决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品专题16二次函数的存在性问题（解析版）（免费下载）.doc

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1、决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点如图1，设，当k为何值时，.如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由【答案】（1），D的坐标为；（2）；以A，F，O为顶点的三角形与相似，F点的坐标为或【解析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点；(2)由A、C、D三点的坐标求出，可得为直角三角形，若，则点

2、F为AD的中点，可求出k的值；由条件可判断，则，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，可分两种情况考虑：当或时，可分别求出点F的坐标【详解】(1)抛物线过点，解得：，抛物线解析式为；，顶点D的坐标为；(2)在中，为直角三角形，且，F为AD的中点，；在中，在中，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：当时，设直线BC的解析式为，解得：，直线BC的解析式为，直线OF的解析式为，设直线AD的解析式为，解得：，直线AD的解析式为，解得：，当时，直线OF的解析式为，解得：，综合以上可得F点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性

3、质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题【变式1-1】如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线与直线交于，两点（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由（3）点在轴上且位于点的左侧，若以，为顶点的三角形与相似，求点的坐标【答案】（1）；（2）存在，或，理由见解析；（3）或【解析】（1）将A、C的坐标代入求出a、c即可得到解析式；（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q、与A、

4、E，Q'与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出BAE=ABC=45°，设，由相似得到或，建立方程求解即可【详解】（1）将，代入得：，解得抛物线解析式为（2）存在，理由如下：联立和，解得或E点坐标为(4,-5)，如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，此时Q点与Q'点的坐标即为所求，设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，由QA=QE，Q'A= Q'E得：，解得，故Q点坐标为或（3），当时

5、，解得或3B点坐标为(3,0)，由直线可得AE与y轴的交点为(0,-1)，而A点坐标为(-1,0)BAE=45°设则，和相似 或，即或解得或，或【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键【变式1-2】如图，已知抛物线(m0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在

6、点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）点H的坐标为（1，）；（3）当m=时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与ACB相似. 【解析】分析：（1）把点（2，2）代入中，解出m的值即可得到抛物线的解析式；（2）由（1）中所得解析式求出点A、B、C的坐标，由题意可知，点A、B关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H，根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标；（3）由解析式可得点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下图，由图可知AC

7、B和ABM是钝角，因此存在两种可能性：当ACBABM，ACBMBA，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.详解：（1）把点（2，2）代入抛物线，得2=. 解得m=4. 抛物线的解析式为. （2）令，解得.则A（-2，0），B（4，0）. 对称轴x=-. 中当x=0时，y=2，点C的坐标为（0，2）.点A和点B关于抛物线的对称轴对称，连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH的值最小，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，直线BC的解析式为y=. 当x=1时，y=.点H的坐标为（1，）. （3）假设存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角

8、形与ACB相似.如下图，连接AC，BC，AM，BM，过点M作MNx轴于点N，由图易知，ACB和ABM为钝角，当ACBABM时，有=，即.A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，CAB=BAM=.MNx轴，BAM=AMN=45°，AN=MN. 可设M的坐标为：（x，-x-2）（x0），把点M的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=.化简整理得：x=2m，点M的坐标为：（2m，-2m-2）.AM=.，AC=，AB=m+2，.解得：m=.m0，m=. 当ACBMBA时，有=，即.CBA=BAM，ANM=BOC=，ANMBOC，=.BO=m，设ON=x，=，即MN=（x+2）.令M（

9、x，）（x0），把M点的坐标代入抛物线的解析式，得=.解得x=m+2.即M（m+2，）.，CB=，MN=，.化简整理，得16=0，显然不成立. 综上所述，当m=时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与ACB相似. 点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A、B是关于抛物线的对称轴对称的，连接BC与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道ACB和ABM为钝角，结合题意得到存在：当ACBABM，ACBMBA这两种可能情况”是解答第3小题的关键.【考点2】二次函数与直角三角形问题

10、【例2】如图，抛物线的顶点坐标为，图象与轴交于点，与轴交于、两点求抛物线的解析式；设抛物线对称轴与直线交于点，连接、，求的面积；点为直线上的任意一点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，问是否存在点使为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1) ;(2)2;(3)见解析.【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得A、B坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，利用对称轴可求得D点坐标，则可求得AD2、AC2和CD2，利用勾股定理的逆定理可判定ACD为直角三角形，则可求得其面积；（3）根据题意可分DFE=90°

11、和EDF=90°两种情况，当DFE=90°时，可知DFx轴，则可求得E点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E点坐标；当EDF=90°时，可求得直线AD解析式，联立直线AC和抛物线解析式可求得点E的横坐标，代入直线BC可求得点E的坐标【详解】解：抛物线的顶点坐标为，可设抛物线解析式为，把代入可得，解得，抛物线解析式为；在中，令可得，解得或，设直线解析式为，把代入得：，解得，直线解析式为，由可知抛物线的对称轴为，此时，是以为斜边的直角三角形，；由题意知轴，则，为直角三角形，分和两种情况，当时，即轴，则、的纵坐标相同，点纵坐标为，点在抛物线上，解得，即点的横坐标为，点在直线

12、上，当时，当时，点坐标为或；当时，直线解析式为，直线解析式为，直线与抛物线的交点即为点，联立直线与抛物线解析式有，解得或，当时，当时，点坐标为或，综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.【变式2-1】如图，经过轴上两点的抛物线（）交轴于点，设抛物线的顶点为，若以为直径的G经过点，求解下列问题：（1）用含的代数式表示出的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点，使为直角三角形？如能，求出点的坐标，若不能，请说明理由。【答案】（1）点的坐标为,点的坐标为；（2） 抛物线的解析式为；（3）满足

13、题意的点有三个：、和 【解析】【试题分析】（1）是顶点式，则顶点的坐标为,当x=0,则y=-3m,即点的坐标为；（2）连接CD 、 BC，过点作轴于，如图所示:根据直径所对的圆周角是直角，得 ,出现“一线三等角模型”，得 得： ，解得，则抛物线的解析式为.（3）分三种情况分类讨论： （图）显然与点重合，点坐标为 ；=（图）作轴于，轴于，根据两角对应相等，两三角形相似，得，则，由于点坐标，则，解得：由得坐标： ；=（图）延长交轴于，作轴于，轴于,同理可证：，则，即,得，点的坐标为，设所在的直线解析式为y=kx+b,用待定系数法，把M和D（1,4）代入得： 解得：则直线DM的解析式为 ,把代入得：

14、，解得，最后把代入 得,点的坐标为综上述，点有三个：、和 【试题解析】（1）y是顶点式点的坐标为当x=0时，y= -3m点的坐标为（2） 连接CD 、 BC，过点作轴于，如图所示：BD是G的直径DCB=ECD+BCO=ECD+EDC=BCO=EDCDEC=BOC= 抛物线的解析式为（3）能在抛物线上找到一点Q，使BDQ为直角三角形很明显，点即在抛物线上，又在G上，这时与点重合点坐标为 如图，若为，作轴于，轴于同理可证：点坐标化简得：,解得：（不合题意，舍去），由得坐标： 若为,如图，延长交轴于，作轴于，轴于,同理可证：则,得，点的坐标为设所在的直线解析式为y=kx+b,把M和D（1,4）代入得

15、： 解得：直线DM的解析式为 ,把代入得：解为：（不合题意，舍去），把代入 得,点的坐标为 综合上述，满足题意的点有三个：、和 【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题，涉及到顶点坐标，与坐标轴的交点，一线三等角证相似，并且多次运用相似三角形的对应边成比例，直角三角形的确定（3种情况分类讨论），难度较大.【变式2-2】已知抛物线与轴只有一个交点，且与轴交于点，如图，设它的顶点为B（1）求的值；（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：ABC是等腰直角三角形；（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图请在抛物线上求点P，使得是以EF为直角

16、边的直角三角形？【答案】（1）m = 2；（2）证明见解析；（3）满足条件的P点的坐标为（，）或（，）【解析】试题分析：（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可知的值为0，由此得到一个关于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；（2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标，根据A点在y轴上求出A点坐标，再求C点坐标，根据三个点的坐标得出ABC为等腰直角三角形；（3）根据抛物线解析式求出E、F的坐标，然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标试题解析：（1）抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，=（-2）2-4×1×（m-1）=0，解得，m=2；（2）由（1）知抛物线的解

17、析式为y=x2-2x+1=（x-1）2，易得顶点B（1，0），当x=0时，y=1，得A（0，1）由1=x2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1在RtCDB中，CBD=45°，BC=同理，在RtAOB中，AO=OB=1，于是ABO=45°，AB=ABC=180°-CBD-ABO=90°，AB=BC，因此ABC是等腰直角三角形；（3）由题知，抛物线C的解析式为y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3；当y=0时，x=-1或x=3，E（-1，0），F（0，-3），即OE=

18、1，OF=3第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1Mx轴于MP1EM+OEF=EFO+OEF=90°，P1EM=EFO，得RtEFORtP1EM，则，即EM=3P1MEM=x1+1，P1M=y1，x1+1=3y1由于P1（x1，y1）在抛物线C上，则有3（x12-2x1-3）=x1+1，整理得，3x12-7x1-10=0，解得，x1，或x2=-1（舍去）把x1代入中可解得，y1=P1（，）第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2Ny轴于N同第一种情况，易知RtEFORtFP2N，得，即P2N=3FNP2N=

19、x2，FN=3+y2，x2=3（3+y2）由于P2（x2，y2）在抛物线C上，则有x2=3（3+x22-2x2-3），整理得3x22-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2把x2代入中可解得，y2P2（，）综上所述，满足条件的P点的坐标为：（，）或（，）.【考点3】二次函数与等腰三角形问题【例3】如图，已知：二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（3，0），与y轴交于点C，点D（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点M，使ABM的面积等于ABC的面积，求M点坐标（4）抛物线的对称轴上

20、是否存在动点Q，使得BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）yx2+2x3；（2）；（3）点M的坐标为（1，3），（1+，3），（2，3）；（4）存在；点Q的坐标为（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【解析】（1）由点A，D的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，连接BD，交抛物线的对称轴于点P，由抛物线的对称性及两点之间线段最短可得出此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度，再由点B，D的坐标，利用两点间的距离公式可求出PA+PD的最小值；（3）利用二次函数图象上点的坐标特

21、征可求出点C的坐标，设点M的坐标为（x，x2+2x-3），由ABM的面积等于ABC的面积可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出点M的坐标；（4）设点Q的坐标为（-1，m），结合点B，C的坐标可得出CQ2，BQ2，BC2，分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三种情况，找出关于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出点Q的坐标【详解】解：（1）将A（3，0），D（2，3）代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线的表达式为yx2+2x3（2）当y0时，x2+2x30，解得：x13，x21，点B的坐标为（1，0）连接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示PAPB，此时PA+PD取最小值，最小

22、值为线段BD的长度点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（2，3），BD3，PA+PD的最小值为3（3）当x0时，yx2+2x33，点C的坐标为（0，3）设点M的坐标为（x，x2+2x3）SABMSABC，|x2+2x3|3，即x2+2x60或x2+2x0，解得：x11，x21+，x32，x40（舍去），点M的坐标为（1，3），（1+，3），（2，3）（4）设点Q的坐标为（1，m）点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），CQ2（10）2+m（3）2m2+6m+10，BQ2（11）2+（m0）2m2+4，BC2（01）2+（30）210分三种情况考虑（如图2所示）：当BQBC时，m2+41

23、0，解得：m1，m2，点Q1的坐标为（1，），点Q2的坐标为（1，）；当CQCB时，m2+6m+1010，解得：m30，m46，点Q3的坐标为（1，0），点Q4的坐标为（1，6）；当QBQC时，m2+4m2+6m+10，解得：m51，点Q5的坐标为（1，1）综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（1，），（1，），（1，0），（1，6），（1，1）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离公式、三角形的面积、等腰三角形的性质以及解一元二次（或一元一次）方程，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系

24、数法求出二次函数表达式；（2）利用两点之间线段最短，找出点P的位置；（3）利用两三角形面积相等，找出关于x的一元二次方程；（4）分BQ=BC，CQ=CB及QB=QC三种情况，找出关于m的方程【变式3-1】如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FCx轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使OCP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）C（4，3）；（3）P

25、（）或（）或（）或（）【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b的值，即可得解；（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；（3）设AC、EF的交点为D，根据点C的坐标写出点D的坐标，然后分O是顶角，C是顶角，P是顶角三种情况讨论试题解析：（1）把点A（1，0）和B（3，0）代入得，解得，所以，抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴为直线x=2，四边形OECF是平行四边形点C的横坐标是4，点C在抛物线上，点C的坐标为（4，3）；（3）点C的坐标为（4，3），OC的长为5，点O是顶

26、角顶点时，OP=OC=5，OE=2，所以，点P的坐标为（2，）或（2，-）；点C是顶角顶点时，CP=OC=5，同理求出PF=，所以，PE=，所以，点P的坐标为（2，）或（2， ）；点P是顶角顶点时，点P在OC上，不存在.综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（2，）或（2，-）或（2，）或（2， ），使OCP是等腰三角形考点：二次函数综合题【变式3-2】如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作直线轴于点，交直线于点.当时，求点坐标； 是否存在点使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】

27、（1）y=x2+4x+5；（2）P点坐标为（2，9）或（6，7）；（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标试题解析：（1）点B（4，m）在直线y=x+1上，m=4+1=5，B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得

28、，抛物线解析式为y=x2+4x+5；（2）设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，|x2+3x+4|=2|x+1|，当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=2，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P（2，9）；当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=6，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P（6，7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，7）；设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），BE=|x4|，CE=，BC=，当B

29、EC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则|x4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；当BE=BC时，则|x4|=，解得x=4+或x=4，此时P点坐标为（4+，48）或（4，48）；当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）考点：二次函数综合题【考点4】二次函数与平行四边形问题【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，），顶点为P（1）求抛物线

30、解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使ABP的面积等于ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积【答案】（1）y=x2+x（2）存在，（12，2）或（1+2，2）（3）点F的坐标为（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四边形的面积为 8【解析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（3，0），（1，0），（0，）代入求出a、b、c的值即可；（2）根据抛物线解析式可知顶点P的坐标，由两个三角形的底相同可得要使两个三角形面积相

31、等则高相等，根据P点坐标可知E点纵坐标，代入解析式求出x的值即可；（3）分别讨论AB为边、AB为对角线两种情况求出F点坐标并求出面积即可；【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（3，0），（1，0），（0，）代入抛物线解析式得，解得：a=，b=1，c=抛物线解析式：y=x2+x（2）存在y=x2+x=（x+1）22P点坐标为（1，2）ABP的面积等于ABE的面积，点E到AB的距离等于2，设E（a，2），a2+a=2解得a1=12，a2=1+2符合条件的点E的坐标为（12，2）或（1+2，2）（3）点A（3，0），点B（1，0），AB=4若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边

32、形为平行四边形ABPF，AB=PF=4点P坐标（1，2）点F坐标为（3，2），（5，2）平行四边形的面积=4×2=8若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形AB与PF互相平分设点F（x，y）且点A（3，0），点B（1，0），点P（1，2） ，x=1，y=2点F（1，2）平行四边形的面积=×4×4=8综上所述：点F的坐标为（1，2）、（3，2）、（5，2），且平行四边形的面积为8【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的几何应用，分类讨论并熟练掌握数形结合的数学思想方法是解题关键.【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23

33、x2+bx+c，经过A（0，4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2-x1|=5（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由【答案】（1）b=-143，c=-4；（2）D（-72，256）；（3）存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形，不能为正方形【解析】试题分析：（1）把A（0，4）代入可求c，运用根与系数的关系及|x2-x1|=5，可求出b；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的

34、另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可试题解析：（1）抛物线y=-23x2+bx+c，经过点A（0，4），c=4，又由题意可知，x1、x2是方程-23x2+bx-4=0的两个根，x1+x2=32b，x1x2=6，由已知得(x2-x1)2=25，x12+x22-2x1x2=25，(x1+x2)2-4x1x2=25，94b2-24=25，解得：b=±143，当b=143时，抛物线与x轴的交

35、点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=-143；（2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又y=-23x2-143x-4=-23(x+72)2+256，抛物线的顶点（-72，256）即为所求的点D；（3）四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=3与抛物线y=-23x2-143x-4的交点，当x=3时，y=-23×(-3)2-143×(-3)-4=4，在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只

36、能是（3，3），但这一点不在抛物线上考点：1二次函数综合题；2探究型；3存在型；4压轴题【变式4-2】如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)在轴上存在一点，连接，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；在的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.【答案】(1) y=x22x+4；(2) G（2，4）；(3)E（2，0）H（0，1）；【解析】试题分析:（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB

37、的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（3）先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；先取EG的中点P进而判断出PEMMEA即可得出PM=AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论试题解析：（1）点A（4，4），B（0，4）在抛物线y=x2+bx+c上，抛物线的解析式为y=x22x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），G（m，m22m+4），四边形GEOB是平行四边形，EG=OB=4，m22m+42m4=4，m=2，G（2，4）；（3）如

38、图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，设E（a，2a+4），直线AC：y=x6，F（a，a6），设H（0，p），以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=x6，ABAC，EF为对角线，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，P=1，E（2，0）H（0，1）；如图2，由知，E（2，0），H（0，1），A（4，4），EH=，AE=2，设AE交E于G，取EG的中点P，PE=，连接PC交E于M，连接EM，EM=EH=，=，=，PEM=MEA，PEMMEA，PM=AM，AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），E（2，

39、0），PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，PE=，5（p+2）2=，p=或p=（由于E（2，0），所以舍去），P（，1），C（0，6），PC=，即：AM+CM=考点：二次函数综合题【达标训练】一、单选题1将抛物线y=2x21向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ ）A个单位 B1个单位 C个单位 D个单位【答案】A【解析】试题分析设抛物线向上平移a（a1）个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，且这些交点能构成直角三角形，则有平移后抛物线的解析式为：y=2x21+a，AM=a，抛物线y=2x21与y轴的交点M为（0，1），

40、即OM=1，OA=AMOM=a1，令y=2x21+a中y=0，得到2x21+a=0，解得：x=±，B（，0），C（，0），即BC=2，又ABC为直角三角形，且B和C关于y轴对称，即O为BC的中点，AO=BC，即a1=，两边平方得：（a1）2=，a10，a1=，解得：a=故选A【考点】二次函数图象与几何变换2如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，则的值为（ ）A或B或C或D或【答案】B【解析】作中垂线交抛物线于，（在左侧），交轴于点;连接P1D,P2D.易得 ，将代入中得，故选B.当PCD是以CD为底的等腰三角形时,则P点在线段CD的垂直平分线上,由C

41、、D坐标可求得线段CD中点的坐标,从而可以知道P点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标.二、填空题3如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点是抛物线上一点，过作轴，垂足为如果以，为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是_【答案】，【解析】根据抛物线的解析式，易求得A（-1，0），D（1，0），C（0，-1）；则ACD是等腰直角三角形，由于APDC，可知BAC=90°；根据D、C的坐标，用待定系数法可求出直线DC的解析式，而ABDC，则直线AB与DC的斜率相同，再加上A点的坐标，即可求出直线AB的解析式，联立直线AB和抛物线的解析式，可求出B点的坐标，即可得出AB、AC的长在RtA

42、BC和RtAMG中，已知了BAC=AGM=90°，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标【详解】易知：A(1,0),D(1,0),C(0,1) ；则OA=OD=OC=1 ，ADC 是等腰直角三角形，ACD=90 ° ,AC=  ；又AB DC ，BAC=90 ° ；易知直线BD 的解析式为y=x1 ，由于直线AB DC, 可设直线AB 的解析式为y=x+b, 由于直线AB

43、0;过点A(1,0) ；则直线AB 的解析式为：y=x+1 ，联立抛物线的解析式：  ，解得 ,；故B(2,3) ；AP=3  ；RtBAC 和RtAMG 中,AGM=PAC=90 ° , 且BA:AC=3 :  =3:1 ；若以A. M 、G 三点为顶点的三角形与BCA 相似，则AG:MG=1:3 或3:1 ；设M 点坐标为(m,m 2

44、 1),(m<1 或m>1) 则有：MG=m 2 1 ，AG=|m+1| ；当AM:MG=1:3 时,m 2 1=3|m+1|,m 2 1=±(3m+3) ；当m 2 1=3m+3 时,m 2 3m4=0, 解得m=1( 舍去) ，m=4 ；当m 2 1=3m3 时,m 2 +3m+2=0, 解得

45、m=1( 舍去) ，m=2 ；M 1 (4,15),M 2 (2,3) ；当AM:MG=3:1 时,3(m 2 1)=|m+1|,3m 2 3=±(m+1) ；当3m 2 3=m+1 时,3m 2 m4=0, 解得m=1( 舍去),m=  ；当3m 2 3=m1 时,3m 2 +m2=0, 解得m=1( 舍