行列式展开定理与法则课件.ppt

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1、行列式展开定理与法则第1页，此课件共29页哦 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 定义定义1 在在n阶行列式阶行列式D|aij|中去掉元素中去掉元素a i j 所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后,余下的余下的n 1阶行列式，称为阶行列式，称为D中元素中元素aij 的余子式，记作的余子式，记作Mij.令令Aij(1)i jMij，Aij称为元素称为元素aij的代数余子式的代数余子式.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求再如，求4阶行列式中阶行列式中a13的代数余子式的代数余子式a21a31a41 a22a

2、32a42 a24a34a44 M13 A13(1)1 3M13 M13下页第2页，此课件共29页哦观察三阶行列式观察三阶行列式下页第3页，此课件共29页哦二、展开定理二、展开定理 定理定理3 n阶行列式阶行列式D|aij|，若其第，若其第i行行(列列)的元素除的元素除aij外都为外都为0，则行列式等，则行列式等于于aij与其对应的代数余子式的乘积与其对应的代数余子式的乘积.即即Daij Aij第4页，此课件共29页哦 定理定理3 n阶行列式阶行列式D|aij|，若其第，若其第i行行(列列)的元素除的元素除aij外都为外都为0，则行列式等于，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积与其对应

3、的代数余子式的乘积.即即DaijAij二、展开定理二、展开定理第5页，此课件共29页哦 定理定理3 n阶行列式阶行列式D|aij|，若其第，若其第i行行(列列)的元素除的元素除aij外都为外都为0，则行列式等于，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积与其对应的代数余子式的乘积.即即DaijAij二、展开定理二、展开定理第6页，此课件共29页哦 定理定理4 n阶行列式阶行列式D|aij|等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素与其对应的各元素与其对应的代数余子式乘积的和的代数余子式乘积的和.即即Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin(i1,2,n)，Da1jA1ja2jA2j a

4、nj Anj(j1,2,n).下页二、展开定理二、展开定理第7页，此课件共29页哦 定理定理4 n阶行列式阶行列式D|aij|等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素与其对应的各元素与其对应的代数余子式乘积的和的代数余子式乘积的和.即即Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin(i1,2,n)，Da1jA1ja2jA2j anj Anj(j1,2,n).下页二、展开定理二、展开定理第8页，此课件共29页哦 定理定理5 n阶行列式阶行列式D|aij|的某一行的某一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元的对应元素的代数余子式乘积的和等于零素的代数余子式乘积的和等于零.即即ai

5、1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j)，a1iA1ja2iA2j ani Anj 0 (i j).下页二、展开定理二、展开定理？第9页，此课件共29页哦 例例1分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D 解：解：按第一行展开按第一行展开13311-2311-213a11A11a12A12a13A13 D1(-1)110(-1)12(-1)13(-2)1(-8)0(-2)5-18.三、利用展开定理计算行列式三、利用展开定理计算行列式下页第10页，此课件共29页哦按第二列展开按第二列展开1-2311-2-2111-23 01(-3)3(-1)

6、5-3-15-18.例例1分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D 解：解：按第一行展开按第一行展开a11A11a12A12a1nA1n D1(-8)0(-2)5-18.(-1)323(-1)221(-1)120a12A12a22A22a32A32 D下页第11页，此课件共29页哦解：解：将某行将某行(列列)化为一个非零元后展开化为一个非零元后展开例例2计算行列式计算行列式 1 2 3 4 1 2 0-5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D -2 -2 -2 0 -3 -9-7-10-12 1 1 1 0-3-9-2 0-3-5-24.1 2 3

7、4 0 0 -3-9 0-7-10-12 0-2 -2 -2 1 2 3 4 1 2 0-5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D 下页第12页，此课件共29页哦解：解：将某行将某行(列列)化为一个非零元后展开化为一个非零元后展开例例2计算行列式计算行列式 1 2 3 4 1 2 0-5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D(-1)(-1)32 7 1 4 7 -2-5 1 1 2 6 0 2 9 0-1 1 1 21(-1)22 692-1-6-18-24.7 0 1 4 7 0 -2-5 3 -1 -1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0-5 3 -1 -1 0 1 0 1 2

8、D 下页第13页，此课件共29页哦例例3.3.计算行列式计算行列式解：解：下页第14页，此课件共29页哦例例4 计算行列式解：解：下页第15页，此课件共29页哦下页第16页，此课件共29页哦 (D2=5)解：解：例例5.计算行列式计算行列式下页第17页，此课件共29页哦证明：证明：从最后一行起每一行加上前一行的从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得倍，得例例6.证明范得蒙德（证明范得蒙德（Vandermonde）行列式）行列式下页第18页，此课件共29页哦下页第19页，此课件共29页哦下页第20页，此课件共29页哦由此推得由此推得 即即 下页第21页，此课件共29页哦例例7下页解解第2

9、2页，此课件共29页哦例例8 过平面上的过平面上的n个互异点能否惟一确定一条个互异点能否惟一确定一条n-1次曲线：次曲线：解解 假设曲线过平面上的假设曲线过平面上的n个点分别为：个点分别为：下页即得：过平面上的即得：过平面上的n个互异点惟一确定一条个互异点惟一确定一条n-1次曲线。次曲线。第23页，此课件共29页哦 求解行列式的基本方法求解行列式的基本方法对角线法对角线法 仅对二、三阶行列式适合仅对二、三阶行列式适合定义法定义法 对一般行列式可利用定义进行求解，利用该方法对对一般行列式可利用定义进行求解，利用该方法对行列式进行计算通常会比较麻烦行列式进行计算通常会比较麻烦公式法公式法 对一些行

10、列式可利用性质将其转化为上对一些行列式可利用性质将其转化为上(下下)三角形行列式、三角形行列式、范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式等特殊行列式，利用公式进行计算行列式等特殊行列式，利用公式进行计算降阶法降阶法 利用按行利用按行(列列)展开定理，把高阶行列式转化为低阶行展开定理，把高阶行列式转化为低阶行列式进行计算列式进行计算递推法递推法 对规律性强且元素多的行列式，可用按行对规律性强且元素多的行列式，可用按行(列列)展开公展开公式建立递推关系式求解行列式的值式建立递推关系式求解行列式的值下页第24页，此课件共29页哦行列式阶数余子式消元法加法 乘法 加法 乘法和除法21 21 3

11、 35 95 10423 4014 235119 20530 4410368799 6235300285 339公式法与降阶法计算效率的比较：公式法与降阶法计算效率的比较：下页第25页，此课件共29页哦j=1,2,n.有且仅有一个解有且仅有一个解第第3 3节节 克拉默法则克拉默法则定理定理1 含有含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组当其系数行列式当其系数行列式时,其中，其中，Dj是把系数行列式是把系数行列式D的第的第j列换为方程组的常数列列换为方程组的常数列b1,b2,bn所得到的所得到的n阶行列式（阶行列式（j=1,2,n）.下页第26页，此课件共29页哦例例1.解线性方程组解线性方程组 下页解解:方程组的系数行列式方程组的系数行列式 因为因为D0,故方程组有唯一解故方程组有唯一解.第27页，此课件共29页哦故方程组的解为故方程组的解为 下页进进一步一步计计算算(计计算算过过程，略程，略)，有，有 第28页，此课件共29页哦推论推论 含有含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组 如果无解或非唯一解如果无解或非唯一解,则系数行列式则系数行列式D=0.例例如如 解线性方程组解线性方程组 下页显然，此方程组无解显然，此方程组无解.其系数行列式为其系数行列式为第29页，此课件共29页哦