信道率失真函数精选PPT.ppt

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1、信道率失真函数信道率失真函数信道率失真函数信道率失真函数第1页，此课件共62页哦4.14.1 平均失真和信息率失真函数平均失真和信息率失真函数4.24.2 离散信源和连续信源的离散信源和连续信源的R(D)计计算算内容内容2第2页，此课件共62页哦重点与难点重点与难点重点：失真函数、平均失真、信息率失真函数R(D)、信息率失真函数的计算。难点：信息率失真函数R(D)、信息率失真函数的计算。3第3页，此课件共62页哦第2章所讲的信源熵，是针对不失真的情况。而在实际信息处理过程中，往往允许有一定的失真，例如连续信源发出的消息，由于其可能取值有无限多种，信源熵无穷大，要想传输这样的信息，必须经过A/D

2、转换，这就引起量化失真。引引 言言4第4页，此课件共62页哦人们的视觉和听觉都允许有一定的失真，电影和电视就是利用了人的视觉残留，使人没有发觉影片是由一张张画面快速连接起来的。耳朵的频率响应也是有限的，在某些实际场合中只需保留信息的主要特征就够了。所以，一般可以对信源输出的信息进行失真处理，降低信息率，提高传输率。那么在允许一定程度的失真条件下，能够把信源信息压缩到什么程度，至少需要多少比特的信息率才能描述信源呢？本章主要讨论在一定程度的失真情况下所需的最少信息率，从分析失真函数、平均失真出发，求出信息率的失真函数。5第5页，此课件共62页哦4.1 平均失真和平均失真和信息率失真函数信息率失真

3、函数6第6页，此课件共62页哦在实际问题中，信号有一定的失真是可以容忍的。但是当失真大于某一限度后，信息质量将被严重损伤，甚至丧失其实用价值。要规定失真限度，必须先有一个定量的失真测度。为此引入失真函数失真函数。7第7页，此课件共62页哦4.1.1 失真函数失真函数 假如某一信源X,输出样值xi,xia1,a2,an,经信道传输后变成yj,yj b1,b2,bm,如果:xi yj 没有失真 xi yj 产生失真失真的大小,用一个量来表示,即失真函数d(xi,yj),以衡量用yj代替xi所引起的失真程度。失真函数定义为：8第8页，此课件共62页哦失真函数失真函数将所有的d(xi,yj)排列起来,

4、用矩阵表示为:失真矩阵例：设信源符号序列为X=0,1,编码器输出符号序列为Y=0,1,2,规定失真函数失真函数为 d(0,0)d(1,1)=0 d(0,1)d(1,0)=1 d(0,2)d(1,2)=0.5失真矩阵m=n或mn0 1 2019第9页，此课件共62页哦失真函数失真函数注意：失真函数d(xi,yj)的数值是依据实际情况，用yj代替xi所导致的失真大小是人为决定的。比如上例中，用y=2代替x=0和x=1所导致的失真程度相同，用0.5表示；而用y=0代替x=1所导致的失真程度要大，用1表示。10第10页，此课件共62页哦 失真函数形式可以根据需要任意选取,最常用的有:均方失真:绝对失真

5、:相对失真:误码失真:适于连续信源适于离散信源失真函数失真函数11第11页，此课件共62页哦失真函数失真函数均方失真和绝对失真只与xi-yj有关，而不是分别与xi和yj有关，在数学上处理比较方便；相对失真与主观特性比较匹配，因为主观感觉往往与客观量的对数成正比，但在数学处理中就要困难得多。实际选择一个合适的、完全与主观特性匹配的失真函数是非常困难的，更不用说还要易于数学处理。当然不同的信源应有较好的失真函数，所以在实际问题中还可提出许多其他形式的失真函数。12第12页，此课件共62页哦失真函数失真函数汉明失真矩阵 对于二元对称信源(m=n),X=0,1,Y=0,1,汉明失真矩阵:13第13页，

6、此课件共62页哦序列编码情况的失真函数序列编码情况的失真函数14第14页，此课件共62页哦补充知识补充知识数学期望数学期望15第15页，此课件共62页哦补充知识补充知识数学期望数学期望16第16页，此课件共62页哦4.1.2 平均失真平均失真 xi和yj都是随机变量,所以失真函数d(xi,yj)也是随机变量,限失真时的失真值只能用数学期望表示将失真函数的数学期望称为平均失真：平均失真对给定信源分布p(ai)经过某一种转移概率分布为p(bj|ai)的有失真信源编码器后产生失真的总体量度。17第17页，此课件共62页哦失真函数d(xi,yj)：描述了某个信源符号符号通过传输后失真的大小平均失真：描

7、述某个信源信源在某一试验信道传输下的失真大小,它对信源和信道进行了统计平均,是从总体上描述整个系统的失真。4.1.2 平均失真平均失真 转移概率分布为p(yj|xi)的信源编码器xi信源编码器yjp(yj|xi)18第18页，此课件共62页哦L长序列编码情况的平均失真长序列编码情况的平均失真如果假定离散信源输出符号序列XX1X2 Xl XL,其中L长符号序列xi=xi1xi2xiL,经信源编码后,输出符号序列Y=Y1Y2YlYL,其中L长符号序列yj=yj1yj2yjL,则失真函数定义为平均失真19第19页，此课件共62页哦4.1.3 信息率失真函数信息率失真函数R(D)如图所示，信源X经过有

8、失真的信源编码器输出Y，将这样的编码器看作存在干扰的假想信道，Y当作接收端的符号。这样就可用分析信道传输的方法来研究限失真信源问题。X信源编码器Y假想信道将信源编码器看作信道20第20页，此课件共62页哦4.1.3 信息率失真函数信息率失真函数R(D)信源编码器的目的是使编码后所需的信息传输率R尽量小，然而R越小，引起的平均失真 就越大。给出一个失真的限制值D，在满足平均失真的条件下，选择一种编码 方法使信息率R尽可能小。信息率R就是所需输出的有关信源X的信息量。将此问题对应到信道，即为接收端Y需要获得的有关X的信息量，也就是互信息I(X;Y)。这样，选择信源编码方法的问题就变成了选择假想信道

9、的问题，符号转移概率p(yj|xi)对应信道转移概率。21第21页，此课件共62页哦4.1.3 信息率失真函数信息率失真函数R(D)无论是无噪信道还是有噪信道:RC总能找到一种编码使在信道上能以任意小的错误概率,以任意接近C的传输率来传送信息 RC就必须对信源压缩,使其压缩后信息传输率R小于信道容量C,但同时要保证压缩所引入的失真不超过预先规定的限度。信息压缩问题就是对于给定的信源,在满足平均失真 的前提下,使信息率尽可能小。22第22页，此课件共62页哦信息率失真函数信息率失真函数R(D)若平均失真度 不大于我们所允许的失真,即则称此为保真度准则当信源p(xi)给定,单个符号失真度d(xi,

10、yj)给定时,选择不同的试验信道p(yj|xi),相当于不同的编码方法,其所得的平均失真度不同。试验信道23第23页，此课件共62页哦信息率失真函数信息率失真函数R(D)满足 条件的所有转移概率分布pij,构成了一个信道集合D失真允许的试验信道：满足保真度准则的试验信道。PD：所有D失真允许的试验信道组成的一个集合。24第24页，此课件共62页哦信息率失真函数信息率失真函数R(D)由于互信息取决于信源分布和信道转移概率分布，根据2.2节所述，当p(xi)一定时,互信息I是关于p(yj|xi)的U型函数,存在极小值。因而在上述允许信道PD中可以寻找一种信道pij，使给定的信源p(xi)经过此信道

11、传输后，互信息I(X;Y)达到最小。该最小的互信息就称为信息率失真函数R(D)，即25第25页，此课件共62页哦信息率失真函数信息率失真函数R(D)R(D)：在限定失真为D的条件下信源输出的最小信息速率。在信源给定后,我们希望在满足一定失真的情况下,使信源必须传输给收信者的信息传输率R尽可能地小。若从接收端来看,就是在满足保真度准则下,寻找再现信源消息所必须获得的最低平均信息量。即在满足保真度准则的条件下寻找平均互信息I(X;Y)的最小值。26第26页，此课件共62页哦信息率失真函数信息率失真函数PD是所有满足保真度准则的试验信道集合,因而可以在集合PD中寻找某一个信道pij,使I(X;Y)取

12、极小值。离散无记忆信源27第27页，此课件共62页哦由互信息的关系式 I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)=H(X)-H(X|Y)可理解为互信息是信源发出的信息量H(X)与噪声干扰条件下消失的信息量H(Y|X)之差。应当注意，这里讨论的是有关信源信源的问题，一般不考虑噪声的影响。信息在存储和传输时需要去掉冗余，或者从某些需要出发认为可将一些次要成分去掉，也就是说，对信源的原始信息在允许的失真限度内可以进行压缩。由于这种压缩损失了一定的信息，造成一定的失真，把这种失真等效成由噪声而造成的信息损失，看成一个等效噪声信道等效噪声信道(又称为试验信道又称为试验信道)，因此信息率失真函数的物信息率失真函

13、数的物理意义理意义是：对于给定信源，在平均失真不超过失真限度D的条件下，信息率允许压缩的最小值为R(D)。信息率失真函数信息率失真函数28第28页，此课件共62页哦例例 已知编码器输入的概率分布为p(x)=0.5,0.5信道矩阵求互信息29第29页，此课件共62页哦编码器输入的概率分布为p(x)=0.5,0.5信道矩阵求互信息可见当p(x)一定时,I(X;Y)随p(yj|xi)而变。因为p(x)分布一定时,信道受干扰不同所能传递的信息量是不同的。当p(x)一定时,I(X;Y)是关于p(yj|xi)的下凸函数。因此当改变p(yj|xi)时,I(X;Y)有一极小值。30第30页，此课件共62页哦平

14、均互信息平均互信息平均互信息I(X;Y)：p(yj|xi)一定，信源的概率分布p(xi)的上凸函数。p(xi)一定，信道传递概率p(yj|xi)的下凸函数。信道容量：信息率失真函数：31第31页，此课件共62页哦信道容量信道容量信道容量：假定信道固定的前提下,选择一种试验信源使信息传输率最大。它所反映的是信道传输信息的能力,是信道可靠传送的最大信息传输率。一旦找到了信道容量,它就与信源不再有关,而是信道特性的参量,随信道特性的变化而变化不同的信道其信道容量不同。32第32页，此课件共62页哦信息率失真函数信息率失真函数信息率失真函数：假定信源给定的情况下,用户可以容忍的失真度内再现信源消息所必

15、须获得的最小平均信息量。它反映的是信源可以压缩的程度,是在满足一定失真度要求下信源可压缩的最低值。率失真函数一旦找到,就与求极值过程中选择的试验信道不再有关,而只是信源特性的参量。不同的信源其R(D)不同。33第33页，此课件共62页哦信道容量与信息率失真函数信道容量与信息率失真函数研究信道容量：充分利用已给信道,使传输的信息量最大,而发生错误的概率任意小,为提高通信的可靠性服务。研究信息率失真函数：解决在已知信源和允许失真度D的条件下,使信源必须传送给信宿的信息率最小。即用尽可能少的码符号尽快地传送尽可能多的信源消息,以提高通信的有效性。34第34页，此课件共62页哦例例4-2：设信源的符号

16、表为A=al,a2,a2n,概率分布为p(ai)=1/2n,i=1,22n,失真函数规定为信源熵 即不发生差错时失真为0,出错失真为1。试研究在一定编码条件下信息压缩的程度。35第35页，此课件共62页哦例4-2：.ana2.a1a1a2anan+1a2n图4-3 等效试验信道如果对信源进行不失真编码,平均每个符号至少需要log2n个二进制码元。现在假定允许有一定 失真,假设失真限度为 D=1/2，设想采用下面的 编码方案：a1a1，a2a2，anan an+1an,an+2 an,a2n an36第36页，此课件共62页哦由该信道模型图4-3看出,它是一个确定信道(每个输入都对应一个输出)，

17、pij=1(或0)，噪声熵H(Y|X)=0，无噪有损信道。平均失真 信道输出概率分布为 由于从an起，以后所有符号都编成an，所以概率分布为 37第37页，此课件共62页哦则输出熵H(Y)压缩n-1个1个38第38页，此课件共62页哦由以上结果可知，经压缩编码以后，信源需要传输的信息率由原来的log2n，压缩到log2n-(n+1)/2n)log(n+1)。也就是说，信息率压缩了(n+1)/2n)log(n+1)。这是采用上述压缩编码方法的结果，所付出的代价是容忍了1/2的平均失真。如果选取对压缩更为有利的编码方案，则压缩的效果可能更好。但一旦达到最小互信息这个极限值，就是R(D)的数值(此处

18、D=1/2)，或超过这个极限值，那么失真就要超过失真限度。如果需要压缩的信息率更大，则可容忍的平均失真就要更大。39第39页，此课件共62页哦4.1.4 信息率失真函数的性质信息率失真函数的性质1、R(D)的定义域的定义域率失真的定义域问题就是在信源和失真函数已知的情况下,讨论允许平均失真度D的最小和最大取值问题。由于平均失真度是非负实数d(xi,yj)的数学期望,因此也是非负的实数,即 的下界是0。允许平均失真度能否达到其下限值0,与单个符号的失真函数有关。40第40页，此课件共62页哦R(D)的定义域的定义域（1）Dmin 和和R(Dmin)信源的最小平均失真度：只有当失真矩阵的每一行至少

19、有一个0元素时,信源的平均失真度才能达到下限值0。当Dmin=0,即信源不允许任何失真时,信息率至少应等于信源输出的平均信息量信息熵。即 R(Dmin)=R(0)=H(X)遍历jp(yj|xi)=1(或0)无失真41第41页，此课件共62页哦R(D)的定义域的定义域因为实际信道总是有干扰的,其容量有限,要无失真地传送连续信息是不可能的。当允许有一定失真时,R(D)将为有限值,传送才是可能的。对于连续信源，由于其信源只有相对意义，而真正的熵为 ，当Dmin=0时相当于严格无噪声信道，通过无噪声信道的熵是不变的，所以42第42页，此课件共62页哦R(D)的定义域的定义域（2）Dmax和和R(Dma

20、x)由于I(X;Y)是非负函数，而R(D)是在约束条件下的I(X;Y)的最小值，所以R(D)是也是一个非负函数，它的下限值是零。当R(D)为0，意味着不需要传输任何信息。显然D越大，直至无限大都能满足这样的情况，这里选择所有满足R(D)=0中D的最小值，定义为R(D)定义域的上限Dmax，即 因此可以得到R(D)的定义域为 。43第43页，此课件共62页哦R(D)的定义域的定义域R(D)的定义域为Dmin，Dmax。通常Dmin=0，R(Dmin)=H(X)当 DDmax时,R(D)=0 不需传输任何信息当 0 DDmax时,0R(D)H(X)由此，得到R(D)的定义域为0，Dmax 44第4

21、4页，此课件共62页哦R(D)的定义域的定义域Dmax：定义域的上限。Dmax是满足R(D)=0时所有的平均失真度中的最小值。由于I(X;Y)是非负函数,而R(D)是在约束条件下的I(X;Y)的最小值,所以R(D)也是一个非负函数,它的下限值是零。R(D)045第45页，此课件共62页哦R(D)的定义域的定义域R(D)=0，就是I(X;Y)=0，其充要条件是X与Y统计独立,即：这时平均失真为现在需要求出满足 条件的D的最小值，即46第46页，此课件共62页哦R(D)的定义域的定义域分析上式可知，在j=1,m中，可以找到 值最小的 j，当该 j 对应的pj=1，而其余pj为零时，上式右边达到最小

22、，这时上式可化简成 47第47页，此课件共62页哦例4-3:设输入输出符号表示为X=Y=0,1,输入概率分布p(x)=1/3,2/3,失真矩阵 求：Dmin、R(Dmin)和Dmax、R(Dmax)，以及两种情况下对应的转移概率。失真矩阵的每一行至少有一个0元素时,Dmin=0此时，R(Dmin)=H(X)=H(1/3,2/3)=0.91bit/符号，这时信源编码器无失真，a1b1，a2b2，所以这时的编码器的转移概率为48第48页，此课件共62页哦此时输出符号概率p(b1)=0，p(b2)=1，a1b2，a2b2，所以这时的编码器的转移概率为当R(Dmax)=0时，由书中式(4-1-13)得

23、49第49页，此课件共62页哦例4-4:设输入输出符号表示为X=Y=0,1,输入概率分布p(x)=1/3,2/3,失真矩阵 求：Dmin 和Dmax 失真矩阵的行元素无0，故平均失真度达不到下限值050第50页，此课件共62页哦信息率失真函数的性质信息率失真函数的性质1、R(D)是非负的实数,R(D)0。其定义域为0Dmax,其值为0H(X)。当DDmax时,R(D)02、R(D)是关于D的下凸函数也是关于D的连续函数。3、R(D)的单调递减性及连续性容许的失真度越大，所要求的信息率越小。反之亦然。51第51页，此课件共62页哦信息率失真函数的性质信息率失真函数的性质信息率失真曲线52第52页

24、，此课件共62页哦4.2 离散信源和连续信源离散信源和连续信源R(D)计算计算 给定信源概率pi和失真函数dij,就可以求得该信源的R(D)函数。它是在保真度准则下求极小值的问题。但要得到它的显式表达式,一般比较困难通常用参量表达式。即使如此,除简单的情况外实际计算还是困难的,只能用迭代逐级逼近的方法。53第53页，此课件共62页哦某些特殊情况下某些特殊情况下R(D)连续信源离散信源54第54页，此课件共62页哦某些特殊情况下某些特殊情况下R(D)这些R(D)可画成如右图所示的3条曲线。他们都有一最大失真值Dmax，对应R(D)=0。当允许的平均失真D大于最大值时，R(D)当然也是零，也就是不

25、用传送信息已能达到要求。上述3种情况的Dmax分别为55第55页，此课件共62页哦二元对称信源的二元对称信源的R(D)函数函数 设二元对称信源X=0,1,其概率分布p(x)=p,1-p,接收变量Y=0,1,汉明失真矩阵因而最小允许失真度Dmin=0。并能找到满足该最小失真的试验信道,且是一个无噪无损信道,其信道矩阵为56第56页，此课件共62页哦二元对称信源的二元对称信源的R(D)函数函数计算得：R(0)=I(X;Y)=H(p)最大允许失真度为要达到最大允许失真度的试验信道,唯一确定为57第57页，此课件共62页哦二元对称信源的二元对称信源的R(D)函数函数这个试验信道能正确传送信源符号x=1

26、,而传送信源符号x=0时,接收符号一定为y=1凡发送符号x=0时,一定都错了。而x=0出现的概率为p,所以信道的平均失真度为p。在这种试验信道条件下，可计算得 R(Dmax)=R(p)=058第58页，此课件共62页哦本章小结本章小结本章讨论了离散消息的失真函数和信息率失真函数，同时对连续消息也做了相应的讨论。在实际应用中，符合实际信源的R(D)函数的计算相当困难。首先，需要对实际信源的统计特性有确切的数学描述；其次，需要对符合主观、客观实际的失真给予正确的度量，否则不能求得符合主观、客观实际的R(D)函数。率失真函数是研究限失真信源编码定理的基础。59第59页，此课件共62页哦本章小结本章小结失真函数：平均失真：信息率失真函数R(D)：给定信源p(xi)，在小于平均失真D中寻找一种信源编码pij，使互信息I(X;Y)达到最小。60第60页，此课件共62页哦本章小结本章小结R(D)函数的定义域：Dmin=0，R(Dmin)=R(0)=H(X)R(D)函数的性质：下凸性、连续性、单调递减性。R(D)与C具有对偶关系。61第61页，此课件共62页哦习题习题4-14-262第62页，此课件共62页哦