数学模型和数值分析方法.ppt

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1、数学模型和数数学模型和数值分析方法分析方法现在学习的是第1页，共36页1.1 数学模型基础数学模型基础1.2 建模步骤和原则建模步骤和原则1.3 建模方法建模方法第一部分第一部分 数学模型数学模型第第1 1章章 数学模型与数值分析方法数学模型与数值分析方法现在学习的是第2页，共36页 对于一个对于一个客观实际客观实际，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其，根据其本身属性及内在本身属性及内在规律规律，作出必要的，作出必要的抽象、简化假设抽象、简化假设，运用适当的，运用适当的数学工具（数学公式、数学工具（数学公式、数学符号、程序及图表等）数学符号、程序及图表等），得到的一个，得到的一个数学结

2、构数学结构。基本概念基本概念21现现实实世世界界数数学学世世界界建立数学模型建立数学模型翻译为实际解答翻译为实际解答始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界1.1 1.1 数学模型基础数学模型基础现在学习的是第3页，共36页2 2数学模型分类数学模型分类 2 2按照建立模型数学方法按照建立模型数学方法初等模型初等模型、图论模型、图论模型、规划论模型规划论模型、微分方程模型微分方程模型、最优控制模型最优控制模型、随机模型、模随机模型、模拟模型等。拟模型等。初等模型初等模型-为采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。为采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。微分方程模型微分方程模型

3、-指的是在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后指的是在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而获得系找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而获得系统的数学模型。统的数学模型。1.1 1.1 数学模型基础数学模型基础按照对实体的认识过程按照对实体的认识过程描述性模型、解释性数学模型。描述性模型、解释性数学模型。描述性模型描述性模型从特殊到一般，从分析具体客观事物及其状态开始，最终得到从特殊到一般，从分析具体客观事物及其状态开始，最终得到一个数学模型。一个数学模型。解释性模型解释性模型由一般到特殊，从一般的公理系统出发

4、，借助于数学壳体，对公理系统由一般到特殊，从一般的公理系统出发，借助于数学壳体，对公理系统给出正确解释。给出正确解释。现在学习的是第4页，共36页1.1 1.1 数学模型基础数学模型基础按照模型的应用领域按照模型的应用领域人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、再生资源利用模人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、再生资源利用模型等。型等。按照模型的特征按照模型的特征静态模型和动态模型、确定性模型和随机、离散模型和连续性模型、线性模型和静态模型和动态模型、确定性模型和随机、离散模型和连续性模型、线性模型和非线性模型等。非线性模型等。按照模型的了解程度按照模型的了解程度白

5、箱模型、灰箱模型和黑箱模型。白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。现在学习的是第5页，共36页数学模型的根本作用在于它将客观原型进行抽象和简数学模型的根本作用在于它将客观原型进行抽象和简化，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。化，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。材料科学从最早的试错法的手工操作到作为当代重要科学支材料科学从最早的试错法的手工操作到作为当代重要科学支柱，数学的应用起着非常重要的作用，利用数学这一有效工具，柱，数学的应用起着非常重要的作用，利用数学这一有效工具，可以深刻认识客观现象的本质规律，促进学科发展。在材料研究可以深刻认识客观现象的本质规律，促进学科发展。在材料研

6、究和应用中，要对有关问题进行计算，就必须先建立该问题的数学和应用中，要对有关问题进行计算，就必须先建立该问题的数学模型。（材料设计，生产过程（极端条件，纳米枪）模型。（材料设计，生产过程（极端条件，纳米枪）1.1 1.1 数学模型基础数学模型基础2数学模型的作用数学模型的作用 3现在学习的是第6页，共36页3.1 3.1 数学模型和数学建模数学模型和数学建模模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个

7、比较清晰比较清晰的的问题问题1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则现在学习的是第7页，共36页3.1 3.1 数学模型和数学建模数学模型和数学建模建模一般步骤建模一般步骤：模模型型假假设设目的性原则、简明性原则、目的性原则、简明性原则、真实性原则、全面性原则真实性原则、全面性原则在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则现在学习的是第

8、8页，共36页3.1 3.1 数学模型和数学建模数学模型和数学建模模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术。各种数学方法、软件和计算机技术。模型模型分析分析如结果的误差分析、统计分析、模型对如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析。数据的稳定性分析。模型模型检验检验与实际现象、数据比较，检验模型的合与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。理性、适用性。模型应用模型应用1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则现在学习的是第9页，共36页3.1 3.1 数学模型和数学建模数学模型和数学建模建模的全过程建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数

9、学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问题成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则现在学习的是第10页，共36页实例：激光冲

10、击残余应力的估算目前，人们对残余应力的测试一般采用的是一种破坏性的测试方法，而这种方法极大的防碍了激光冲击强化技术在工程中的应用，造成大量人力物力的浪费，增加了生产的成本，限制了人们对被加工性能的有效控制。激光冲击的基本力学模型：v.假设：假设：1)假设在微秒时间内结构在厚度方向上所有质量都受到波及，而结构塑性动力响应通常需要经历毫秒以至更长时间才会达到结构的最大形变；2)假设被冲击的工件材料为理想的刚塑性材料；3)激光冲击压力为GPa;弹性形变塑性形变Shock wave1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则现在学习的是第11页，共36页激光冲击应力为一维平

11、面波，在激光冲击区取一个微体积元，仅在x方向考虑被压缩，即冲击波沿X方向传播，考虑应力和应变的关系，为保持x的单轴应变条件而假设y=z,形变侧面Y、Z方向尺寸不变，X方向有弹塑性变形，激光冲击后弹性变形恢复不完全，导致了残余应力的产生。1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则现在学习的是第12页，共36页2.根据Mises屈服准则有：x-y|b在弹性范围内，应力与应变的关系为：x=+2xy=+2yz=+2z式中：x yz，因为是单轴变形，侧面受到介质约束，x（V0-V)/V,y=z=0,V是体积，2(+u)，和u是材料的拉梅常数，是泊松比。(1)xyxyxX01

12、.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则现在学习的是第13页，共36页 在塑性变形状态，应变增量是弹性和塑性增量之和。因而在X方向有：dx=dxe+dxp因为不存在塑性膨胀，所以有dxp dyp+dzp=0微元体中的残余应力是弹性和塑性应变引起的，dx=d+2(dxe+dxp)dy=d+2（dye+dyp）dz=d+2(dze+dzp）(2)1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则现在学习的是第14页，共36页激光冲击应力作用后，在冲击强化区的y，z方向上由弹性应力引起的弹性变形难以完全恢复，所以，在激光冲击区形成残余应力，于是可得

13、简单算式：y=1-x实际上x是随冲击应力波的衰减而变化，故残余应力y也是随x的变化而变化，设：x e-x有x=maxe-bx(3)(4)其中b为参量；1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则在玻璃(K9)的约束层的条件下，激光冲击产生的峰压可以估算为：Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3如果有max=pmax代入公式()x=pmaxe-bxy=pmaxe-bx1-(5)现在学习的是第15页，共36页 显然该式(5)所表达的是Pmax未卸载时残余应力的情形。令x=0，取Pmax2.8GPa，0.29，则b不论取何值，y=-1.12GPa，这显然与实际测量值

14、y=-400MPa相去甚远，因此必须对式（）加以修正。首先，由弹性力学原理可知：E.因此，材料的弹塑性形变与弹性模量关系较大，材料受到相同外力作用时，弹性模量大的材料，弹塑性形变小；因此有：yE(6)1.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则其次，由冲击动力学原理可知，当材料的冲击变形深度相同时，材料本身的弹性模量大，屈服极限高，冲击波对材料产生的残余应力的影响就深。如果材料本身弹性模量小，局部极限低，冲击波对材料产生的残余应力深度就浅。因此有：ye-bx/E (7)结合()()()()1-(8)x EPmaxe-bx/Ey E Pmaxe-bx/E现在学习的是第

15、16页，共36页然而此时，还需使公式()满足边界条件X=0时，解决y与实际残余应力值相差太远的问题，因此还必须在公式()中加入一个系数K,即：x=EkPmaxe-bx/Ey=Ek Pmaxe-bx/E1-(9)利用45钢试样的一组残余应力数据对式（9)进行拟合，从而求得K=2.3x10-6(MPa)-1;b=2.16x108(MPa/m)，将所得的k,b数据代入公式（9）得到激光冲击强化残余应力的一般估算经验公式：x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x108 x/E y=2.3x10-6 Pmaxe-2.16x108 x/EE-11.2 1.2 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的

16、一般步骤和原则现在学习的是第17页，共36页21应用自然科学中已被证明是正确的理论、原理和定律，对被研究系统的应用自然科学中已被证明是正确的理论、原理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。Eg.Eg.在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式系式。1.3 1.3 常用的数学建模方法常用的数学建模方法理论分析法理论分析法结结构构及及性性质质已已经经了了解解，但但其其数数量量描描述述及及求求解解都都相相当当困困难难。如如构

17、构造造出出结结构构和性质与其相同，可以把后一种模型看成是原来模型的模拟。和性质与其相同，可以把后一种模型看成是原来模型的模拟。Eg.Eg.钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，采用环氧树脂制钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹；借助实验光测力学的手段来完成分析。裂纹；借助实验光测力学的手段来完成分析。22模拟方法模拟方法现在学习的是第18页，共36页2类比分析法类比分析法 3若若两两个个不不同同的的系系统统，可可以以

18、用用同同一一形形式式的的数数学学模模型型来来描描述述，则则此此两两个个系系统统就就可可以以互互相相类类比比。类类比比分分析析法法是是根根据据两两个个（或或两两类类）系系统统某某些些属属性性或或关关系系的的相相似似，去去猜猜想想两两者者的的其其它它属属性性或或关关系系也也可能相似的一种方法。可能相似的一种方法。Eg.Eg.在在聚聚合合物物的的结结晶晶过过程程中中，结结晶晶度度随随时时间间的的延延续续不不断断增增加加，最最后后趋趋于于该该结结晶晶条条件件下下的的极极限限结结晶晶度度，现现期期望望在在理理论论上上描描述述这这一一动动力力学学过过程程（即即推推导导AvramiAvrami方程）。方程）

19、。聚聚合合物物的的结结晶晶过过程程包包括括成成核核和和晶晶体体生生长长两两个个阶阶段段，这这与与下下雨雨时时雨雨滴滴落落在在水水面面上上生生成成一一个个个个圆圆形形水水波波并并向向外外扩扩展展的的情情形形相相类类似似，因因此此可可通通过过水水波波扩扩散散模模型型来来推推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。1.3 1.3 常用的数学建模方法常用的数学建模方法现在学习的是第19页，共36页2数据分析法数据分析法 4若若在在系系统统的的结结构构性性质质不不大大清清楚楚，但但有有若若干干能能表表征征系系统统规规律律，描描述述系系统统状状态态的的数数据据可可利利用用时时

20、，回回归归分分析析是是处处理理这这类类问问题题的的有利工具。有利工具。Eg.Eg.经实验获得低碳钢的屈服点经实验获得低碳钢的屈服点 s s 与晶粒直径与晶粒直径d d对应关系如表对应关系如表1-31-3中的数据所示，用最小二乘法建立起中的数据所示，用最小二乘法建立起d d与与 s s之间关系的数学模型之间关系的数学模型（即霍尔（即霍尔-配奇配奇Hall-PetchHall-Petch公式）。公式）。1.3 1.3 常用的数学建模方法常用的数学建模方法现在学习的是第20页，共36页2数据分析法数据分析法 4按照上述最小二乘法原理，误差平方和为最小的直线是最按照上述最小二乘法原理，误差平方和为最小

21、的直线是最佳直线。求佳直线。求 最小值的条件是最小值的条件是400 50105286 121 180 242 345低碳钢屈服极限与晶粒直径低碳钢屈服极限与晶粒直径以以d d-1/2-1/2作为作为x x，s s作为作为y y，取，取y=a+byy=a+by，为一直线。设实验数，为一直线。设实验数据点为（据点为（X Xi i，Y Yi i），一般来说，），一般来说，直线并不通过其中任一实验数据直线并不通过其中任一实验数据点，因此，每点均有偶然误差点，因此，每点均有偶然误差e ei i，e ei i=(=(a+bXa+bXi i)-Y-Yi i1.3 1.3 常用的数学建模方法常用的数学建模方法

22、现在学习的是第21页，共36页1.有限差分法有限差分法2.有限元法有限元法第二部分第二部分 数值分析方法数值分析方法第第1 1章章 数学模型与数值分析方法数学模型与数值分析方法现在学习的是第22页，共36页2.1 2.1 有限差分法有限差分法2概述概述 1 有有限限差差分分方方法法使使是是以以有有限限差差分分代代替替无无限限微微分分、以以差差分分代代数数方方程程代代替替微微分分方方程程、以以数数值值计计算算代代替替数数学学推推导导的的过过程程，从从而而将将连连续续函函数数离离散散化化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。主要步骤：主要步骤：1 1）构

23、构成成差差分分格格式式。首首先先选选择择网网格格布布局局、差差分分形形式式和和步步长长；其其次次，以以有限差分代替无限微分。有限差分代替无限微分。2 2）求求解解差差分分方方程程。精精确确法法，又又称称直直接接法法，即即消消元元法法；近近似似法法，又称间接法，即迭代法。又称间接法，即迭代法。3 3）对所得的数值解进行）对所得的数值解进行精度与收敛性分析和检验精度与收敛性分析和检验。现在学习的是第23页，共36页2差分方程的建立差分方程的建立22.1 2.1 有限差分法有限差分法yxxyi，j+1i+1，ji，ji-1，ji，j-1O1.1.合理选择网格布局及步长合理选择网格布局及步长 将将求求

24、解解区区域域内内连连续续变变化化的的自自变变量量离离散散化化，形形成成离离散散化化网网格格。网网格格交交点点称称为为结结点点，区区域域内内函函数数被被离离散散化化。将将离离散散化化后后各各相相邻邻离离散散点点之之间间的的距距离离，或或离散化单元的长度称为步长。离散化单元的长度称为步长。2.2.将微分方程转化为差分方程将微分方程转化为差分方程(1)(1)差差分分 某某物物理理量量的的有有限限增增量量，分分向向前前差差分分、向向后后差差分分和和中中心心差差分三种。分三种。(2)(2)差商差商 差商为函数的差分与自变量差分之比。差商为函数的差分与自变量差分之比。现在学习的是第24页，共36页2差分方

25、程的求解方法差分方程的求解方法32.1 2.1 有限差分法有限差分法v直接法：直接法：矩阵法、矩阵法、GaussGauss消元法、消元法、主元素消元主元素消元法法v间接法：间接法：JocobiJocobi迭代法、迭代法、SeidelSeidel迭代法和超松迭代法和超松弛弛(SOR)(SOR)迭代法迭代法现在学习的是第25页，共36页2.2 2.2 有限元法有限元法有限元法的要点：有限元法的要点：v将将一一个个表表示示结结构构或或连连续续体体的的求求解解域域离离散散为为若若干干个个子子域域（单单元元），并并通通过过他他们们边边界界上上的的结结点点相相互互联联结结成成为为组组合合体。体。v用用每每

26、个个单单元元内内所所假假设设的的近近似似函函数数来来分分片片地地表表示示全全求求解解域域内内待求的未知场变量。待求的未知场变量。v通通过过和和原原问问题题数数学学模模型型（基基本本方方程程、边边界界条条件件）等等效效的的变变分分原原理理或或加加权权余余量量法法，建建立立求求解解基基本本未未知知量量(场场函函数数的的结点值结点值)的代数方程组或常微分方程组。的代数方程组或常微分方程组。现在学习的是第26页，共36页有限元分析的基本思想有限元分析的基本思想:把把连连续续的的几几何何结结构构离离散散成成有有限限个个单单元元的的集集合合体体，并并在在每每一一个个单单元元中中设设定定有有限限个个节节点点

27、，从从而而将将连连续续体体看看作作仅仅在在节节点点处处相相连连接接的的一一组组单单元元的的集集合合体体；同同时时选选定定场场函函数数的的节节点点值值作作为为基基本本未未知知量量，并并在在每每一一单单元元中中假假设设一一近近似似插插值值函函数数以以表表示示单单元元中中场场函函数数的的分分布布规规律律，再再建建立立用用于于求求解解节节点点未未知知量量的的有有限限元元方方程程组组，从从而而将将一一个个连连续续域域中中的的无无限限自自由由度度问问题题化化为为离离散散域域中中的的有有限限自自由由度度问问题题，求求解解得得到到节节点点值值后后就就可可以以通通过过设设定定的的插插值值函函数数确确定定单单元元

28、上上以以致致整整个个集集合合体体上上的的场函数。运用有限元法可以模拟和逼近复杂的求解域。场函数。运用有限元法可以模拟和逼近复杂的求解域。2.2 2.2 有限元法有限元法现在学习的是第27页，共36页ANSYSANSYS有限元分析的典型步骤：有限元分析的典型步骤：1 1）利利用用前前处处理理模模块块，建建立立有有限限元元模模型型，包包括括（1 1）定定义义单单元元类类型型，（3 3）定定义义实实常常数数，（4 4）定定义义材材料料属属性性，（5 5）建建立立几几何何模模型型，（6 6）对对几几何何模模型型划划分分网网格格；2 2）利利用用求求解解模模块块进进行行加加载载和和计计算算；3 3）利利

29、用用后后处处理理模模块块查查看结果，对结果图形显示和输出。看结果，对结果图形显示和输出。2.2 2.2 有限元法有限元法现在学习的是第28页，共36页2有限元法的基本概念有限元法的基本概念-直接刚度法直接刚度法12.2 2.2 有限元法有限元法通通过过一一个个例例子子来来介介绍绍直直接接刚刚度度法法，说说明明有有限限元元法法求求解的一般步骤。解的一般步骤。例例：考考虑虑一一个个变变截截面面杆杆，如如图图示示。杆杆的的一一端端固固定定，另另一一端端承承受受P=1000NP=1000N的的载载荷荷，杆杆的的顶顶部部宽宽w1=2cmw1=2cm，杆杆的的底底部部宽宽w2=1cmw2=1cm，杆杆 的

30、的 厚厚 度度t=0.125cmt=0.125cm，长长 度度L=10cmL=10cm，杆杆 的的 弹弹 性性 模模 量量E=10.4105MPaE=10.4105MPa。试试分分析析该该杆杆沿沿长长度度方方向向不不同同位位置置的的变形情况，质量忽略不计。变形情况，质量忽略不计。1.1.前处理过程前处理过程(1)(1)求解区域离散化求解区域离散化将求解的问题分解为结点和单元将求解的问题分解为结点和单元现在学习的是第29页，共36页3.2 3.2 数学建模数学建模软件件简介介2.2 2.2 有限元法有限元法(2)(2)建立单元位移方程建立单元位移方程 先先考考虑虑一一截截均均一一长长度度为为l、

31、截截面面为为A A的固体单元受外力的固体单元受外力F F的变形情况。的变形情况。以以弹弹簧簧的的变变形形来来模模拟拟固固体体单单元元的的变形，等价刚度为：变形，等价刚度为：keq=AE/l前前面面问问题题可可近近似似将将杆杆模模型型化化为为不不同同截截面面的的等等截截面面杆杆的的串串联联。杆杆在在顶顶端端固固定定，静静态态平平衡衡时时，可可获获得得如如下下方程：方程：1 0 0 0 0-k1 k1+k2 -k2 0 00 -k2 k2+k3 -k3 00 0 -k3 k3+k4 -k40 0 0 -k4 k4u1u2u3u4u50000P=现在学习的是第30页，共36页2.2 2.2 有限元法

32、有限元法(3)(3)建立单元刚度方程建立单元刚度方程 每每个个单单元元有有两两个个结结点点，每每个个结结点点可可建建立立两两个个方方程程。方方程程包包含含结结点点位位移移和和单单元元的的刚刚度度。结结点点i i和和i+1i+1处可有方程：处可有方程：(4)(4)单元集成单元集成将将上上式式用用于于所所有有单单元元，进进行行集集成成，得得到到总总体体刚刚度度矩矩阵：阵：keq -keq-keq keqfifi+1uiui+1=k1 -k1 0 0 0-k1 k1+k2 -k2 0 00 -k2 k2+k3 -k3 00 0 -k3 k3+k4 -k40 0 0 -k4 k4=K(G)(5)(5)

33、施加边界条件和载荷施加边界条件和载荷2.2.求解阶段求解阶段3.3.后处理阶段后处理阶段现在学习的是第31页，共36页(一一)加权余量法加权余量法工工程程或或物物理理学学中中的的许许多多问问题题，通通常常是是以以未未知知场场函函数数应应满满足足的的微微分分方方程程和和边边界界条条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u u应满足微分方程组：应满足微分方程组：2.2 2.2 有限元法有限元法2有限元法的基本理论有限元法的基本理论2域域可可以以是是体体积积域域，面面积积域域等等，如如图图示示，同同时时未未知知函函数数u u还还应应满满足足边边界界条条件

34、：件：是域是域的边界的边界(2-1)(2-1)(2-2)(2-2)现在学习的是第32页，共36页2.2 2.2 有限元法有限元法要要求求解解得得未未知知函函数数u u可可以以是是标标量量场场（如如温温度度场场），也也可可是是几几个个变变量量组组成成的的向向量量场场（如如位位移移、应应变变、应应力力等等）。A A、B B是是对对于于独独立立变变量量的的微微分分算算子子。微微分分方方程组是（程组是（2-12-1）在域）在域中每一点都必须为零，因此：中每一点都必须为零，因此：(2-3)(2-3)其中其中V V是是函函数数向向量量，它它是是和和微微分分方方程程个个数数相相等等的的任任意意函函数。数。同

35、同理理，假假如如边边界界条条件件式式（2-22-2）也也同同时时在在边边界界上上的的每每一一点点都都得得到到满满足足，对对于于一一组组任意函数任意函数V V应有：应有：(2-4)(2-4)因此若积分形式因此若积分形式对于所有的对于所有的V V和和V V都成立，式（都成立，式（2-52-5）称为微分方程的等效积分形式。）称为微分方程的等效积分形式。(2-5)(2-5)现在学习的是第33页，共36页2.2 2.2 有限元法有限元法对对于于微微分分方方程程式式（2-12-1）和和边边界界条条件件式式（2-22-2）所所表表达达的的物物理理问问题题，未未知知函函数数u u可可以以用用近近似似函函数数来

36、来表表示示。近近似似函函数数是是一一族族带带有有待待定定参参数数的的已已知知函函数数，一般形式是：一般形式是：(2-6)(2-6)式中，式中，aiai是待定参数，是待定参数，NiNi是称为试探函数的已知函数。是称为试探函数的已知函数。在式（在式（2-52-5）中，用）中，用n n个规定函数来代替任意函数个规定函数来代替任意函数V V和和V V，即：，即：(2-7)(2-7)可以得到近似的等效积分形式：可以得到近似的等效积分形式：权函数权函数采采用用使使余余量量的的加加权权积积分分为为零零的的方方法法来来求求微微分分方方程程的的近近似似解解的的方方法法称称为为加权余量法加权余量法。(2-8)(2

37、-8)现在学习的是第34页，共36页2.2 2.2 有限元法有限元法按照对权函数的不同选择，加权余量法分为以下几种：按照对权函数的不同选择，加权余量法分为以下几种：1.1.配点法配点法若域若域是独立坐标是独立坐标x x的函数，的函数，(x-xj)(x-xj)则有如下性质：当则有如下性质：当xxjxxj时，时，Wj=0Wj=0，有，有这这种种方方法法相相当当于于简简单单地地强强迫迫余余量在域内量在域内n n个点上等于零。个点上等于零。2.2.子域法子域法在在n n个个子子域域jj内内Wj=IWj=I，在在子子域域jj以以外外Wj=0Wj=0。此此方方法法的的实实质质是是强强迫迫余余量量在在n n个子域个子域jj的积分为零。的积分为零。3.3.最小二乘法最小二乘法近似解取近似解取 则权函数则权函数此方法是使得函数此方法是使得函数取最小值取最小值现在学习的是第35页，共36页2ANSYS程序介绍程序介绍52.2 2.2 有限元法有限元法现在学习的是第36页，共36页