正余弦定理应用举例精选PPT.ppt

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1、关于正余弦定理应用举例第1页，讲稿共54张，创作于星期二问题提出问题提出1.1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？第2页，讲稿共54张，创作于星期二2.2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？型的三角形？正弦定理：一边两角或两边与对角；正弦定理：一边两角或两边与对角；余弦定理：两边与夹角或三边余弦定理：两边与夹角或三边.3.3.在平面几何中，两点间的距离就是连接在平面几何中，两点间的距离就是连接这两点的线段长这两点的线段长.对于不可以直接度量的对于不可以直接度量的两点间的距离，通常用什么办法进行计算两点间的距离，通

2、常用什么办法进行计算？构造三角形构造三角形第3页，讲稿共54张，创作于星期二4.4.在测量问题中，对于可到达的点之间的距在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直接度量，对于不可到达的两点间离，一般直接度量，对于不可到达的两点间的距离，常在特定情境下通过解三角形进行的距离，常在特定情境下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例分析计算，我们将对这类问题作些实例分析.第4页，讲稿共54张，创作于星期二第5页，讲稿共54张，创作于星期二探究（一）：一个不可到达点的距离测量探究（一）：一个不可到达点的距离测量思考思考1 1：如图，设如图，设A A、B B两点在河的两岸，两点在河的两岸，测量

3、者在点测量者在点A A的同侧，在点的同侧，在点A A所在河岸边所在河岸边选定一点选定一点C C，若测出，若测出A A、C C的距离是的距离是55m55m，BAC=51BAC=51，ACB=75ACB=75，如何求出，如何求出A A、B B两点的距离？两点的距离？C CA AB B第6页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考2 2：若改变点若改变点C C的位置，哪些相关数的位置，哪些相关数据可能会发生变化？对计算据可能会发生变化？对计算A A、B B两点的距两点的距离是否有影响？离是否有影响？C CA AB B第7页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考3 3：一般地，若一般地，若A A为可到达点，

4、为可到达点，B B为不可为不可到达点，应如何设计测量方案计算到达点，应如何设计测量方案计算A A、B B两点两点的距离？的距离？C CA AB B选定一个可到达点选定一个可到达点C C；测量测量ACAC的距离及的距离及BACBAC，ACBACB的大小的大小 利用正弦定理求利用正弦定理求ABAB的距离的距离.第8页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考4 4：根据上述测量方案设置相关数据，根据上述测量方案设置相关数据，计算计算A A、B B两点的距离公式是什么？两点的距离公式是什么？C CA AB B设设AC=dAC=d，ACB=ACB=，BAC=.BAC=.第9页，讲稿共54张，创作于星期二探究

5、（二）：两个不可到达点的距离测量探究（二）：两个不可到达点的距离测量思考思考1 1：如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，已知中，已知BACBACDBCDBC4545，DACDAC7575，ABDABD3030，且，且ABAB ，你能求出，你能求出CDCD边的长吗？边的长吗？A AB BC CD D3030454545457575第10页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考2 2：设设A A、B B两点都在河的对岸（不可两点都在河的对岸（不可到达），你能设计一个测量方案计算到达），你能设计一个测量方案计算A A、B B两点间的距离吗？两点间的距离吗？C CD DA AB B选定两个可

6、到达点选定两个可到达点C C、D D；测量测量C C、D D间的距离及间的距离及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB的大小；的大小；利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BCBC；利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB.第11页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考3 3：在上述测量方案中，设在上述测量方案中，设CD=aCD=a，ACB=ACB=，ACD=ACD=，BDC=BDC=，ADB=ADB=，那么，那么ACAC和和BCBC的计算公式是什么的计算公式是什么？C CD DA AB B思考思考4 4：测量两个不可到达点之间的距离还测量两个不可到达点之间的距离还有别的测量方法

7、吗？有别的测量方法吗？第12页，讲稿共54张，创作于星期二理论迁移理论迁移 例例 某观测站某观测站C C在城在城A A的南偏西的南偏西2020方向，由方向，由城城A A出发的一条公路沿南偏东出发的一条公路沿南偏东4040方向笔直延伸方向笔直延伸.在在C C处测得公路上处测得公路上B B处有一人与观测站处有一人与观测站C C相距相距31km31km，此人沿公路走了，此人沿公路走了20km20km后到达后到达D D处，测得处，测得C C、D D间间的距离是的距离是21km21km；问这个人还要走多远才能到达；问这个人还要走多远才能到达A A城？城？A AC CB BD D东东北北1515第13页，

8、讲稿共54张，创作于星期二小结作业小结作业1.1.在测量上，根据测量需要适当确定的线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线段叫做基线.基线的选取不唯一，一般基线基线的选取不唯一，一般基线越长，测量的精确度越高越长，测量的精确度越高.2.2.距离测量问题包括一个不可到达点和两距离测量问题包括一个不可到达点和两个不可到达点两种，设计测量方案的基本个不可到达点两种，设计测量方案的基本原则是：能够根据测量所得的数据计算所原则是：能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，其中测量数据与基线的求两点间的距离，其中测量数据与基线的选取有关，计算时需要利用正、余弦定理选取有关，计算时需要利用正、余弦定

9、理.第14页，讲稿共54张，创作于星期二作业：作业：P13P13练习：练习：1 1，2.2.第15页，讲稿共54张，创作于星期二1.2 1.2 应用举例应用举例第二课时第二课时 第16页，讲稿共54张，创作于星期二问题提出问题提出1.1.测量一个可到达点与一个不可到达点之间测量一个可到达点与一个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？的距离，应如何测量和计算？C CA AB B第17页，讲稿共54张，创作于星期二2.2.测量两个不可到达点之间的距离，应如测量两个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？何测量和计算？C CD DA AB B第18页，讲稿共54张，创作于星期二3.3.竖直方向两点

10、间的距离，通常称为高度竖直方向两点间的距离，通常称为高度.如何测量顶部或底部不可到达的物体的高如何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，也是一个值得探究的问题度，也是一个值得探究的问题.第19页，讲稿共54张，创作于星期二第20页，讲稿共54张，创作于星期二探究（一）：利用仰角测量高度探究（一）：利用仰角测量高度思考思考1 1：设设ABAB是一个底部不可到达的竖直是一个底部不可到达的竖直建筑物，建筑物，A A为建筑物的最高点，在水平面为建筑物的最高点，在水平面上取一点上取一点C C，可以测得点，可以测得点A A的仰角，若计的仰角，若计算建筑物算建筑物ABAB的高度，还需解决什么问题的高度，还需解

11、决什么问题？C CA AB B计算计算ACAC的长的长第21页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考2 2：取水平基线取水平基线CDCD，只要测量出哪些数，只要测量出哪些数据就可计算出据就可计算出ACAC的长？的长？C CA AB BD D点点C C、D D观察观察A A的仰角和的仰角和CDCD的长的长 第22页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考3 3：设在点设在点C C、D D出测得出测得A A的仰角分别为的仰角分别为、，CD=aCD=a，测角仪器的高度为，测角仪器的高度为h h，那，那么建筑物高度么建筑物高度ABAB的计算公式是什么？的计算公式是什么？C CA AB BD D第23页，讲稿

12、共54张，创作于星期二思考思考4 4：如图，在山顶上有一座铁塔如图，在山顶上有一座铁塔BCBC，塔顶和塔底都可到达，塔顶和塔底都可到达，A A为地面上一点，通为地面上一点，通过测量哪些数据，可以计算出山顶的高度？过测量哪些数据，可以计算出山顶的高度？A AB BC C第24页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考5 5：设在点设在点A A处测得点处测得点B B、C C的仰角分别的仰角分别为为、，铁塔的高，铁塔的高BC=aBC=a，测角仪的高度，测角仪的高度忽略不计，那么山顶高度忽略不计，那么山顶高度CDCD的计算公式是的计算公式是什么？什么？A AB BC CD D第25页，讲稿共54张，创作于

13、星期二探究（二）：利用俯角测量高度探究（二）：利用俯角测量高度思考思考1 1：飞机的海拔飞行高度是可知的，飞机的海拔飞行高度是可知的，若飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，若飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关键飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关键是求出哪个数据？是求出哪个数据？A A飞机与山顶的海拔差飞机与山顶的海拔差 第26页，讲稿共54张，创作于星期二A AB BC CD D思考思考2 2：如图，设飞机在飞临山顶前，在如图，设飞机在飞临山顶前，在B B、C C两处测得山顶两处测得山顶A A的俯角分别是的俯角分别是、，B B、C C两点的飞行距离为两点的飞

14、行距离为a a，飞机的海拔飞行高度，飞机的海拔飞行高度是是H H，那么山顶的海拔高度，那么山顶的海拔高度h h的计算公式是什的计算公式是什么？么？第27页，讲稿共54张，创作于星期二探究（三）：借助方位角测量高度探究（三）：借助方位角测量高度思考思考1 1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到方向行驶，到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D D在西偏北在西偏北1515方向上，行驶方向上，行驶5km5km后到达后到达B B处，处，测得此山顶在西偏北测得此山顶在西偏北2525方向上，仰角为方向上，仰角为88，根据这些测量数据计算，此山

15、的高度约是，根据这些测量数据计算，此山的高度约是多少？多少？A AB BC CD D东东西西1047m1047m第28页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考2 2：若在若在A A、B B两处测得山顶两处测得山顶D D的仰角分的仰角分别为别为、，从，从A A到到B B的行驶距离为的行驶距离为a a，能否，能否求出此山的高度？求出此山的高度？A AB BC CD D东东西西思考思考3 3：在上述条件下，若在在上述条件下，若在A A处还测得山处还测得山顶顶D D的方位角是西偏北的方位角是西偏北方向，能否求出此方向，能否求出此山的高度？山的高度？第29页，讲稿共54张，创作于星期二小结作业小结作业1.

16、1.解决物体高度测量问题时，一般先从一解决物体高度测量问题时，一般先从一个或两个可到达点，测量出物体顶部或底个或两个可到达点，测量出物体顶部或底部的仰角、俯角或方位角，再解三角形求部的仰角、俯角或方位角，再解三角形求相关数据相关数据.具体测量哪个类型的角，应根据具体测量哪个类型的角，应根据实际情况而定实际情况而定.通常在地面测仰角，在空中通常在地面测仰角，在空中测俯角，在行进中测方位角测俯角，在行进中测方位角.第30页，讲稿共54张，创作于星期二2.2.计算物体的高度时，一般先根据测量数计算物体的高度时，一般先根据测量数据，利用正弦定理或余弦定理计算出物体据，利用正弦定理或余弦定理计算出物体顶

17、部或底部到一个可到达点的距离，再解顶部或底部到一个可到达点的距离，再解直角三角形求高度直角三角形求高度.作业：作业：P15P15练习：练习：1 1，2 2，3.3.第31页，讲稿共54张，创作于星期二1.2 1.2 应用举例应用举例第三课时第三课时 第32页，讲稿共54张，创作于星期二问题提出问题提出1.1.测量水平面内两点间的距离，有哪两种测量水平面内两点间的距离，有哪两种类型？分别测量哪些数据？类型？分别测量哪些数据？一个可到达点与一个不可到达点之间的距一个可到达点与一个不可到达点之间的距离；两个不可到达点之间的距离离；两个不可到达点之间的距离.基线长和张角基线长和张角.第33页，讲稿共5

18、4张，创作于星期二2.2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？在实际问题中如何选择？种类型？在实际问题中如何选择？仰角、俯角或方位角仰角、俯角或方位角.在地面测仰角，在地面测仰角，在空中测俯角，在空中测俯角，在行进中测方位角在行进中测方位角.第34页，讲稿共54张，创作于星期二3.3.角度是三角形的基本元素，是反映实际问角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中物体方向的几何量，根据相关数据计算题中物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小，也是测量问题中的一个重要内容角的大小，也是测量问题中的一个重要内容.第35页，讲稿共54张，创作于星期二第36页，讲

19、稿共54张，创作于星期二探究（一）：测量行进方向探究（一）：测量行进方向思考思考1 1：一艘海轮从海港一艘海轮从海港A A出发，沿北偏东出发，沿北偏东7575的方向航行的方向航行67.5 n mile67.5 n mile后到达海岛后到达海岛B B，然后从，然后从B B出发，沿北偏东出发，沿北偏东3232的方向航行的方向航行54.0 n mile54.0 n mile后到后到达海岛达海岛C C，那么，那么A A、C C 两点间的直线距离是否确两点间的直线距离是否确定？如何计算？定？如何计算？C CA AB B东东北北AC=113.15AC=113.15海里海里第37页，讲稿共54张，创作于星期

20、二思考思考2 2：在上述问题中，若海轮直接从海港在上述问题中，若海轮直接从海港A A出发，直线航行到海岛出发，直线航行到海岛C C，如何确定海轮，如何确定海轮的航行方向？的航行方向？C CA AB B东东北北沿北偏东沿北偏东5656的方向航行的方向航行 第38页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考3 3：甲船在甲船在A A处发现乙船在北偏东处发现乙船在北偏东6060的的B B处，以处，以20 n mile/h20 n mile/h的速度向正北方向航的速度向正北方向航行，若使甲船在直线航行中，与乙船在某处行，若使甲船在直线航行中，与乙船在某处相遇，那么甲船的航行方向由什么因素所确相遇，那么甲船的

21、航行方向由什么因素所确定？定？C CA AB B东东北北甲船的航行速度甲船的航行速度第39页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考4 4：在上述问题中，若甲船的航速为在上述问题中，若甲船的航速为 n mile/hn mile/h，那么甲船应沿什么方向航，那么甲船应沿什么方向航行才能与乙船在行才能与乙船在C C处相遇？处相遇？C CA AB B东东北北沿北偏东沿北偏东3030的方向航行的方向航行 第40页，讲稿共54张，创作于星期二探究（二）：测量相对位置探究（二）：测量相对位置思考思考1 1：甲船在甲船在A A处，乙船在点处，乙船在点A A的东偏南的东偏南4545方方向，且与甲船相距向，且与甲船

22、相距9 n mile9 n mile的的B B处处.在点在点B B南偏西南偏西1515方向有一个小岛方向有一个小岛C C，甲、乙两船分别以，甲、乙两船分别以28 n 28 n mile/hmile/h和和20 n mile/h20 n mile/h的速度同时向小岛直线航的速度同时向小岛直线航行，并同时达到小岛，那么行，并同时达到小岛，那么B B处与小岛的距离处与小岛的距离是多少？是多少？C CA AB B东东北北15 15 海里海里第41页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考2 2：在在A A处观察小岛，其位置如何？处观察小岛，其位置如何？C CA AB B东东北北南偏东南偏东77，相距，相距

23、2121海里海里第42页，讲稿共54张，创作于星期二理论迁移理论迁移 例例 在在A A处有一条小船，在点处有一条小船，在点A A的北偏东的北偏东3030方向有一个小岛方向有一个小岛B B，这附近海域内有，这附近海域内有北偏东北偏东6060方向，且速度为方向，且速度为4 nmile/h4 nmile/h的潮的潮流流.已知小船的航速是已知小船的航速是10 nmile/h10 nmile/h，若使小若使小船在最短的时间内达到小岛，小船应沿什船在最短的时间内达到小岛，小船应沿什么方向航行？么方向航行？C CA AB B东东北北北偏东北偏东 18.46 18.46 第43页，讲稿共54张，创作于星期二小

24、结作业小结作业1.1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小，是角度测量问题的基本内容，主要应大小，是角度测量问题的基本内容，主要应用于航海中航行方向的测量与计算用于航海中航行方向的测量与计算.2.2.角与距离是密切相关的，将背景材料中的角与距离是密切相关的，将背景材料中的相关数据转化为三角形的边角值，再利用正相关数据转化为三角形的边角值，再利用正、余弦定理求相关角的大小，是解题的基本、余弦定理求相关角的大小，是解题的基本思路思路.第44页，讲稿共54张，创作于星期二3.3.如果角或距离不能直接利用正、余弦定如果角或距离不能直接利用正、余弦定理求解，就用方

25、程思想处理理求解，就用方程思想处理.作业：作业：P16P16练习：练习：1.1.P19P19习题习题1.2A1.2A组：组：1 1，2.2.第45页，讲稿共54张，创作于星期二1.2 1.2 应用举例应用举例第四课时第四课时 第46页，讲稿共54张，创作于星期二问题提出问题提出1.1.三角形中有一系列基本定理和公式，其中三角形中有一系列基本定理和公式，其中包括内角和定理，勾股定理，正弦定理，余包括内角和定理，勾股定理，正弦定理，余弦定理，射影定理，面积公式等，这些知识弦定理，射影定理，面积公式等，这些知识是解决三角形问题的基本理论依据是解决三角形问题的基本理论依据.2.2.以三角形为背景的数学

26、问题，除了解三角以三角形为背景的数学问题，除了解三角形和测量问题外，还有与三角函数相关联的形和测量问题外，还有与三角函数相关联的三角变换问题，我们将对这类问题作些分析三角变换问题，我们将对这类问题作些分析与探究与探究.第47页，讲稿共54张，创作于星期二第48页，讲稿共54张，创作于星期二探究（一）：三角形面积的计算探究（一）：三角形面积的计算思考思考1 1：在在ABCABC中，若中，若B=62.7B=62.7，C=65.8C=65.8，b=3.16cmb=3.16cm，如何求三角形的面积，如何求三角形的面积？第49页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考2 2：在在ABCABC中，若中，若a=

27、41.4cma=41.4cm，b=27.3cmb=27.3cm，c=38.7cmc=38.7cm，如何求三角形的面，如何求三角形的面积？积？思考思考3 3：能否用三角形的三边长为能否用三角形的三边长为a a，b b，c c表示三角形的面积表示三角形的面积S S？第50页，讲稿共54张，创作于星期二探究（二）：三角形内角的计算探究（二）：三角形内角的计算思考思考1 1：在在ABCABC中，若中，若sinAsinAsinBsinBsinC=5sinC=57 78 8，则角，则角B B的值为多少？的值为多少？6060思考思考2 2：在在ABCABC中，若中，若 ，则角则角A A的值为多少？的值为多少

28、？120120第51页，讲稿共54张，创作于星期二思考思考1 1：在在ABCABC中，若中，若acosB=bcosAacosB=bcosA，则，则ABCABC的形状如何？的形状如何？探究（三）：三角形形状的确定探究（三）：三角形形状的确定等腰三角形等腰三角形 思考思考2 2：在在ABCABC中，若中，若B=60B=60，且，且b b2 2=ac=ac，则则ABCABC的形状如何？的形状如何？正三角形正三角形 思考思考3 3：在在ABCABC中，若中，若 ，则则ABCABC的形状如何？的形状如何？等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形 第52页，讲稿共54张，创作于星期二探究（四）：三角恒等式证明探究（四）：三角恒等式证明思考思考1 1：在在ABCABC中，如何证明中，如何证明？思考思考2 2：在在ABCABC中，如何证明中，如何证明 第53页，讲稿共54张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第54页，讲稿共54张，创作于星期二