矩阵的标准型 (2).ppt

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1、关于矩阵的标准型(2)现在学习的是第1页，共68页 标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵代表矩阵”的问题。的问题。“代表矩阵代表矩阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵，当然越简单越好。对于可对角化矩阵，“代表矩

2、阵代表矩阵”就是就是特征值组成的对角矩阵。但是令人非常遗憾的是：特征值组成的对角矩阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对一般矩阵未必与对角矩阵相似！角矩阵相似！现在学习的是第2页，共68页预备知识：预备知识：v若存在多项式若存在多项式h()，使得，使得f()=d()h()，称称d()整除整除f()，用用d()|f()表示；表示；v设f()与g()为数域P上的两个一元多项式，若存在d()满足d()|f()，d()|g()，称，称d()为为f()与与g()的的公因式公因式；v若若f()与与g()的任一公因式都是的任一公因式都是d()的因式；称的因式；称d()为f()与与g()的的最大公因式，并

3、用（f()，g()）表示）表示f()与与g()的的首项首项系数为系数为1的最大公因式的最大公因式.现在学习的是第3页，共68页2 矩阵及其在相抵下的标准型矩阵及其在相抵下的标准型 由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退而求其次退而求其次”，寻找，寻找“几乎对角的几乎对角的”矩阵。这就引出了矩阵在相似下矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中的各种标准型问题，其中Jordan标准型是标准型是最接近对角的矩最接近对角的矩阵阵，只在第只在第1条对角线上取条对角线上取1或或0。弄清楚了矩阵相似的本。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上以及应用上的许

4、多问题就容易处质，理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也大了。理了，当然花费也大了。现在学习的是第4页，共68页定义定义1 1 元素为元素为 的多项式的矩阵称为的多项式的矩阵称为-矩矩阵阵，记为，记为A()。即即A()=(aij()m n(i=1,2,m;j=1,2,.n),其中其中aij()是数域是数域P上的多项式。多项式上的多项式。多项式aij()的最高次数称为的最高次数称为A()的的次数次数，数域数域P上全体上全体m n的-矩阵记为记为P m n.注：注：数字矩阵是数字矩阵是-矩矩阵的特例。阵的特例。数字矩阵数字矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 I-A是是1次次-矩矩阵。阵

5、。1.矩阵的基本概念矩阵的基本概念现在学习的是第5页，共68页 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵的对应运算矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵的对应运算有相同的运算定律。有相同的运算定律。数字矩阵行列式的定义也可应用到数字矩阵行列式的定义也可应用到 矩阵，且性质相同矩阵，且性质相同。n阶阶 矩阵的行列式是矩阵的行列式是 的多项式，且满足的多项式，且满足|A()B()|=|A()|B()|现在学习的是第6页，共68页定义定义2 设A()P m n，如果A()中有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为rank(A()=rv数字矩阵数字矩阵A的特征矩阵的

6、特征矩阵 I-A是是 的的n次行列式，所以是次行列式，所以是满秩的。满秩的。矩阵的秩矩阵的秩现在学习的是第7页，共68页 定义3 设A()P m n，如果存在一个存在一个n阶阶 矩阵B()使得 A()B()=B()A()=I 则称A()可逆，B()为A()的逆矩阵记作的逆矩阵记作A()-1。定理1 设设A()P m n，A()可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A()|是非零常是非零常数数。矩阵的逆矩阵的逆现在学习的是第8页，共68页 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义4 4 初等变换初等变换(1)对换两行（列）；对换两行（列）；(2)某行（列）乘上非零的常数某行（列）乘上非零的常数k；(3)

7、某一行某一行(列列)的的()倍加到另一行，其中倍加到另一行，其中()是是 的多项式的多项式对应三种初等变换，有三种初等矩阵对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k),P(i,j()(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵;(2)初等矩阵都是可逆的：初等矩阵都是可逆的：P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k)-1=P(i(k-1)，P(i,j()-1=P(i,j(-)现在学习的是第9页，共68页相抵（等价）相抵（等价）定义定义5 设设A(),B()P m n，若若A()经有限次行、列初等变换经有限次行、

8、列初等变换化为化为B(),称称A()与与B()相抵相抵（等价）（等价），记为，记为A()B()定理定理2 设设A(),B()P m n，A()与与B()相抵的充要条件是存相抵的充要条件是存在在m阶初等矩阵阶初等矩阵P1(),P2(),Pl(),与与n阶初等矩阵阶初等矩阵 Q1(),Q2(),Qt(),，使得，使得 A()=Pl()P1()B()Q1()Q2()Qt()现在学习的是第10页，共68页3.矩阵在相抵下的标准型矩阵在相抵下的标准型定义定义6 该标准型称为该标准型称为A()在在相抵下的标准型或相抵下的标准型或Smith标准型；标准型；称称smith标准型标准型“主对角线主对角线”上非零

9、元上非零元d1(),d2(),dr()为为A()的的不变不变因子因子定理定理 对任意一个秩为对任意一个秩为r的的m n 阶阶-阵阵A()，都相抵于一个标准型，都相抵于一个标准型di()为首项系数为为首项系数为1的的 多项式，且多项式，且di()|di+1()现在学习的是第11页，共68页例例1 求求矩阵矩阵的Smith标准形 解题思路：经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有的元素。现在学习的是第12页，共68页 解解:现在学习的是第13页，共68页 不变因子：不变因子：现在学习的是第14页，共68页将其化成将其化成Smith标准形标准形。例例2

10、现在学习的是第15页，共68页解：解：现在学习的是第16页，共68页现在学习的是第17页，共68页3 矩阵的行列式因子和初等因子定义1 设A()P m n，且rank(A()=r，对于正整数k(1k r),A()中的全部k阶子式的最大公因式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().定理定理1 相抵的相抵的 矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子因子现在学习的是第18页，共68页例1 求求 矩阵矩阵的各阶行列式因子。现在学习的是第19页，共68页解 由于由于(+1)2,)=1,所以所以D1()=1最后最后 D3()=det(A()=2(+1)3现在学习的是第20页，

11、共68页 行列式因子和不变因子的关系设 矩阵A()的Smith标准形为其中其中di()(i=1,2r)是首项系数是是首项系数是1的不变因子，的不变因子，现在学习的是第21页，共68页则A()的各阶行列式因子如下：于是Di()|Di+1()，(i=1,2,r-1)di+1()=Di+1()/Di(),(i=1,2,r-1)定理2 矩阵A()的Smith标准型唯一。定理3 设A(),B()P m n，A()与B()相抵的充要条件是它们有相同的行列式因子，或它们有相同的不变因子。现在学习的是第22页，共68页例2 求下列 矩阵的行列式因子和不变因子 一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂，但对一些特

12、殊的矩阵先求行列式因子再求不变因子反而简单。其中 i是数域P中的常数。现在学习的是第23页，共68页解 由于由于A()的一个的一个m-1阶子式阶子式 故故Dm-1()=1,根据行列式因子的依次整除性，有根据行列式因子的依次整除性，有 D1()=D2()=Dm-2()=1 而而Dm()=(-i)m，因此，因此A()的不变因子为的不变因子为 d1()=d2()=dm-1()=1,dm()=(-i)m现在学习的是第24页，共68页 设设 矩阵矩阵A()的不变因子为的不变因子为d1(),d2(),dr()，在复数域内将它们，在复数域内将它们分解成一次因式的乘积分解成一次因式的乘积其中，其中，1 s是互

13、异的复数，是互异的复数，eij是非负整数，满足是非负整数，满足初等因子初等因子现在学习的是第25页，共68页定义定义2 在不变因子的分解式中，所有指数大于在不变因子的分解式中，所有指数大于0的因子的因子称为称为 矩阵矩阵A()的初等因子。的初等因子。注：注：在在A()的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确定的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确定现在学习的是第26页，共68页例3 如果如果 矩阵矩阵A()的不变因子为的不变因子为则则A()的初等因子为的初等因子为,2,-1,(-1)2,(-1)3,(+1)2,(+1)3,-2现在学习的是第27页，共68页 反过来，如果知道了A()的秩和

14、初等因子，因为A()的秩确定了不变因子的个数，则同一个一次因式的方幂做成的初等因子中，方次最高的必在dr()的分解中，方次次高的必在dr-1()的分解中，如此顺推，可知属于同一一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中唯一确定。现在学习的是第28页，共68页例如 如果A()的秩为4，且其初等因子为则A()的不变因子依次不变因子依次为为d4()=2(-1)3(-i)3(+i)3d3()=(-1)2,d2()=(-1),d1()=1,2,-1,(-1)2,(-1)3,(-i)2,(+i)3现在学习的是第29页，共68页定理定理7 设设 矩阵矩阵为块对角形矩阵，则B()与C()的初等因子的全体是A

15、()的全部初等因子。v该定理可以推广到n个分块的情形定理定理6 设设A(),B()P m n，A()与与B()相抵的充要条件是相抵的充要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子。它们有相同的秩和相同的初等因子。现在学习的是第30页，共68页例4 求的Smith标准型现在学习的是第31页，共68页解 记那么现在学习的是第32页，共68页因为 A1()的初等因子为 ,+1;A2()的初等因子为 ,A3()的初等因子为,-1,+1；由上面的定理可知A()的初等因子为 所以A()的不变因子为,-1,+1,+1d4()=(-1)(+1),d3()=(+1)d2()=,d1()=1现在学习的是第33页，共68

16、页因此A()的Smith标准形为现在学习的是第34页，共68页4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件.定理定理1 数字方阵数字方阵A与与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 E-A与与 E-B相抵。相抵。定义定义1 n阶数字方阵阶数字方阵A的特征矩阵的特征矩阵 E-A的行列式因子，不变因的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为子和初等因子分别称为矩阵矩阵A的行列式因子，不变因子和初的行列式因子，不变因子和初等因子。等因子。现在学习的是第35页，共68页4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件.定理定理2 n阶数字方阵阶数字方阵A与与B相似的充分必要条件是他们满足如下相似的充

17、分必要条件是他们满足如下条件之一：条件之一：（1）它们有相同的）它们有相同的行列式因子，行列式因子，（2）它们有相同的不变因子）它们有相同的不变因子,（3）它们有相同的初等因子。）它们有相同的初等因子。现在学习的是第36页，共68页5 矩阵的矩阵的Jordan标准型标准型定义定义1 称方阵称方阵为为 阶阶Jordan 块。块。由若干个由若干个Jordan 块组成的块对角矩阵块组成的块对角矩阵称为称为Jordan 形矩阵。形矩阵。现在学习的是第37页，共68页ni 阶阶Jordan 块块Ji的性质：的性质：（1）Ji由有唯一的特征值由有唯一的特征值 i（2）特征值）特征值 i的几何重数为的几何重

18、数为1，代数重数为，代数重数为ni（3）Ji 有唯一的初等因子有唯一的初等因子 ；Jordan 块块Ji的性质的性质对应于特征值对应于特征值 仅有一个仅有一个线性无关的特征向量线性无关的特征向量现在学习的是第38页，共68页（4）Jordan 块块Ji的性质的性质v可使用归纳法证明可使用归纳法证明现在学习的是第39页，共68页设Jordan形矩阵其中，Ji=Ji(i)是ni阶阶Jordan块，则块，则（1）J的初等因子为的初等因子为（2）J恰有恰有s个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；注：注：Jordan形矩阵的全部初等因子由它的全部形矩阵的全部初等因子由它的全部Jordan块的初等因

19、子块的初等因子决定决定，因此，因此Jordan形矩阵除去其中形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外被它的块的排列次序外被它的初等因子初等因子唯一决定。唯一决定。现在学习的是第40页，共68页定理定理1 设设 ，则则A可经过相似变换可化成唯一的可经过相似变换可化成唯一的 Jordan形形矩阵矩阵(不计不计Jordan块的排列次序块的排列次序)，称该，称该Jordan形矩阵形矩阵为为A的的Jordan标准型标准型.Ji(i)为为A的对应的对应初等因子初等因子 -i的的Jordan块块现在学习的是第41页，共68页求方阵求方阵的的Jordan标准形。标准形。例例1现在学习的是第42页，共68页解：

20、首先用初等变换法求其首先用初等变换法求其Jordan标准形：标准形：故故 A 的初等因子为的初等因子为-1,(-1)2从而从而A的的Jordan标准形为标准形为 或v初等因子法的缺点是初等因子法的缺点是不能求出相似变换矩阵不能求出相似变换矩阵。现在学习的是第43页，共68页定理定理2 设设T是复数域上是复数域上n维线性空间维线性空间V的线性变换，则在的线性变换，则在V中存中存在一组基使得在一组基使得T在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 Jordan形矩阵。形矩阵。定理定理3 设设A Cn n，则，则A于一个对角阵相似的充要条件是于一个对角阵相似的充要条件是A的初的初等因子都是一次的。等因子都

21、是一次的。现在学习的是第44页，共68页求相似变换矩阵的步骤求相似变换矩阵的步骤 由由定定理理1知知道道，方方阵阵与与标标准准型型J 是是相相似似的的，即即存存在在可可逆逆矩矩阵阵P，使得：，使得：A=PJP-1，即，即AP=PJ,求法如下：求法如下：设即即现在学习的是第45页，共68页所以所以：解方程并选择适当的解方程并选择适当的 即得。即得。现在学习的是第46页，共68页求方阵求方阵的相似变换矩阵的相似变换矩阵。例例2现在学习的是第47页，共68页解：解：由例由例1知，矩阵的知，矩阵的Jordan标准型为标准型为求相似变换矩阵：求相似变换矩阵：设所求矩阵为设所求矩阵为P，则，则AP=PJ，

22、对于，对于P 按列分块记为按列分块记为现在学习的是第48页，共68页从而：从而：现在学习的是第49页，共68页整理后得三个方程组为：整理后得三个方程组为：前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：系：现在学习的是第50页，共68页 这是因为如果这是因为如果p2 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令：选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令：p2=k1 1+k2 2将将 其代入第三个方程，选取适当的其代入第三个方程，选取适当的k1，k2使使(I-A)p3=-(k1 1+k2 2)有解。有解。可以取可以取p1=1,但不能

23、简单取但不能简单取p2=2.现在学习的是第51页，共68页根据非齐次方程有解的条件：根据非齐次方程有解的条件：系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而，从而应该使得增广矩阵的秩为应该使得增广矩阵的秩为1 令令k1=k2=1，由此得，由此得现在学习的是第52页，共68页那么所求相似变换矩阵为那么所求相似变换矩阵为现在学习的是第53页，共68页三、三、Jordan标准形的某些应用标准形的某些应用对于方阵对于方阵A，求，求An,若若A=P-1JP,An=P-1JnP应用：应用：1）一阶差分方程）一阶差分方程Uk+1=AU

24、k=AkU0,例如：例如：Fibonacci数列数列Fk+2=Fk+1+Fk,写成写成Uk+1=AUk形式形式现在学习的是第54页，共68页三、三、Jordan标准形的某些应用标准形的某些应用这是一个动态问题，特征值决定增长速度，是无限增长这是一个动态问题，特征值决定增长速度，是无限增长还是趋于稳定还是趋于稳定An0，称，称A是稳定的，是稳定的，如果所有的特征值如果所有的特征值1,且且A有有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，则则A是稳定的。是稳定的。现在学习的是第55页，共68页三、三、Jordan标准形的某些应用标准形的某些应用例例3 对于方阵对于方阵求A10解：解：由例由例1知

25、，矩阵的知，矩阵的Jordan标准型为标准型为现在学习的是第56页，共68页由例由例2知，矩阵的相似变换矩阵为知，矩阵的相似变换矩阵为现在学习的是第57页，共68页从而从而现在学习的是第58页，共68页6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式定理与最小多项式定义1 任给数域 P 上一个n 级矩阵 A，若存在数域 P 上一个多项式 f(x)，使 f(A)=0，则称 f(x)是以 A 为根的多项式.（或称为A的化零多项式）定理1 Cayley-Hamilton定理定理设 A 是数域 P 上一个 n n 矩阵，f()=|E-A|是 A 的特征多项式，则f(A)=An-(a11+a22+an

26、n)An-1+(-1)n|A|E=0 现在学习的是第59页，共68页最小多项式最小多项式定义3 首项系数为 1、次数最低的以 A 为根的多项式称为 A 的最小多项式.注意：1.1.矩阵矩阵A A的特征多项式就是的特征多项式就是A A的化零多项式；的化零多项式；2.2.化零多项式不唯一化零多项式不唯一3.3.矩阵矩阵A A的特征多项式未必是最小多项式的特征多项式未必是最小多项式现在学习的是第60页，共68页最小多项式最小多项式定理2 设 A 是数域 P 上一个 n 阶矩阵，设 m()是A的最小多项式，()是 A 的任一化零多项式,则1.A的最小多项式唯一；2.m()能整除能整除()，特别地，m(

27、)能整除A的特征多项式f();3.3.0是A的特征值的充要条件是m(0)=0;现在学习的是第61页，共68页事实上，如果矩阵 A 与 B 相似：B=T-1AT，那么对任一多项式 f(x)，f(B)=T-1f(A)T.因此，f(B)=0f(A)=0这说明相似矩阵有相同的最小多项式.vv 反之不然；即，最小多项式相同的矩阵不一定是相似；反之不然；即，最小多项式相同的矩阵不一定是相似；定理3 相似矩阵有相同的最小多项式相似矩阵有相同的最小多项式.现在学习的是第62页，共68页求矩阵求矩阵A A的最小多项式的步骤：的最小多项式的步骤：步骤1 写出矩阵 A的特征多项式f f(x x)=|)=|xExE-

28、A A|;|;步骤2 找出f f(x x)的所有因式；步骤3 得出矩阵 A的最小多项式.现在学习的是第63页，共68页例1 设求 A 的最小多项式.现在学习的是第64页，共68页解因为 A 的特征多项式为|xE-A|=(x-1)3.所以 A 的最小多项式为(x-1)3 的因式.因此 A 的最小多项式为(x-1)2.又又 现在学习的是第65页，共68页定理4 设设 A A 是一个准对角矩阵是一个准对角矩阵并设并设 A Ai i 的最小多项式为的最小多项式为 g gi i(x x)，i i=1,2,=1,2,s s，那么，那么 A A 的最小多项式的最小多项式为为 g g1 1(x x)g gs

29、s(x x)的最小公倍式的最小公倍式 g g1 1(x x)，g gs s(x x).).现在学习的是第66页，共68页定理5 n 阶复矩阵阶复矩阵A的最小多项式就是的最小多项式就是A的最后一个不变因子的最后一个不变因子dn()。定理6 n 阶复矩阵阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 的最小的最小多项式没有重根。多项式没有重根。例2 设n级复矩阵A满足：A2=A,称A为幂等矩阵证明：A必与对角阵相似.证：证：A的化零多项式()=2-，由定理2，A的最小多项式m()整除()，()没有重根，所以m()=0 也没有重根，由定理6，A相似于对角阵。现在学习的是第67页，共68页感谢大家观看现在学习的是第68页，共68页