初中数学锐角三角形讲解精.ppt

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1、第1页，本讲稿共25页中考要求中考要求1）基本概念：包括直角三角形的基本元素，边角关）基本概念：包括直角三角形的基本元素，边角关系，锐角三角函数等系，锐角三角函数等2）基本计算：包括对角的计算，对边的计算）基本计算：包括对角的计算，对边的计算，应用某种关系计算等。，应用某种关系计算等。3）基本应用：主要题型是：测量，航海，坡面改造，）基本应用：主要题型是：测量，航海，坡面改造，光学，修筑公路等其主要思想方法是：方程思想，光学，修筑公路等其主要思想方法是：方程思想，数形结合，化归转化，数学建模等。数形结合，化归转化，数学建模等。第2页，本讲稿共25页sin A=cos A=tan A=cot A

2、=知识 概要（一）锐角三角函数的概念（一）锐角三角函数的概念分别叫做锐角分别叫做锐角A的的正弦、正弦、余弦、正切、余弦、正切、余切余切，统称为，统称为锐角锐角A的三的三角函数角函数.0sin A1，0cos A1 这些这些函数值之间函数值之间有什么关系有什么关系？第3页，本讲稿共25页（二）同角三角函数之间的关系（二）同角三角函数之间的关系sinA+cosA=1tanA=sinA/cosAtanA cotA=1（三）互余两角三角函数之间的关系（三）互余两角三角函数之间的关系sin A=cos（90-A）tan A=cotA（90-A）第4页，本讲稿共25页知识 概要（四）三角函数值的变化规律（

3、四）三角函数值的变化规律1）当角度在）当角度在0-90之间变化时，正弦值（正切值）随着之间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（角度的增大（或减小或减小）而增大（）而增大（或减小或减小）2）当角度在）当角度在0-90之间变化时，余弦值（余切值）随着角之间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（度的增大（或减小或减小）而减小（）而减小（或增大或增大）第5页，本讲稿共25页11角度角度逐渐逐渐增大增大正弦值如正弦值如何变化何变化?正弦正弦值也值也增大增大余弦值余弦值如何变如何变化化?余弦值逐渐减小正切值正切值如何变如何变化化?正切正切值也值也随之随之增大增大余切值余切值如何变如何变化化?余切余切

4、值逐值逐渐减渐减小小cottancossin6 045 3 0角 度三角函数09001001不存在不存在0（五）特殊的三角函数值（五）特殊的三角函数值知识 概要第6页，本讲稿共25页知识 概要 填空：比较大小填空：比较大小68sin3）（第7页，本讲稿共25页知识 概要（六）解直角三角形（六）解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。未知元素的过程，叫做解直角三角形。若直角三角形若直角三角形ABC中，中，C=90，那么，那么 A，B，C，a,b,c中中除除 C=90外，其余外，其余5个元素之间有如下关系

5、：个元素之间有如下关系：1）a+b=c2）A+B=90 3）b ba aACACBCBCA A的邻边的邻边A A的对边的对边tanAtanA=只要知道其中只要知道其中2个元素个元素（至少要有一个是边）就（至少要有一个是边）就可求出其余可求出其余3个未知数个未知数第8页，本讲稿共25页1）仰角和俯角）仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.知识 概要（七）应用问题中的几个重要概念（七）应用问题中的几个重要概念第9页，本讲稿共25页以正南或正北方向为准，正南或正北方向以正南或正北

6、方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于线与目标方向线构成的小于900的角的角,叫做方叫做方向角向角.如图所示：如图所示：3045BOA东东西西北北南南2）方向角）方向角4545西南西南O东北东北东东西西北北南南西北西北东南东南第10页，本讲稿共25页坡度通常写成坡度通常写成1 m的形式，如的形式，如i=1 6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有有i =tan a显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.在在修修路路、挖挖河河、开开渠渠和和筑筑坝坝时时，设设计计图图纸纸上上都都要要注注明明斜斜坡坡的的倾斜程度倾斜

7、程度.如图如图:坡面的铅垂高度（坡面的铅垂高度（h）和水平长度（）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作记作i,即即 I=.3）坡度（坡比）坡度（坡比）,坡角的概念坡角的概念第11页，本讲稿共25页 考点范例解析考点范例解析考点范例解析考点范例解析1.1.锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念关系1）在）在Rt ABC中，中，C=90BC=a，AC=b若若sinA sinB=2 3，求，求a b的值的值锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念解法解法1 设设AB=c由三角函数的定义得：由三角函数的定义得：sinA sinB=a/c b/c=a b a b=2/

8、3解法解法2 由三角函数的定义得：由三角函数的定义得：a=csinA,b=csinB,a/b=csinA/csinB a b=sinA/sinB=2/3抓住三角函数的定义是解题的关抓住三角函数的定义是解题的关键键第12页，本讲稿共25页 考点范例解析考点范例解析考点范例解析考点范例解析1.1.锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念2 在在 ABC中中 A B，C=90则下列结论正确则下列结论正确的是（的是（）(1)sinAsinB(2)sinA+sinB=1(3)sinA=sinB(4)若各边长都扩大为原来的若各边长都扩大为原来的2倍，则倍，则tanA

9、也扩也扩大为原来的大为原来的2倍倍A)(1)(3)B)(2)C)(2)(4)D)(1)(2)(3)解析：令解析：令a=3,b=4则则c=5,sinA=3/5,sinB=4/5且且 A B，易知，易知（1）（）（3）都不对，故选）都不对，故选 B）用构造特殊的直角三角形来否定某些关系式，用构造特殊的直角三角形来否定某些关系式，是解决选择题的常用方法是解决选择题的常用方法第13页，本讲稿共25页 考点范例解析考点范例解析考点范例解析考点范例解析1.1.锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念关系特殊角的特殊角的三角函数值三角函数值2.2.求特殊角的求特殊角的三角函数值三角函数值A）锐角三角形）锐角

10、三角形B）直角三角形）直角三角形D）钝角三角形）钝角三角形C）等边三角形）等边三角形C第14页，本讲稿共25页 考点范例解析考点范例解析考点范例解析考点范例解析1.1.锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念关系特殊角的特殊角的三角函数值三角函数值2.2.求特殊角的求特殊角的三角函数值三角函数值点评点评 融特殊角的三角函数值，简单的无融特殊角的三角函数值，简单的无理方程的计算以及数的零次幂的意义于一理方程的计算以及数的零次幂的意义于一体是中考命题率极高的题型之一体是中考命题率极高的题型之一第15页，本讲稿共25页 考点范例解析考点范例解析考点范例解析考点范例解析1.1.锐角三角函数的概念关系锐

11、角三角函数的概念关系2.2.求特殊角的求特殊角的三角函数值三角函数值3.3.互余或同角的三角函数关系互余或同角的三角函数关系互余或同角的三角函数互余或同角的三角函数5.下列式中不正确的是（下列式中不正确的是（）C点评点评：应用互余的三角函数关系进行：应用互余的三角函数关系进行正弦与余弦的互化，并了解同一个锐正弦与余弦的互化，并了解同一个锐角的三角函数关系，能运用其关系进角的三角函数关系，能运用其关系进行简单的转化运算，才能解决这类问行简单的转化运算，才能解决这类问题。题。第16页，本讲稿共25页 考点范例解析考点范例解析考点范例解析考点范例解析1.1.锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念关

12、系2.2.求特殊角的求特殊角的三角函数值三角函数值3.3.互余或同角的三角函数关系互余或同角的三角函数关系互余或同角的三角函数互余或同角的三角函数6 在在 ABC中中 C=90化简下面的式子化简下面的式子7 在在 ABC中中 C=90且且求求cosA的值的值点评：利用互余或同角的三角函数关系点评：利用互余或同角的三角函数关系的相关结论是解决这类问题的关键的相关结论是解决这类问题的关键第17页，本讲稿共25页 考点范例解析考点范例解析考点范例解析考点范例解析1.1.锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念关系2.2.求特殊角的求特殊角的三角函数值三角函数值3.3.互余或同角的三角函数关系互余或同

13、角的三角函数关系4.解直角三角形解直角三角形解直角三角形解直角三角形点评点评：由于三角函数是边之间的：由于三角函数是边之间的比，因此利用我们熟知的按比例比，因此利用我们熟知的按比例设为参数比的形式来求解，是处设为参数比的形式来求解，是处理直角三角形问题的常用方法。理直角三角形问题的常用方法。第18页，本讲稿共25页 考点范例解析考点范例解析考点范例解析考点范例解析1.1.锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念关系2.2.求特殊角的求特殊角的三角函数值三角函数值3.3.互余或同角的三角函数关系互余或同角的三角函数关系4.解直角三角形解直角三角形解直角三角形解直角三角形ABC8.如图小正方形的边

14、长为如图小正方形的边长为1，连结小，连结小正方形的三个顶点得到正方形的三个顶点得到 ABC，则，则AC边上是的高（边上是的高（）点评点评：作：作BC边上的高，利用面积边上的高，利用面积公式即可求出公式即可求出AC边的高，边的高，面积法面积法是解决此类问题的有效途径是解决此类问题的有效途径第19页，本讲稿共25页 考点范例解析考点范例解析考点范例解析考点范例解析1.1.锐角三角函数的概念关系锐角三角函数的概念关系2.2.求特殊角的求特殊角的三角函数值三角函数值3.3.互余或同角的三角函数关系互余或同角的三角函数关系4.解直角三角形解直角三角形5.解直角三角形的应用解直角三角形的应用解直角三角形的

15、应用解直角三角形的应用9.如图如图某人站在楼顶观测对面的笔直的某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆旗杆AB，已知观测点，已知观测点C到旗杆的距离到旗杆的距离（即（即CE的长）为的长）为8米，测得旗杆顶米，测得旗杆顶 的的仰角仰角ECA为为30旗杆底部的俯角旗杆底部的俯角ECB为为45 则旗杆则旗杆AB的高度是（的高度是（）米）米CABDE E点评：此题属于解直角三角形的基本应用点评：此题属于解直角三角形的基本应用题题测量问题测量问题，要明确，要明确仰角仰角和和俯角俯角，然，然后数形结合直接从图形出发解直角三角形后数形结合直接从图形出发解直角三角形.第20页，本讲稿共25页10.如图某船以每小时如图

16、某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行，在点海里的速度先向正东方向航行，在点A处测处测得某岛得某岛C在北偏东在北偏东60的方向上，航行的方向上，航行3小时到达点小时到达点B，测得该岛在北偏，测得该岛在北偏东东30的方向上且该岛周围的方向上且该岛周围16海里内有暗礁海里内有暗礁（1）试证明：点）试证明：点B在暗礁区外；在暗礁区外；（2）若继续向东航行有无触暗礁的危险？）若继续向东航行有无触暗礁的危险？D解：解：1）由题意得，）由题意得，CAB=30，ABC=120 ，则，则C=30 ，BC=AB=303=90 16 点点B在在暗礁区外暗礁区外.2)如图过点如图过点C作作CD AB交交AB的延

17、长线于的延长线于D点，设点，设BD=x，在在Rt BCD中，中，CBD=60，船继续向东航行没有触礁的危险。船继续向东航行没有触礁的危险。第21页，本讲稿共25页11）如图）如图AM，BN是一束平行的阳光从教室窗户是一束平行的阳光从教室窗户AB射入的平射入的平面示意图，光线与地面所成的角面示意图，光线与地面所成的角AMC=30，在教室地面的，在教室地面的影长影长MN=米，若窗户的下檐到教室地面的距离米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，米，则窗户的上檐到教室地面的距离则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（为（）米）米B此题属于光学问题的基本应用，首先要此题属于光学问题的基本应用，首先要对有

18、关生活常识有所了解，从图形入手，对有关生活常识有所了解，从图形入手，数形结合，将已知信息转化为解直角三数形结合，将已知信息转化为解直角三角形的数学模型去解。角形的数学模型去解。第22页，本讲稿共25页12）如图，一张长方形的纸片）如图，一张长方形的纸片ABCD，其长，其长AD为为a，宽，宽AB为为b(ab)，在，在BC边上选取一点边上选取一点M，将，将 ABM沿着沿着AM翻折后，翻折后，B至至N的位置，若的位置，若N为长方形纸片为长方形纸片ABCD的对称中心，求的对称中心，求a/b的值。的值。3点评点评：此题是创新综合题，要求我们对图形及其变换有较此题是创新综合题，要求我们对图形及其变换有较深

19、刻的理解，并运用图形对称性和解直角三角形知识或勾深刻的理解，并运用图形对称性和解直角三角形知识或勾股定理建立等式求解。股定理建立等式求解。第23页，本讲稿共25页13）一艘轮船以一艘轮船以20海里海里/时的速度由西向东航行，途中接到台时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以风警报，台风中心正以40海里海里/时的速度由南向北移动，时的速度由南向北移动，距台风中心距台风中心 海里的圆形区域（包括边界）都属于海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点处时，测得台风中心移到位于点A正正南方向南方向B处，且处，且AB=100海里海里（1）若

20、该轮船自）若该轮船自A按原速度原方向继续航行，在途中会不会遇按原速度原方向继续航行，在途中会不会遇到台风？到台风？东东北北A AB第24页，本讲稿共25页13）一艘轮船以一艘轮船以20海里海里/时的速度由西向东航行，途中接到台时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以风警报，台风中心正以40海里海里/时的速度由南向北移动，时的速度由南向北移动，距台风中心距台风中心 海里的圆形区域（包括边界）都属于海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点处时，测得台风中心移到位于点A正正南方向南方向B处，且处，且AB=100海里海里（2）若该轮船自）若该轮船自A立即提高船速，向位于东偏北立即提高船速，向位于东偏北30方向，相距方向，相距60海里的海里的D港港驶去继续航行，为使船在台风到达之前到达驶去继续航行，为使船在台风到达之前到达D港，问船速至少应提高多少？港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数）（提高的船速取整数）东东北北A ABD D30第25页，本讲稿共25页