定积分的分部积分法讲稿.ppt

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1、关于定积分的分部积分法第一页，讲稿共二十七页哦第一节 定积分的概念 一、定积分问题举例 1曲边梯形的面积 图6-1所围成的平 面图形称为曲边梯形,如图6-1.求其面积的四个 步骤：(1)分割 任取分点把底边分成个小区间.(2)取近似(3)求和(4)取极限 第二页，讲稿共二十七页哦要计算这段时间内所走的路程 (3)求和 二 定积分的定义2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动，上的连续函数，(1)分割 任取分点,(2)取近似(4)取极限 设函数上有定义,任取分点=1,2,n），记 ,第三页，讲稿共二十七页哦在每个小区间上任取一点 作乘积 的和式：上述和式的极限存在，则称此极限值为函数 在区间 上

2、的定积分定积分，（此时，也称）记为根据这个定义，两个实际问题都可用定积分表示为：曲边梯形的面积 变速运动路程 第四页，讲稿共二十七页哦三三 定积分的几何意义图形在 轴之上，积分值为正，有 图形在 轴下方，积分值为负，即 则积分值就等于曲线 在 轴上方的部分 与下方部分面积的代数和，如图62所示，有图62四 定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 第五页，讲稿共二十七页哦 性质5 则性质6 则至少存在一点使得 例 估计定积分 的值 解 先求 在1，1上的最大值和最小值得驻点 在驻点及区间端点处的函数值，故最大值 最小值 由估值定理得，第六页，讲稿共二十七页哦 习习 题题 6-11利用定积分

3、的几何意义，说明：2利用定积分的几何意义，求下列定积分3利用定积分估值定理，估值定积分 的值 第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分第七页，讲稿共二十七页哦 通常称函数为变上限积分函数变上限积分函数或变上限积分变上限积分定理定理1 如果函数 则变上限积分 推论推论 连续函数的原函数一定存在例例1 计算 解 因为 故 第八页，讲稿共二十七页哦 例例2 求下列函数的导数：解 设 例3 求 解 二、牛顿莱布尼茨公式定理2 设函数 第九页，讲稿共二十七页哦 则有上式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式 为方便起见，常记作例4 求定积分解1第十页，讲稿共二十七页哦 习 题 6-21计算2计算下列

4、各定积分第三节 定积分的换元法例1 求 解法1 第十一页，讲稿共二十七页哦 于是 解法2 设 于是 一般地，定积分换元法可叙述如下：,且当 例1 求 于是第十二页，讲稿共二十七页哦 例2 求 于是,例3 求 于是 第十三页，讲稿共二十七页哦 例4 求 由定积分换元法，得于是第十四页，讲稿共二十七页哦于是 例6 求 例7 证明 证 比较两边被积函数，可以看出，于是第十五页，讲稿共二十七页哦 习 题 6-3 1计算下列定积分2利用函数的奇偶性计算下列定积分：3证明 第四节 定积分的分部积分法这就是定积分的分部积分法例1 第十六页，讲稿共二十七页哦 例2 求 例3 求 这样依次进行下去第十七页，讲稿

5、共二十七页哦当n为奇数时，当n为偶数时，这个公式称为递推公式例4 求 习 题 6-4计算下列定积分第十八页，讲稿共二十七页哦 第五节 广义积分一、无究区间上的广义积分定义1 设函数 我们把极限 上的广义积分，记为若极限存在，称广义积分 收敛；若极限不存在，则称 发散 类似地，可以定义在 上的广义积分为上的广义积分定义为其中c为任意常数，当右边的两个广义积分都收敛时，广义积分 才是收敛的，否 则是发散的第十九页，讲稿共二十七页哦例1 计算广义积分 解 例2 讨论 的敛散性 解 所以 发散例3 计算广义积分 解 例4 讨论 的敛散性.解当p1时，（收敛）；当p1时（发散）；第二十页，讲稿共二十七页

6、哦 当p1时，（发散），综上，二、无界函数的广义积分取0，称极限 的广义积分，记为若该极限存在，则称广义积分 收敛；若极限不存在，则称 发散 类似地，当 的无穷间断点时，即 上的广义积分定义为：第二十一页，讲稿共二十七页哦 当无穷间断点 位于区间 内部时，则定义广义积分 为：上式右端两个积分均为广义积分，当这两个广义积分都收敛时，才称 是收敛的，否则，称是发散的上述无界函数的积分也称瑕积分例5 求广义积分 解 因为 被积函数的无穷间断点，于是例6 证明广义积分 当p1时收敛，当p1时发散证p1时，（收敛）；当p1时，（发散）；第二十二页，讲稿共二十七页哦当p1时，（发散）因此，当p1时，此广义

7、积分收敛，其值为 当p1时，广义积分发散复复 习习 题题 六六一、填空题的极小值为的取值范围为;第二十三页，讲稿共二十七页哦 二、单项选择题为连续函数，则积分 A与，s，t有关;B与t，C与s，t有关;D仅与 有关.A0;B0 ;C0;D0.A充分条件;B必要条件;C充分必要条件;D无关条件.为连续函数，则下列各式正确的是（）第二十四页，讲稿共二十七页哦 A2;B1;C1;D2.A0;B2;C1;D1.A0;B1;C2;D3.A必要条件;B充分条件;C充分必要条件;D无关条件.11下列广义积分收敛的是（）第二十五页，讲稿共二十七页哦.A0;三、计算题第二十六页，讲稿共二十七页哦感谢大家观看第二十七页，讲稿共二十七页哦