电动力学零二数学准备精选PPT.ppt

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1、电动力学零二数学准备1第1页，此课件共38页哦在一般曲线正交坐标系中，空间一点在一般曲线正交坐标系中，空间一点P的位置，用三个坐标表示的位置，用三个坐标表示5.曲线正交坐标系曲线正交坐标系沿这些坐标增加方向的单位矢量沿这些坐标增加方向的单位矢量单位矢量按一定规则改单位矢量按一定规则改变方向变方向2第2页，此课件共38页哦以极坐标为例以极坐标为例3第3页，此课件共38页哦在在P点上任一矢量可以写为点上任一矢量可以写为沿这三个方向的线元沿这三个方向的线元4第4页，此课件共38页哦在曲线正交坐标系中有一般公式在曲线正交坐标系中有一般公式5第5页，此课件共38页哦6第6页，此课件共38页哦常用的曲线正

2、交坐标系：常用的曲线正交坐标系：（1）柱坐标系）柱坐标系7第7页，此课件共38页哦8第8页，此课件共38页哦（2）球坐标系）球坐标系9第9页，此课件共38页哦10第10页，此课件共38页哦6.轴对称情形下拉普拉斯方程的通解轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 在轴对称情形下，拉普拉斯在轴对称情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为方程用球坐标表示为11第11页，此课件共38页哦用分离变量法解此方程。设用分离变量法解此方程。设此式左边为此式左边为r的函数，右边为的函数，右边为的函数，只有的函数，只有当它们都等于常数时才有可能相等。当它们都等于常数时才有可能相等。12第12页，此课件共38页哦令此常数为令此常

3、数为n(n+1),则得两个方程：则得两个方程：13第13页，此课件共38页哦容易求出解容易求出解为任意常数，由边界为任意常数，由边界条件确定条件确定14第14页，此课件共38页哦作代换变换角度方程作代换变换角度方程15第15页，此课件共38页哦上式称为勒让德方程，只有当上式称为勒让德方程，只有当n为整数时才为整数时才存在存在-1 1区间的有限解，其解称为勒让德区间的有限解，其解称为勒让德多项式，记为多项式，记为得通解得通解16第16页，此课件共38页哦用简单方法求出用简单方法求出Pn(cos)的显示式的显示式:当当r0时点电荷电势为拉普拉斯方程的解。时点电荷电势为拉普拉斯方程的解。将下式描述的

4、电势代入即可验证将下式描述的电势代入即可验证17第17页，此课件共38页哦对拉普拉斯方程作用算符对拉普拉斯方程作用算符为一解为一解,若若亦为一解亦为一解亦为解亦为解18第18页，此课件共38页哦因此，拉普拉斯方程具有特解因此，拉普拉斯方程具有特解这些特解都具有形式这些特解都具有形式19第19页，此课件共38页哦比较并按习惯定义所选的常数因子，得比较并按习惯定义所选的常数因子，得20第20页，此课件共38页哦可以证明可以证明Pn(cos)的一般表达式为的一般表达式为21第21页，此课件共38页哦7.并矢和张量并矢和张量一般一般,两矢量两矢量ab并列即为并矢并列即为并矢并矢是张量的一种特殊情形，为

5、什么引入并矢并矢是张量的一种特殊情形，为什么引入并矢?即为并矢即为并矢一变形物体在外力作用下其各部一变形物体在外力作用下其各部分有内力相互作用。为研究其内分有内力相互作用。为研究其内力，将变形物体沿某个截面切开，力，将变形物体沿某个截面切开，切面的法向单位为切面的法向单位为n。在截面上某。在截面上某一点单位面积上作用的力矢量为一点单位面积上作用的力矢量为f。f 对截面的拉伸：对截面的拉伸：22第22页，此课件共38页哦并矢：两矢量并列，不做任何运算并矢：两矢量并列，不做任何运算 有有9个分量个分量23第23页，此课件共38页哦以动量流密度以动量流密度T 来说明张来说明张量的意义量的意义设设AB

6、C为一面元为一面元 S，这，这面元的三个分量分别等于面元的三个分量分别等于OBC，OCA和和OAB的的面积。面积。OABC是一个体是一个体积元积元 V。24第24页，此课件共38页哦通过界面通过界面OBC单位面积单位面积流入体内的动量三个流入体内的动量三个分量为分量为T11，T21 ，T31 通过界面通过界面OCA单位面积单位面积流入体内的动流入体内的动量三个分量为量三个分量为T12，T22，T32通过界面通过界面OAB单位面积单位面积流入体内的动量流入体内的动量三个分量为三个分量为T13，T23 ，T3325第25页，此课件共38页哦当体积当体积 V 0时，通过这三时，通过这三个面流入体内的

7、动量等于从个面流入体内的动量等于从面元面元ABC流出的动量。因此，流出的动量。因此，通过通过ABC面流出的动量各面流出的动量各分量为分量为26第26页，此课件共38页哦写成矢量形式为写成矢量形式为这就是通过面元这就是通过面元 s 流出的动量。流出的动量。则通过闭合曲面则通过闭合曲面内流出的总动量内流出的总动量为为张量张量T 的分量的分量Tij的意义的意义：通过通过 垂直于垂直于 j 轴的单位面积轴的单位面积流过的流过的 动量动量 i 分量分量。27第27页，此课件共38页哦单位面积内力矢量单位面积内力矢量28第28页，此课件共38页哦张量是具有张量是具有9个个分量的物理量分量的物理量当这当这9

8、个分量在坐标系转动下按一定方式变个分量在坐标系转动下按一定方式变换时，由它们组成的物理量就称为张量。换时，由它们组成的物理量就称为张量。并矢是张量的一种特殊情形。并矢是张量的一种特殊情形。29第29页，此课件共38页哦可参考可参考平面向量平面向量(二维二维,2个分量个分量)的旋转变换的旋转变换空间向量空间向量(三维三维,3个分量个分量)的旋转变换的旋转变换30第30页，此课件共38页哦Ox与与Ox轴、轴、Oy轴、轴、Oz轴夹角轴夹角 1、1、1Oy与与Ox轴、轴、Oy轴、轴、Oz轴夹角轴夹角 2、2、2Oz与与Ox轴、轴、Oy轴、轴、Oz轴夹角轴夹角 3、3、331第31页，此课件共38页哦一

9、般张量可以写为一般张量可以写为（i,j=1，2，3)三个对角分量为三个对角分量为1，其它分量为，其它分量为0。单位张量单位张量32第32页，此课件共38页哦可以作为张量的可以作为张量的9个基个基直角坐标系的直角坐标系的单位基矢单位基矢是在这是在这9个基上的分量个基上的分量33第33页，此课件共38页哦并矢与矢量的点乘是一个矢量。并矢与矢量的点乘是一个矢量。（2）张量的代数运算）张量的代数运算 并矢与矢量的点乘规则：并矢与矢量的点乘规则：一般而言一般而言34第34页，此课件共38页哦张量和矢量的点乘张量和矢量的点乘单位张量和任意矢量的点乘等于该矢量单位张量和任意矢量的点乘等于该矢量35第35页，此课件共38页哦两并矢的双点乘两并矢的双点乘:两两缩并两两缩并36第36页，此课件共38页哦（3）张量分析）张量分析37第37页，此课件共38页哦关于张量和并矢有积分变换式关于张量和并矢有积分变换式38第38页，此课件共38页哦