km，故m的最小值为3。【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()yAx型的函数奇偶性判断条件。一般地sin()yAx为奇函数，则k；为偶函数，则2k；cos()yAx为奇函数，则2k；为偶函数，则k。11.设x为实数，x为不超过实数x的最大整数，如2.662，2.663.记 xxx，则 x的取值范围为0,1，现定义无穷数列 na如下：1aa，当0na 时，11nnaa；当0na 时，10na，若3a，则2019a_.【答案】31【解析】【分析】根据已知条件，计

9、算数列的前几项，观察得出无穷数列 na呈周期性变化，即可求出2019a的值。-6-【详解】当3a 时，131aa，121313122aa，3231311aa，431312aa，无穷数列 na周期性变化，周期为 2，所以2019131aa。【点睛】本题主要考查学生的数学抽象能力，通过取整函数得到数列，观察数列的特征，求数列中的某项值。12.已知线段AB上有9个确定的点（包括端点A与B）.现对这些点进行往返标数（从ABAB进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）.如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n

10、的点称为点n），这样一直继续下去，直到1，2，3，2019都被标记到点上，则点2019上的所有标记的数中，最小的是_.【答案】3【解析】【分析】将线段上的点考虑为一圆周，所以共有 16 个位置，利用规则，可知标记 2019 的是1 2320192039190，2039190 除以 16 的余数为 6，即线段的第 6 个点标为 2019，则(1)6 161232k knk ，令0n，即可得3k。【详解】依照题意知，标有 2 的是 1+2，标有 3 的是 1+2+3，标有 2019 的是1+2+3+2019，将将线段上的点考虑为一圆周，所以共有 16 个位置，利用规则，可知标记 2019 的是1

11、2320192039190，2039190 除以 16 的余数为 6，即线段的第 6 个点标为 2019，(1)6 161232k knk ，令0n，(1)12k k，解得3k，故点2019上的所有标记的数中，最小的是 3.【点睛】本题主要考查利用合情推理，分析解决问题的能力。意在考查学生的逻辑推理能力，-7-二、选择题（二、选择题（2020 分）分）13.在数列 na中，已知31a，53a，79a 则 na一定（）A.是等差数列B.是等比数列C.不是等差数列D.不是等比数列【答案】C【解析】【分析】依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。【详解】因为532aa，756aa，7553aaaa，

12、所以 na一定不是等差数列，故选 C。【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。14.已知数列 na的前n项和214nnaS，那么（）A.此数列一定是等差数列B.此数列一定是等比数列C.此数列不是等差数列，就是等比数列D.以上说法都不正确【答案】D【解析】【分析】利用1112nnnSnaSSn即可求得：11a，当2n 时，1nnaa 或12nnaa，对n赋值 2,3，选择不同的递推关系可得数列：1，3,-3，问题得解.【详解】因为1112nnnSnaSSn，当1n 时，11214aa，解得11a，当2n 时，22111144nnnnnaaaSS，整理有，1120nnnnaaaa，所

13、以1nnaa 或12nnaa-8-若2n 时，满足12nnaa，3n 时，满足1nnaa，可得数列：1，3,-3，此数列既不是等差数列，也不是等比数列故选：D【点睛】本题主要考查利用nS与na的关系求na，以及等差等比数列的判定。15.数列 na的通项公式cos2nnan，其前n项和为nS，则2017S等于（）A.1006B.1008C.1006D.1008【答案】B【解析】【分析】依据cos2yx为周期函数，得到*4041()42()043()nnnk kNnkkNannkkNnkkN，并项求和，即可求出2017S的值。【详解】因为cos2yx为周期函数，周期为 4，所以*4041()42(

14、)043()nnnk kNnkkNannkkNnkkN，201724681012201420162017()()()()Saaaaaaaaa24(68)(10 12)(20142016)2 5041008，故选 B。【点睛】本题主要考查数列求和方法并项求和法的应用，以及三角函数的周期性，分论讨论思想，意在考查学生的推理论证和计算能力。16.设等比数列 na的公比为q，其n项的积为nT，并且满足条件11a，9910010aa，-9-99100101aa.给出下列结论：01q；9910110aa；100T的值是nT中最大的；使1nT 成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是（）A.B.C.D

15、.【答案】B【解析】【分析】首先转化题目条件，再依据等比数列的性质，逐一判断即可。【详解】由9910010aa，11a，得，9899111a qa q知，0q，所以0na。由99100101aa得，991001,1aa或991001,1aa，若991001,1aa，则100991aqa，而11a 则有991a与其矛盾，故只有991001,1aa，因此01q，即正确；因为10001a，299101100110aaa ，不正确；1009910099TTaT，不正确；99198123198991001aaaaaaT，1991219931199001aaaaTa，正确。综上，正确的结论是，故选 B。【

16、点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，记牢这些基本性质是解决问题的关键。三、解答题（三、解答题（7676 分）分）17.在ABC中，已知4a，5c，且6ABCS，求b.【答案】3或73【解析】【分析】首先根据三角形面积公式求出角 B 的正弦值，然后利用平方关系，求出余弦值，再依据余弦定理即可求出。【详解】由11sin4 5 sin622ABCSacBB 得，3sin5B，所以cos45B 或4cos5B ，由余弦定理有，2222cos162540cos4140cosbacacBBB，-10-故29b 或273b，即3b 或73b。【点睛】本题主要考三角形面积公式、同角三角函数基本关系的应用，以

17、及利用余弦定理解三角形。18.三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：（1）计算：cos2cos88sin47sin133,cos5cos85sin50sin130,cos12cos78sin57sin123；（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.【答案】（1）2，2，2；（2）cos45cos 1352sinsin 180.【解析】【分析】（1）依据诱导公式以及两角和的正弦公式即可计算出；（2）观察（1）中角度的关系，合情推理出一般结论，然后利用两角和的正弦公式即可证明

18、。【详解】（1）cos2cos88cos2sin22 sin45 cos2cos45 sin2)2sin472sin47sin133sin47sin47sin47sin47（同理可得，cos5cos85sin5cos52sin502sin50sin130sin50sin50，cos12cos78sin12cos122sin572sin57sin123sin57sin57。（2）由（1）知，可以猜出：cos45cos 1352sinsin 180。证明如下：cos45cos 135cos45sin45sinsin 180sinsin-11-2sin45cos45cos45sin45 2sin2s

19、insin。【点睛】本题主要考查学生合情推理论证能力，以及诱导公式和两角和的正弦公式的应用，意在考查学生的数学抽象素养和逻辑推理能力。19.已知集合,310Cx y xyxy，数列 na的首项13a，且当2n 时，点1,nnaaC，数列 nb满足11nnba.（1）试判断数列 nb是否是等差数列，并说明理由；（2）若lim1nnnstab,s tR，求ts的值.【答案】（1）是；（2）1ts.【解析】【分析】（1）依据题意，写出递推式，由等差数列得定义即可判断；（2）求出,nna b，利用极限知识，求出s，即可求得ts的值。【详解】（1）当2n 时，点1,nnaaC，所以11310nnnna

20、aaa，即1131nnnna aaa由11nnba得，当2n 时，111-1-111111nnnnnnnnnnaabbaaa aaa，将1131nnnna aaa代入，111-1-11-13111nnnnnnnnnnnnnnaaaabba aaaaaaa1112()2nnnnaaaa，故数列 nb是以12为公差的等差数列。（2）因为13a，所以111112ba，111(1)222nbnn ，-12-由11nnba得，21nan，2112nnststabnn，故lim1nnnstsab，1ts。【点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列极限的运算。20.已知数列 na的前n项和

21、nS，满足2nnnSabnN.（1）若nbn，求数列 na的通项公式；（2）在满足（1）的条件下，求数列nnab的前n项和nT的表达式；【答案】（1）12nna ；（2）111 222nn nn.【解析】【分析】（1）已知nS求na，利用1112nnnSnaSSn即可求出；（2）根据数列nnab通项公式特征，采取分组求和法和错位相减法求出nT【详解】（1）因为nbn，所以2nnSan，当1n 时，1121aa，所以11a ；当2n 时，111221221nnnnnnnSSaananaa，即121nnaa，1121nnaa，因为112a ，所以1121nnaa，112 2nna ，即12nna

22、，当1n 时，11a 也符合公式。综上，数列 na的通项公式为*12nnNan。（2）因为2nnnna bn，所以123(123)(22 23 22)nnTnn (1)2nn nD（12322 23 22nnDn）-13-由12322 23 22nnDn 得，2341222 23 22nnDn 两式作差得，23112(1 2)2222221 2nnnnnDnn ，即1(1)22nnDn，故1(1)(1)(1)2222nnnn nn nTDn。【点睛】本题主要考查求数列通项的方法公式法1112nnnSnaSSn和构造法的应用，以及数列的求和方法分组求和法和错位相减法的应用。21.将边长分别为1、

23、2、3、n、1n、nN的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均值为 f n.记数列 na满足11a，1,nnf nnaf an当 为奇数当 为偶数（1）求 f n的表达式；（2）写出2a，3a的值，并求数列 na的通项公式；（3）定义a badbcc d，记nnbas sR，且1120nnnnbbbb恒成立，求s的取值范围.【答案】（1）21f nn；（2）233,7aa，112124521nnannknnk，kN；（3）3s .-14-【解析】【分析】（1）根据题意，分别求出每一个阴影部

24、分图形的面积，即可得到前n个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列 na的通项公式；（3）先求出nb的表达式，再依题意得到12()0nnnbbb，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。【详解】（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：2221；第二个阴影部分图形面积是：2243；第三个阴影部分图形面积是：2265；所以第n个阴影部分图形面积是：22(2)(21)nn；故123212()21nnf nnn ；（2）由（1）知，21f nn，1,nnf nnaf an当 为奇数当 为偶数，所以2(1)3fa，32()(3)7af af，当*2()

25、nk kN时，(1)2(1)121nf nnan 当*21()nkkN时，1()(2(1)1)(23)2(23)145nnaffnafnnn，综上，数列 na的通项公式为112124521nnannknnk，kN。（3）由（2）知，112124521nsnbnsnkns nk ，kN，由题意可得，12()0nnnbbb恒成立，当1n 时，213()0b bb，即(3)(6)0s，所以3s ，当*2()nk kN时，4(1)521(23)0nsnsns ，即1 4sn，所以max(1 4)7sn，当*21()nkkN时，2(1)145(43)0nsnsns ，即1 2sn ，-15-所以max(1 2)7sn ，综上，3s 。【点睛】本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。