数值计算中的误差.ppt

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1、数值计算中的误差1现在学习的是第1页，共87页第一章第一章数值计算中的误差数值计算中的误差1引引言言 2误差的种类及其来源误差的种类及其来源3绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差4有效数字及其与误差的关系有效数字及其与误差的关系5误差的传播与估计误差的传播与估计6算法的数值稳定性算法的数值稳定性2现在学习的是第2页，共87页1引引 言言 计算方法也称数值分析。数值分析是研究各种数学问题求解的计算方法，即数值计算。利用计算尺、电子计算机等计算工具来求出数学问题得到数值解的全过程，称为数值计算数值计算。在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天，需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计算机解决科

2、学计算问题时大致经历如下几个过程：3现在学习的是第3页，共87页 随着科学技术的突飞猛进，无论是工农业生产还是国防尖端技术，例如机电产品的设计、建筑工程项目的设计、气象预报和新型尖端武器的研制、火箭的发射等，都有大量复杂的数值计算4现在学习的是第4页，共87页问题急待解决。它们的复杂程度已达到非手工计算所能解决的地步。数字式电子计算机的出现和飞速发展大大推动了数值计算方法的进展，许多复杂的数值计算问题现在都可以通过电子计算机进行数值计算得到妥善解决。用数值计算的方法来解决工程实际和科学技术中的具体技术问题时，首先必须具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，例如各种

3、微分方程、积分方程、代数方程等等，然后选择合适的计算方法(算法），编制出计算机程序，最后上机调试并进行计算，以得到所欲求解的结果。5现在学习的是第5页，共87页所谓数值计算方法数值计算方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说的“算法”，不只是单纯得数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如，当计算多项式6现在学习的是第6页，共87页次乘法和n 次加法。

4、n=10时需做55次乘法和10次加法。若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式P(x)改成的值时，若直接计算 ,再逐项相加，共需做7现在学习的是第7页，共87页来计算时,只要做n次乘法和n次加法即可。对于小型问题，计算的速度和占用计算机内存的多寡似乎意义不大。但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题数值稳定性问题。数值计算过程中会出现各种误差，它们可分为两大

5、类：一类是由于算题者在工作中的粗心大8现在学习的是第8页，共87页意而产生的，例如笔误以及误用公式等，这类误差称为“过失误差”或“疏忽误差”。它完全是人为造成的，只要工作中仔细、谨慎，是完全可以避免的；而另一类为“非过失误差”，在数值计算中这往往是无法避免的，例如近似值带来的误差，模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。对于“非过失误差”，应该设法尽量降低其数值，尤其要控制住经多次运算后误差的积累，以确保计算结果的精度。下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差和算法的选择对计算结果的精度所产生的巨大影响。例如，要计算9现在学习的是第9页，共87页可用四种算式算出：10现在学习的是第10

6、页，共87页 如果分别用近似值 和 按上列四种算法计算 值，其结果如下表表1-11-1所示。由表表1-11-1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。可见近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大。因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念，否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。11现在学习的是第11页，共87页1234序号算式计算结果表表1-11-1112现在学习的是第12页，共87页衡量一个算法的好坏时，计算时间的多少是非常重要的一个标志。

7、由于实际的执行时间依赖于计算机的性能，因此所谓算法所花时间是用它执行的所有基本运算，如算术运算、比较运算等的总次数来衡量的。这样时间与运算的次数直接联系起来了。当然，即使用一个算法计算同一类型的问题时，由于各问题的数据不同，计算快慢也会不同，一般是用最坏情况下所花的时间来作讨论。设输入数据的规模输入数据的规模(size)(size)是l(在网络问题中，l一般与节点数及弧数有关，而对一般极值问题，l往往与变量数及约束数有关)，设在最坏情况下运算次数是f(l)，则f(l)称为算法的计算复杂性算法的计算复杂性。13现在学习的是第13页，共87页具有什么样的计算复杂性的算法被认为是好的呢？目前计算机科

8、学中广为接受的观点是：多项式时间算法，即f(l)是关于l的一个多项式，或者以一个多项式为上界的。例如，等是好的算法；而指数时间算法，即f(l)是关于l的指数式，或以一个指数式为下界的，例如！等情况，则是坏的。这个看法的依据是很明白的，因为当l增大时，指数函数比多项式函数增长快。14现在学习的是第14页，共87页注意注意:在理论上证明是好的算法不一定在实际中有效，在理论上证明不是多项式时间的算法也不一定就在实际上中效果不好。如关于线性规划问题的算法有如下的特殊性：1）单纯形法是时间复杂性为指数阶的，但却是非常有效的算法；2）椭球法从理论上是一个重大突破，是第一个多项式算法，遗憾的是广泛的实际检验

9、表明其计算效果比单纯形方法差，因而，它在实际使用中不能取代单纯形法。3）Karmarker方法是求解线性规划的另一个多项式算法，从理论上说，Karmarker算法的阶比椭球法有所降低，从实际效果来说也好得多，因而引起了学术界的广泛注意。15现在学习的是第15页，共87页2误差的种类及其来源误差的种类及其来源数值计算中，除了可以避免的过失误差外，还有不少来源不同而又无法避免的非过失误差非过失误差存在于数值计算过程中，主要有如下几种：2.1模型误差模型误差在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象抽象、归纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响，而对问题作某些必要的简化。这样建立起来的数

10、学模型实际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述，它与真正客观存在的实际问题之间有一定的差别，这种误差称为“模型误差”。16现在学习的是第16页，共87页2.2观测误差观测误差在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精度的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差，这种误差称为“观测误差”或“初值误差”。2.3截断误差截断误差在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求和等，它们须用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系列有限17现在学习的是第17页

11、，共87页的算术运算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断”，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为“截断误差”或“方法误差”。例如，函数sinx和ln(1+x)可分别展开为如下的无穷幂级数：(2.1)(2.2)18现在学习的是第18页，共87页则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了，自然产生了误差。这就是由于截断了无穷级数自第四项起(2.4)(2.3)若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似，例如取19现在学习的是第19页，共87页的后段的产生的截断误差。（2.3)和(2.4)的截断误差是很容易估算的，因为幂级数(2.1)和(2.2)都是交错级数，当x1

12、时的各项的绝对值又都是递减的，因此，这时它们的截断误差可分别估计为：和20现在学习的是第20页，共87页2.4舍入误差舍入误差在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，例如无理数和有理数中某些分数化出的无限循环小数，如由于受计算机机器字长的限制，它所能表示的数据只能有有限位数，这时就需把数据按四舍五入舍入成一定位数的近似的有理数来代替。由此引起的误差称为“舍入误差舍入误差”或或“凑整误差凑整误差”。21现在学习的是第21页，共87页终上所述，数值计算中除了可以完全避免的过失误差外，还存在难以避免的模型误差、观测误差、截断误差和舍如误差。数学模型一旦建立，进入具体计算时所要考虑和分析的就是截断误差和

13、舍入误差了。在计算机上经过千百次运算后所积累起来的总误差不容忽视，有时可能会大得惊人，甚至到达“淹没”所欲求解的真值的地步，而使计算结果失去根本的意义。因因此，在讨论算法时，有必要对其截断误差的估算和舍此，在讨论算法时，有必要对其截断误差的估算和舍入误差的控制作适当的分析。入误差的控制作适当的分析。22现在学习的是第22页，共87页3绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差3.1绝对误差和绝对误差限绝对误差和绝对误差限定义定义设某一个准确值（称为真值）为，其近似值为，则与的差称为近似值的“绝对误差绝对误差”，简称“误差误差”。当时，称为亏近似值或弱近似值亏近似值或弱近似值，反之则称为盈近似值或强近

14、似值盈近似值或强近似值。(3.1)23现在学习的是第23页，共87页由于真值往往是未知或无法知道的，因此，的准确值（真值）也就无法求出。但一般可估计此绝对误差的上限，也即可以求出一个正值，使(3.2)此称为近似值的“绝对误差限绝对误差限”，简称“误差限误差限”，或称“精精度度”。有时也用(3.3)来表示（3.2）式。这时等式右端的两个数值和代表了所在范围的上、下限。越小，24现在学习的是第24页，共87页表示该近似值的精度越高。例如例如，用有毫米刻度的尺测量不超过一米的长度。读数方法如下：如长度接近于毫米刻度，就读出该刻度数作为长度的近似值。显然，这个近似值的绝对误差限就是半个毫米，则有如果读

15、出的长度是513毫米，则有25现在学习的是第25页，共87页这样，虽仍不知准确长度是多少，但由（3.3）式可得到不等式512.5l513.5(毫米)这说明必在512.5,513.5毫米区间内。26现在学习的是第26页，共87页3.2相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。例如测量10米的长度时产生1厘米的误差与测量1米的长度时产生1厘米的误差是大有区别的。虽然两者的绝对误差相同，都是1厘米，但是由于所测量的长度要差十倍，显然前一种测量比后一种要精确得多。这说明要评价一个近似值的精确度，除了要看其绝对误差的大小外，还必须考虑该量本身的大小，这就需要引进相对

16、误差的概念。定义绝对误差与真值之比，即(3.4)27现在学习的是第27页，共87页称为近似值的“相对误差相对误差”。在上例中，前一种测量的误差为，而后一种测量的相对误差则为，是前一种的十倍。由（3.4）可见，相对误差可以从绝对误差求出。反之，绝对误差也可由相对误差求出，其相互关系式为：(3.5)相对误差不仅能表示出绝对误差来，而且在估计近似值运算结果的误差时，它比绝对误差更能反映出误差的特性比绝对误差更能反映出误差的特性。因此在误差分析中，相对误差比绝对误差更为重要。28现在学习的是第28页，共87页相对误差也无法准确求出。因为（3.4）中的和均无法准确求得。也和绝对误差一样，可以估计它的大小

17、范围，即可以找到一个正数，使（3.6）称为近似值的“相对误差限”。相对误差是个无名数，它没有量纲。例如，称100千克重的东西若有1千克重的误差和量100米长的东西有1米长的误差，这两种测量的相对误差都是1/100。与此相反，由于绝对误差是名词，有量纲，上例中两种测量的绝对误差1千克和1米的量纲不同，两者就无法进行比较。29现在学习的是第29页，共87页在实际计算中，由于真值总是无法知道的，因此往往取(3.7)作为相对误差的另一定义。下面比较与之间的相差究竟有多大：30现在学习的是第30页，共87页一般地，很小，不会超过0.5。这样不大于2，因此，上式右端是一高阶小量，可以忽略31现在学习的是第

18、31页，共87页上式右端是一高阶小量，可以忽略，故用来代替。相对误差也可用百分数来表示：这时称它为百分误差百分误差。32现在学习的是第32页，共87页4有效数字及其误差的关系有效数字及其误差的关系4.1有效数字有效数字在表示一个近似值的准确程度时，常用到“有效数有效数字字”的概念。例如，若按四舍五入取四位小数，则得的近似值为3.1416；若取五位小数则得其近似值位3.14159。这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位，即33现在学习的是第33页，共87页定义定义当近似值的误差限是其某一位上的半个单位时，称其“准确”到这一位，且从该位起直到前面第一位非零数字为此的所有数字都称为有效数字有

19、效数字。一般说，设有一个数，其近似值的规格化形式：(4.1)34现在学习的是第34页，共87页式中：都是中的一个数字，n是正整数，m是整数。若的误差限为：(4.2)则称为具有n位有效数字的有效数，或称它精确到。其中每一位数字都是的有效数字。若（4.1）中的是经四舍五入得到的近似数，则具有n位有效数字。例如，3.1416是的具有五位有效数字的近似值，精确到0.0001.35现在学习的是第35页，共87页如，203和0.0203都是具有三位有效数字的有效数。但要注意，0.0203和0.020300就不同了，前者仅具有三位有效数字，即仅精确到0.0001；而后者则具有五位有效数字，即精确到0.000

20、001。可见，两者的精确程度大不相同，后者远较前者精确（差100倍）。因此，有另一种情况，例如x=0.1524，x*=0.154，这时x*的误差为-0.0016，其绝对值超过0.0005（第三位小数的半个单位），但却没有超过0.005（第二位小数的半个单位），即显然，虽然有三位小数但却只精确到第二位小数，因此，它只具有二位有效数字。其中1和5都是准确数字，36现在学习的是第36页，共87页而第三位数字4就不再是准确数字了，我们就称它为存疑存疑数字数字。注注：用计算机进行的数值计算，由于受到计算机字长的限制，要求输入的数有一定的位数，计算的结果也只保留一定的位数，且所保留下来的不一定都是有效数字

21、，同时也不是所有的有效数字都可保留下来。4.2有效数字与误差的关系有效数字与误差的关系由(4.2)可知,从有效数字可以算出近似数的绝对误差限;有效数字的位数越多,其绝对误差限也就越小。且还可以从有效数字求出其相对误差限。37现在学习的是第37页，共87页当用(4.1)表示的近似值x*，具有n位有效数字时，显然有(4.3)故由(4.2)可知，其相对误差38现在学习的是第38页，共87页故相对误差限为(4.4)由(4.4)可见,有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。上述关系的逆也是成立的，即当用(4.1)表示的近似值x*，如果其相对误差能满足(4.5)39现在学习的是第39页，共87页即x*至少

22、具有n位有效数字。则x*至少具有n位有效数字。这是因为:由(4.5)及有40现在学习的是第40页，共87页例例1当用3.1416来表示的近似值时,它的相对误差是多少?解解3.1416具有五位有效数字,，由(4.3)有例例2为了使积分的近似值I*的相对误差不超过0.1%，问至少要取几位有效数字?解解可以知道I=0.7476，这样，由(4.3)有41现在学习的是第41页，共87页可解出n=3，即I*只要取三位有效数字I*=0.747就能保证I*的相对误差不大于0.1%。42现在学习的是第42页，共87页1.5误差的传播与估计误差的传播与估计5.1误差估计的一般公式误差估计的一般公式在实际的数值计算

23、中，参与运算的数据往往都是些近似值，带有误差，这些数据误差在多次运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差，而确定计算结果所能达到的精度显然是十分重要的，但往往很困难。不过，对计算误差作出一定的定量估计还是可以做到的。下面利用函数泰勒（Taylor）展开式推出误差估计的一般公式。考虑二元函数y=f(x1,x2)，设x*1和x*2分别是x1和x2的近似值，y*是函数值y 的近似值，且43现在学习的是第43页，共87页函数f(x1,x2)在点(x*1,x*2)处的泰勒展开式为：y*=f(x*1,x*2)44现在学习的是第44页，共87页式中，和一般都是小量值，如忽略高阶小量，则上式可简化为因此，y*

24、的绝对误差为(5.1)45现在学习的是第45页，共87页式中，和前面的系数和分别是和对的绝对误差增长因子绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差和经过传播后增大或缩小的倍数。由（5.1）可得出的相对误差：(5.2)46现在学习的是第46页，共87页式中，和前面的系数：和分别是和对的相对误差增长因子相对误差增长因子，它们分别表示相对误差和经过传播后增大或缩小的倍数。例例3用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为（伏特)和（安培),求这个电阻的阻值R，并估算其绝对误差和相对误差。47现在学习的是第47页，共87页解解由欧姆定律，有（欧姆）可以求出R的近似值由（5.1）可计算的绝对误差：48

25、现在学习的是第48页，共87页令伏，伏；安，安。将它们带入上式，即可估算出的绝对误差：因此，的相对误差49现在学习的是第49页，共87页（5.1）和（5.2）可推广到更为一般的多元函数中，只要将函数在点处作泰勒展开，并略去其中的等小量的高阶项，即可得到函数的近似值的绝对误差和相对误差的估算式分别为：(5.3)50现在学习的是第50页，共87页分别为各个对的绝对误差和相对误差的增长因子。(5.4)和上两式中的各项和51现在学习的是第51页，共87页从（5.3）和（5.4）可知，误差增长因子的绝对值很大时，数据误差在运算中传播后，可能会造成结果的很大误差。凡原始数据的微小变化可能引起结果的很大变化

26、的这类问题,称为病态问题或坏条件问题病态问题或坏条件问题。52现在学习的是第52页，共87页5.2误差在算术运算中的传播误差在算术运算中的传播可以利用(5.3)和（5.4）对算术运算中数据误差传播规律作一具体分析。1加，减运算加，减运算由(5.3)和（5.4）有(5.5)及(5.6)53现在学习的是第53页，共87页由(5.5)可知：近似值之和的绝对误差等于各近似值绝近似值之和的绝对误差等于各近似值绝对误差的代数和。对误差的代数和。两数x1和x2相减，由(5.6)有即当，即大小接近的两个同号近似值相减时，由上式可知，这时可能会很大，说明计算结54现在学习的是第54页，共87页才能达到具有五位有

27、效数字的要求。如果变换算式：果的有效数字将严重丢失，计算精度很低。因此在实际计算中，应尽实际计算中，应尽量设法避开相近数的相减量设法避开相近数的相减。当实在无法避免时，可用变换计算公式的办法来解决。例如，当要计算，结果精确到第五位数字时，至少取到这样55现在学习的是第55页，共87页也能达到结果具有五位有效数字的要求，而这时和所需的有效位数只要五位，远比直接相减所需有效位数（八位）为少。再例如，当x很小时，如要求的值，可利用三角恒等式进行公式变换后再来计算。同理，也可把展开成泰勒级数后，按56现在学习的是第56页，共87页来进行计算。这两种算法都避开了两个相近数相减的不利情况。2乘法运算乘法运

28、算由（5.3）及（5.4）有（5.7）和（5.8）57现在学习的是第57页，共87页因此，近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的代数和代数和。当乘数的绝对值很大时，乘积的绝对值误差可能会很大，因此也应设法避免。3除法运算除法运算由（5.3）及（5.4）有58现在学习的是第58页，共87页和(5.9)(5.10)59现在学习的是第59页，共87页由（5.10）可知，两近似值之商的相对误差等于被除数的相两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相对误差之差。对误差与除数的相对误差之差。又由（5.9）可知，当除数的绝对值很小，接近于零时，

29、商的绝对误差可能会很大，甚至造成计算机的“溢出”错误，故应设法避免让应设法避免让绝对值太小的数作为除数。绝对值太小的数作为除数。4方及开方运算方及开方运算由（5.3）及（5.4）有60现在学习的是第60页，共87页(5.11)(5.12)及由（5.12）可知，乘方运算将使结果的相对误差增大相对误差增大为原值（x）的p（乘方的方次数）倍，降低了精度；开方运算则使结果的相对误差缩小相对误差缩小为原值（x）的1/q（q为开方的方次数），精度得到提高。61现在学习的是第61页，共87页综上分析可知，大小相近的同号数相减，乘数的绝对值综上分析可知，大小相近的同号数相减，乘数的绝对值很大，以及除数接近于零

30、等，在数值计算中都应设法避很大，以及除数接近于零等，在数值计算中都应设法避免。免。5.3对对1算例的误差分析算例的误差分析应用上述误差估计的公式，可对1中提出的算例中的各种算式作出误差估计和分析，从而可以比较出它们的优劣来。见结果表表1-2（p.21-22）。62现在学习的是第62页，共87页63现在学习的是第63页，共87页6算法的相对稳定性算法的相对稳定性通过前面对误差传播规律的分析和对1算例的剖析，可知同一问题当选用不同的算法时，它们所得到的结果有时会相差很大，这是因为运算的舍入误差在运算过程中的传播常随算法而异。凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称它为数值稳定的算法。下面再通过其

31、他一些例子来进一步说明算法稳定性的概念。例例4解方程(6.1)64现在学习的是第64页，共87页来编制计算机程序，在字长为8基底为10的计算机上进行运算，则由于计算机实际上采用的是规格化浮点数的运算，这时如果利用求根公式解解由韦达定理可知，此方程的精确解为(6.2)65现在学习的是第65页，共87页的第二项最后两位数“01”，由于计算机字长的限制，在机器上表示不出来，故在计算机对阶舍入运算对阶舍入运算（用标记）时66现在学习的是第66页，共87页这样算出的根x2（=0）显然是严重失真的（精确解x2=0），这说明直接利用（6.2）求解方程（6.1）是不稳定的。其原因是在于当计算机进行加减运算时要

32、对阶舍入计算，实际上受到机器字长的限制，在计算-b时67现在学习的是第67页，共87页绝对值小的数（1）被绝对值大的数(109)“淹没”了，在计算时，被“淹没”了；这些相对小的数被“淹没”后就无法发挥其应有的影响，由此带来误差，造成计算结果的严重失真。同样道理，当多个数在计算机中相加时，最好当多个数在计算机中相加时，最好从其中绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相加，可使和的误差从其中绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相加，可使和的误差减小。减小。这时，如要提高计算的数值稳定性，必须改进算法。在此例中，由于算出的根x1（=109）是可靠的，故可利用根与系数的关系式68现在学习的是第68页，共87

33、页来计算x2,有所得结果很好。这说明第二种算法有较好的数值稳定性（注意在利用根与系数关系式求第二个根时，必须先算出绝对值较大的一个根，然后再求另一个根，才能得到精度较高的结果）。例例5试计算积分69现在学习的是第69页，共87页解解由分部积分可得因此有递推公式70现在学习的是第70页，共87页用上面的递推公式，在字长为6，基底为10的计算机上，从E1出发计算前几个积分值，其结果如表表1-3。被积函数在积分限（0,1）区间内都是正值，积分值E9取三位有效数字的精确结果为0.0916，但上表中E9=-0.068480却是负值，与0.0916相差很大。怎么会出现这种现象？可分析如下。由于在计算时有舍

34、入误差约为且考虑以后的计算都不再另有舍入误差。此对后面各项计算的影响为71现在学习的是第71页，共87页表表1-310.36787920.26424230.20727440.17090450.14548060.12712070.11016080.1187209-0.06848072现在学习的是第72页，共87页73现在学习的是第73页，共87页这样，算到E9时产生的误差为这就是一个不小的数值了。可以改进算法来提高此例的数值稳定性，即将递推公式改写为从后向前递推计算时，En的误差下降为原来的1/n，因此只要n 取得足够大，误差逐次下降，其影响就会越来越小。由74现在学习的是第74页，共87页可知

35、：当时。因此可取E20作为初始值进行递推计算。由于，故E20=0的误差约为。在计算时误差下降到到计算E15时误差已下降到，结果如表表1-4。75现在学习的是第75页，共87页200.0000000190.0500000180.0500000170.0527778160.0557190150.0669477140.0627322130.0669477120.0717733110.0773523100.083877190.0916123表表1-476现在学习的是第76页，共87页这样得到的E9=0.0916123已经很精确了。可见经过改进后的新算法具有很好的稳定性。例例6对于小x 的值，计算ex-

36、1。解解如果用ex-1直接进行计算，其稳定性是很差的，因为两个相近数相减会严重丢失有效数字，产生很大误差。因此得采用合适的算法来保证计算的数值稳定性。可将ex 在点x=0附近展开成幂级数：77现在学习的是第77页，共87页按上式计算就有很好的数值稳定性。通过以上这些例子，可以知道算法的数值稳定性对于数值计算的重要性了。如无足够的稳定性，将会导致计算的最终失败。为了防止误差传播、积累带来的危害，提高计算的稳定性，将前面分析所得的各种结果归纳起来，得到数值计算中应注意之点如下：（1）选用数值稳定的计算方法，避开不稳定的算式。则可得78现在学习的是第78页，共87页（2）注意简化计算步骤及公式，设法

37、减少运算次数；选用运算次数少的算式，尤其是乘方幂次要低，乘法和加法的次数要少，以减少舍入误差的积累，同时也可节约计算机的机时。例如，要计算x255的值时，如果 x 逐个相乘要做254次乘法，但若写成 x255=xx2x4x8x16x32x64x128则只要做14次乘法运算即可。又如前面1引言中讲到过的用秦九韶法计算多项式，也是一个改变计算公式以减少运算次数的极好例子。（3）应合理安排运算顺序，防止参与运算的数在数量级相差悬殊时，“大数”淹没“小数”的现象发生。79现在学习的是第79页，共87页多个数相加时，最好从其中绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相加；多个数相乘时，最好从其中有效位数最多的

38、数到有效位数最少的数依次相乘。（4）应避免两相近数相减，可用变换公式的方法来解决。（5）绝对值太小的数不宜作为除数。否则产生的误差过大，甚至会在计算机中造成“溢出”错误。80现在学习的是第80页，共87页小小结结误差在数值计算中的危害性是十分明显的。如果不控制误差的传播和积累，则计算结果的精度得不到保证，甚至导致计算的失败。本章阐明了误差理论的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律及其估算方法，以及数值稳定性的概念。按照误差产生的来源不同，有“过失误差”和“非过失误差”之分。后者又可分为“模型误差”、“观测误差”、“截断误差”。和“舍入误差”等。误差的表示法有两种：绝对误差和相对误差。实际上，

39、在计算机中进行的都是有限位数的运算，因此有效数字的概念是非常重要和有用的。它与误差之间有着密切的关联。81现在学习的是第81页，共87页利用函数的泰勒展开估算误差是一种误差估计的一般方法。近似值运算中，误差的传播和积累直接影响到计算结果的精度因此必须掌握它们的规律性。本章通过一些例子帮助读者建立和理解有关算法的数值稳定性的概念。为了防止误差传播、积累带来的危害，以提高计算的稳定性，在计算中应注意以下几点：1.选用稳定性好的计算公式；2.简化计算步骤和公式，设法减少运算次数；3.合理安排运算顺序，避免“大数”淹没“小数”；多个数相加时其绝对值小者先加；多个数相乘时，其有效位数多者先乘；4.避免两

40、相近数相减；5.避免绝对值太小的数作为除数。82现在学习的是第82页，共87页习习题题一一1.下列各数都是对真值进行四舍五入后得到的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数：（1）（2）（3）（4）（5）2.如果求的近似值的相对误差，问至少应取几位有效数字？3.为了使的近似值的相对误差，问至少应取几位有效数字？4.如用级数来求的值，为使相对误差，问至少需取几项？83现在学习的是第83页，共87页5.用观测恒星的方法求得某地纬度（读到秒），问计算将有多大误差？66正方形的边长约为100厘米，问测量时误差最多只能到多少，才能保证面积的误差不超过1平方厘米？7已测得直角三角形的

41、斜边c=580.2毫米，一直角边a=.250.1毫米，如题7图示。试计算A的近似值，并估算出其绝对误差和相对误差限。8已知计算及求和的相对误差。9求方程+1=0的两个根，使它们至少具有四位有效数字（已知）。题7图84现在学习的是第84页，共87页10.设近似数的绝对误差为，当分别计算下列两式时，问误差对计算结果的影响如何？（1）（2）11.下列各题怎样计算才合理（即计算结果的精度高）？（1）（四位函数表求三角函数值）；（2）（开方用六位函数表）；（3）（其中充分小）；（4）（其中N充分大）12.下面计算.Y的公式中，哪一个算得更准确些？为什么？85现在学习的是第85页，共87页（1）已知（2）已知（3）已知（4）已知86现在学习的是第86页，共87页13.设计算:算法(1)：算法(2)：试分析上述两种算法的好坏。14.用四位尾数浮点数计算，要求分别（1）按递增顺序和（2）按递减顺序相加，所得结果不同，为什么？哪个更接近真值？87现在学习的是第87页，共87页