最新2018年中考数学复习方法技巧九大专题：2018年中考数学复习方法技巧专题五：转化思想解析（免费下载）.doc

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1、方法技巧专题五转化思想训练转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等 转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，

2、来获得解决问题的转机。一、由未知转化为已知：【例题】（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=1，那么（1+i）（1i）=2【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算【分析】根据定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：原式=1i2=1（1）=2故答案为：2【同步训练】（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：ab=2ab例如：52=2×52=8，（3）4=2×（3）4=10（1）若3x=2011，求x的值；（2）若x35，求x的取值范围【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程【分

3、析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得【解答】解：（1）根据题意，得：2×3x=2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x35，解得：x4二、部分到整体转化【例题】2017.江苏宿迁）若ab=2，则代数式5+2a2b的值是9【考点】33：代数式求值【分析】原式后两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：ab=2，原式=5+2（ab）=5+4=9，故答案为：9【同步训练】（2017湖北江汉）已知2a3b=7，则8+6b4a=6【考点】33：代数式求值【分析】先变形，再整体代入求出即可【解答】解：2

4、a3b=7，8+6b4a=82（2a3b）=82×7=6，故答案为：6三、复杂问题转化为简单问题【例题】（2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，4，9，16，25，则第11个数是（）A121B100C100D121【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】根据已知数据得出规律，再求出即可【解答】解：0=（11）2，1=（21）2，4=（31）2，9=（41）2，16=（51）2，第11个数是（111）2=100，故选B【同步训练】（2017贵州）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和（a+

5、b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A2017B2016C191D190【考点】4C：完全平方公式【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+（n2）+（n1），（a+b）20第三项系数为1+2+3+20=190，故选 D四、高次转化为低次【例题】把一元二次方程（x+1）（1x）=2x化成二次项系数

6、大于零的一般式为x2+2x1=0，其中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是1一元二次方程x2=2x的解为：x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的一般形式【专题】计算题【分析】先利用平方差公式把方程（x+1）（1x）=2x左边展开，再移项得到 x2+2x1=0，然后写出二次项系数、一次项系数、常数项；利用因式分解法解方程x2=2x【解答】解：一元二次方程（x+1）（1x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为 x2+2x1=0，其中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是1x22x=0，x（x2）=0，x=0或x2=0，所以x1=0，x2=2故答案为 x2+2x1

7、=0，1，2，1，x1=0，x2=2【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）【同步训练】解下列方程：（1）x29=0 （2）（x1）（x+2）=6【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法【分析】（1）根据直接开平方法求解即可；（2）先去括号，再用公式法求解即可【解答】解：（1）x2=9，x=±3，x1=3，x2=3；（2）x2+x8=0

8、，a=1，b=1，c=8，=b24ac=1+32=330，方程有两个不相等的实数根，x=，x1=，x2=【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法五、实际问题转化为数学问题【例题】（2017山东聊城）在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少

9、万元？（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设该型号的学生用电脑的单价为x万元，教师用笔记本电脑的单价为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可得到结果；（2）设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（m90）台，根据“两种电脑的总费用不超过预算438万元”列出不等式，求出不等式的解集【解答】解：（1）设该型号的学生用电脑的单价为x万元

10、，教师用笔记本电脑的单价为y万元，依题意得：，解得，经检验，方程组的解符合题意答：该型号的学生用电脑的单价为0.19万元，教师用笔记本电脑的单价为0.3万元；（2）设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（m90）台，依题意得：0.19m+0.3×（m90）438，解得m1860所以m90=×186090=282（台）答：能购进的学生用电脑1860台，则能购进的教师用笔记本电脑为282台【同步训练】（2017四川南充）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元

11、，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）可设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，根据等量关系：1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；（2）由于求最节省的租车费用，可知租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆，进而求解即可【解答】解：（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元

12、，依题意有，解得故1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；（2）租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆是最节省的租车费用，400×6+280×2=2400+560=2960（元）答：最节省的租车费用是2960元六、一般转化为特殊【例题】（2017齐齐哈尔）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是10cm，2cm，4cm【考点】PC：图形的剪拼【分析】利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长【解答】解：

13、如图：，过点A作ADBC于点D，ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=DC=6cm，AD=8cm，如图所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，如图所示：AD=8cm，连接BC，过点C作CEBD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm，则BC=4cm，如图所示：BD=6cm，由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，故AC=2cm，故答案为：10cm，2cm，4cm【同步训练】（2017浙江湖州）如图，已知在RtABC中，C=90°，AC=BC，AB=6，点P是RtABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A1BCD2【考点】K5：三

14、角形的重心；KW：等腰直角三角形【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，P是RtABC的重心，CD是ABC的中线，PD=CD，C=90°，CD=AB=3，AC=BC，CD是ABC的中线，CDAB，PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A七、数与形的转化【例题】(2017湖北咸宁)小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x1|的图象与性质进行了探究下面是小慧的探究过程，请补充完整：（1）函数y=|x1|的自变量x的取值范围是任意实数；（2）列表，找出y与x

15、的几组对应值x10123yb1012其中，b=2；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）写出该函数的一条性质：函数的最小值为0（答案不唯一）【考点】F5：一次函数的性质；F3：一次函数的图象【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；（2）把x=1代入函数解析式，求出y的值即可；（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（4）根据函数图象即可得出结论【解答】解：（1）x无论为何值，函数均有意义，x为任意实数故答案为：任意实数；（2）当x=1时，y=|11|=2，b=2故答案为：2；（3）如图所示；（4）由函数图象可知，函数的最小值为0故答案

16、为：函数的最小值为0（答案不唯一）【同步训练】（2017新疆）某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系（1）活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为2小时，他从活动中心返家时，步行用了0.4小时；（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）

17、之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由【考点】FH：一次函数的应用【分析】（1）根据点A、B坐标结合时间=路程÷速度，即可得出结论；（2）根据离家距离=22速度×时间，即可得出y与x之间的函数关系式；（3）由小宇步行的时间等于爸爸开车接到小宇的时间结合往返时间相同，即可求出小宇从活动中心返家所用时间，将其与1比较后即可得出结论【解答】解：（1）点A的坐标为（1，22），点B的坐标为（3，22），活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为31=2小时（2220）÷

18、5=0.4（小时）故答案为：22；2；0.4（2）根据题意得：y=225（x3）=5x+37（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），0.81，所用小宇12：00前能到家【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据离家距离=22速度×时间，找出y与x之间的函数关系式；（3）由爸爸开车的速度不变，求出小宇从活动中心返家所用时间【达标检测】1. 已知x2+x1=0，则3x2+3x9=6【考点】代数式求值【专题】计算题【分析】已知等式变形求出x2+x的值，原式变形后把x2+x的值代入计算即可求出值【解答】解：由x2+x1=

19、0，得到x2+x=1，则原式=3（x2+x）9=39=6故答案为：6【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键2. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x27x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为5【考点】矩形的性质；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理【专题】压轴题【分析】首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长【解答】解：方程x27x+12=0，即（x3）（x4）=0，则x3=0，x4=0，解得：x1=3，x2=4则矩形ABCD的对角线长是： =5故答案是：5【点评】本题考查了一元二次方程的解法以及矩形的性质，

20、正确解方程求得矩形的边长是关键解一元二次方程的基本思想是降次3. 解方程：x21=2（x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】首先把x21化为（x+1）（x1），然后提取公因式（x+1），进而求出方程的解【解答】解：x21=2（x+1），（x+1）（x1）=2（x+1），（x+1）（x3）=0，x1=1，x2=3【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是提取公因式（x+1），此题难度不大4. （2017山东泰安）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每

21、千克16元（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出等式求出答案；（2）根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案【解答】解：（1）设小樱桃的

22、进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：，解得：，小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，200×（4030）+（1610）=3200（元），销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）设大樱桃的售价为a元/千克，（120%）×200×16+200a80003200×90%，解得：a41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克5. （2017益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（3，5）与（5，3）是一对“互换点”（1）任意一对“互换点”能否都

23、在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，当ab0时，由b=ka可得a=kb，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可

24、得到结论；（3）设点A（p，q），则q=-2p，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，当ab0时，由b=ka可得a=kb，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数y=kx（k0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c0）则有&mc+d=n&nc+d=m解得&c=-1&d=m+n，直线MN的表达式为y=x+m+n；（3）设点A

25、（p，q），则q=-2p，直线AB经过点P（，），由（2）得12=-12+p+q，p+q=1，p-2p=1，解并检验得：p=2或p=1，q=1或q=2，这一对“互换点”是（2，1）和（1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，&1-b+c=2&4+2b+c=-1解得&b=-2&c=-1，此抛物线的表达式为y=x22x1【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键6. （2017甘肃天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买

26、A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需40

27、0万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得，答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10a）辆，由题意得，解得：a，因为a是整数，所以a=6，7，8；则（10a）=4，3，2；三种方案：购买A型公交车6辆，则B型公交

28、车4辆：100×6+150×4=1200万元；购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元7. （2017四川南充）如图，等边OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A（1，1）B（，1）C（，）D（1，）【考点】KK：等边三角形的性质；D5：坐标与图形性质；KQ：勾股定理【分析】先过B作BCAO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B

29、的坐标【解答】解：如图所示，过B作BCAO于C，则AOB是等边三角形，OC=AO=1，RtBOC中，BC=，B（1，），故选：D8. （2017山东烟台）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度20时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到4时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至20时，制冷再次停止，按照以上方式循环进行同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（）随时间x（min）的变化情况，制成下表： 时间x/min 4 810162021222324283036404244 温度y/20108 54812162010

30、 854 a20（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数当4x20时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=；当20x24时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=4x+76；（2）a的值为12；（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4x44时温度y随时间x变化的函数图象【考点】FH：一次函数的应用【分析】（1）由xy=80，即可得出当4x20时，y关于x的函数解析式；根据点（20，4）、（21，8），利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再代入其它点的坐标验证即可；（2）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a值；

31、（3）描点、连线，画出函数图象即可【解答】解：（1）4×（20）=80，8×（10）=80，10×（8）=80，16×（5）=80，20×（4）=80，当4x20时，y=故答案为：y=当20x24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（20，4）、（21，8）代入y=kx+b中，解得：，此时y=4x+76当x=22时，y=4x+76=12，当x=23时，y=4x+76=16，当x=24时，y=4x+76=20当20x24时，y=4x+76故答案为：y=4x+76（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，当x=42时，与x=22时，y值相同，a=12故答案为：12（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示