第八讲古希腊数学.ppt

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1、第八讲古希腊数学现在学习的是第1页，共38页古希腊数学与哲学的交织 古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西，但也有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样的形式中，差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽因此，如果理论自然科学想要追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史，它就不得不回到希腊人那里去”现在学习的是第2页，共38页古希腊数学表现出很强的理性精神，追求哲学意义上的真理在公元前3、4百年的时候，他们的数学思想中就已经涉及到了无限性、连续性等深刻的概念经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知识的

2、萌芽时期以后，古希腊人把数学推进到了一个崭新的时代古希腊数学不仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了数学的基本观点，建立数学理论的方法，给以后的数学发展提供了坚实的基础 现在学习的是第3页，共38页泰勒斯确定了几条最早的几何定理 等腰三角形两底角相等 如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等 直角彼此相等 两条直线相交时，对顶角相等 圆的直径平分圆周 现在学习的是第4页，共38页万物皆数毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要的数是1、2、3、4，而10则是理想的数；相应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从于一定的

3、比例数，天体的运动受数学关系的支配，形成天体的和谐。现在学习的是第5页，共38页理论算术（数论的雏形）完全数、过剩数（盈数）、不足数（亏数）分别表现为其因数之和等于、大于、小于该数本身（规定因数包括1但不包括该数自身）。他们发现的前几个完全数是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。而220和284则是一对亲和数，因为前者的因数和等于284，后者的因数和等于220。现在学习的是第6页，共38页后来，在数学中寻找完全数就成为一项任务来研究.在前八千多正整数中只有4个完全数,6、28、496、8128,第五个完全数在1538年才找到:33550336,50年后发现第六个完全数:8589

4、869056.2005年发现第42个梅审素数，从而有了第42个完全数。现在学习的是第7页，共38页几何成就 使几何学从经验上升到理论的关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。现在学习的是第8页，共38页正多边形和正多面体毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边形，而且这些正多边形个数之比为6：4：3，边数之比则为3：4：6。毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。三维空间中仅有五种正多面体：

5、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。现在学习的是第9页，共38页正五边形与五角星在五种正多面体中，除正十二面体外，每个正多面体的界面都是三角形或正方形，而正十二面体的界面则是正五边形。正五边形作图与著名的“黄金分割”有关。五条对角线中每一条均以特殊的方式被对角线的交点分割。据说毕达哥拉斯学派就是以五角星作为自己学派的标志的。现在学习的是第10页，共38页勾股数毕达哥拉斯数：一般形式之一：现在学习的是第11页，共38页无理数的发现毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”，这里的数实际上是指正的有理数。传说，毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470年左右）发现了“不可

6、公度比”的现象，并在一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发现的是正五边形边长与对角线长不可公度。现在学习的是第12页，共38页第一次数学危机不可公度比的发现使毕达哥拉斯学派对许多定理的证明都不能成立。例：如果两个三角形的高相同，则它们的面积之比等于两底边之比。ABCDE现在学习的是第13页，共38页新比例论100多年后，欧多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新比例论”，才用回避的方法暂时消除了“第一次危机”。新比例定义：设A、B、C、D是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积），C和D同类，若对任

7、意两个（正）整数m和n，mA与nB的大小关系，取决于mC与nD的大小，则称A：B=C：D。现在学习的是第14页，共38页柏拉图学园柏拉图（Plato，公元前427-347年）是当时最著名的希腊哲学家之一，虽然他不是数学家，但热心于数学科学，在柏拉图学园的门口挂着牌子：“不懂几何者免进”。值得注意的是，公元前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的朋友和学生做的。与柏拉图学园有联系的欧多克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是这一时期最大的数学家，他在几何学上的研究成果，后来有些收入了欧几里得的几何原本。现在学习的是第15页，共38页亚里士多德亚里士多德（Aristotle，公元前384-3

8、22年）是柏拉图的学生和同事，相处达20年之久，公元前335年成立了自己的学派，以后曾是马其顿王亚列山大的老师。他是古典希腊时期最伟大的思想家，他的一些思想在数学史上影响很大。现在学习的是第16页，共38页形式逻辑的建立亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨，而是重视观察、分析和实验性的活动（如解剖）。亚里士多德是古希腊学者中最博学的人，是古代百科全书式的自然科学家，也是对近代自然科学影响最大的古代学者。他的著作甚多，在自然科学方面主要有物理学、论产生和消灭、天论、气象学、动物的历史、论动物的结构等。现在学习的是第17页，共38页形式逻辑的建立亚里士多德创立了以三段论为中心的形式逻辑系统。他认为科

9、学需要归纳，由特殊的事例过渡到一般命题，更需要用逻辑的推理由前提演绎出它的推论。亚里士多德的逻辑学著作后来被汇编为工具论，对阿基米德、欧几里得等人的研究有重要影响。古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量初等几何性质，加上亚里士多德建立了形式逻辑，这些都为形成一门独立的初等几何的理论科学作好了充分的准备。现在学习的是第18页，共38页亚历山大时期的数学 从公元前330年左右到公元前30年左右，希腊数学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化的中心。托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执政后修建了缪斯艺术宫，这实际上是一个大博

10、物馆，收藏的图书和手稿据说有5070万卷。当时的许多著名学者都被请到亚历山大里亚，用国家经费供养着。现在学习的是第19页，共38页这一时期思辩猜测已不盛行，观察、计算及定量分析的方法开始流行。天文学家阿利斯塔克（公元前310230），通过对日、月、地的体积和相对距离的观测和计算作出了日心说的猜测。他通过测量角度推算出太阳直径比地球大六、七倍，并断定小天体（地球等）应围绕大天体（太阳）旋转。尽管他的计算很不精确，但思维方式是重要的。著名天文地理学家、数学家埃拉托色尼（约公元前284192）根据太阳在两个地方投影角之差，计算出地球的周长是24662英里（现在算出的通过地球南北极的周长为24819英

11、里），他绘制了世界地图，并标明了经纬线以及寒带、热带和温带。现在学习的是第20页，共38页欧几里得与几何原本 欧几里得（约公元前330260），应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。欧几里得系统地整理了以往的几何学成就，写出了13卷原本，欧几里得的工作不仅为几何学的研究和教学提供了蓝本，而且对整个自然科学的发展有深远的影响。爱因斯坦说：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找到因果关系（在文艺复兴时期）。”现在学习的是第21页，共38页公理化方法公理化方法：从一些基本的概念和公理出发，利

12、用纯逻辑推理的方法，把一门学科建立成演绎系统的方法。后来的许多著作都仿照这种格式写成，如牛顿的自然哲学的数学原理等。现在学习的是第22页，共38页几何原本的影响几何原本对后来数学思想有重要影响。其一：公理化思想；其二：几何直观与严格逻辑推理的结合使欧几里得几何长期被认为是最正宗的数学知识，笛卡儿在发明了解析几何后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明，牛顿在第一次公开他的微积分发明时也要对这一算法作出几何解释；其三：导致非欧几何的诞生。现在学习的是第23页，共38页阿基米德的数学成就 阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大跟欧几里得的学生学习过，

13、离开亚历山大后仍与那里的师友保持联系，他的许多成果都是通过与亚历山大学者的通信而保存下来的。因此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的成员。阿基米德的著作很多，内容涉及数学、力学及天文学等。现在学习的是第24页，共38页“穷竭法”与“平衡法”穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学家普遍用来证明面积和体积的方法。穷竭法可以用来严格证明已经猜想出来的命题，但不能用来发现新的结果。阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。阿基米德“平衡法”与“穷竭法”的结合是严格证明与创造技巧相结合的典范。现在学习的是第25页，共38页球的体积阿基米德用“平衡法”推导了球体积公式

14、。刻在阿基米德墓碑上的几何图形代表了他所证明的一条数学定理：以球的直径为底和高的圆柱，其体积是球体积的3/2，其表面积是球面积的3/2。现在学习的是第26页，共38页阿基米德的“平衡法”，将需要求积的量分成一些微小单元，再与另一组微小单元进行比较，而后一组的总和比较容易计算。因此，“平衡法”实际上体现了近代积分法的基本思想，是阿基米德数学研究的最大功绩。但是，“平衡法”本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到了他的方法在严密性上的不足，所以他用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法加以严格的证明。现在学习的是第27页，共38页用平衡法求球的体积球切片体积锥切片体积柱切片体积左力矩=右力矩=左力

15、矩=4右力矩P球锥的切片xN现在学习的是第28页，共38页用平衡法求球的体积将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为x的薄片，并将所有球与圆锥的薄片都挂到P点，圆柱薄片都留在原处。左力矩和=（球体积+锥体积）2R 右力矩和=柱体积R（球体积+锥体积）2R=4柱体积R球体积=2柱体积锥体积现在学习的是第29页，共38页与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用数学家。在论浮体中论述了浮力原理、在论平面图形的平衡或其重心中论述了杠杆原理。曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王亲手移动了一只巨大的三桅货船，他说：“给我一个支点，我可以移动地球”。在保卫叙拉古的战斗中发明了许多军械如石炮、火镜等。后被罗马士

16、兵杀害，死时75岁。传说曾下令不要杀死阿基米德的罗马主将马塞吕斯事后特意为阿基米德建墓。现在学习的是第30页，共38页阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前262-190）出生于小亚细亚（今土尔其一带），年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得的学生学习，后到小亚细亚西岸的帕加蒙王国居住与工作，晚年又回到亚历山大。阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，编著圆锥曲线论。现在学习的是第31页，共38页圆锥曲线论 全书共8卷，含487个命题。在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线，阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到所有的

17、圆锥曲线，并给它们以正式的名称：亏曲线、齐曲线、盈曲线（李善兰翻译时取意译名椭圆、抛物线、双曲线）。圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高成就。几何学的新发展要到17世纪笛卡儿等人的解析方法出现后才得以来临。现在学习的是第32页，共38页阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线后，便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉及圆锥曲线的直径、公轭直径、切线、中心、双曲线的渐进线、椭圆与双曲线的焦点以及处在不同位置上的圆锥曲线的交点数等。圆锥曲线论中包含了许多即使按今天的眼光看也是很深奥的问题。第5卷中关于定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近代微分几

18、何微分几何的课题。第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极线的调和性质的论述，则包含了射影几何学射影几何学的萌芽思想。现在学习的是第33页，共38页罗马时期的数学成就 海伦（Heron，前1世纪公元1世纪）推导出求三角形面积的海伦公式。托勒密（Ptolemy约100170）的地球中心学说。托勒密利用大量的观察资料，进行浩繁的计算，写出八卷本的大综合论，详细论述了太阳系和宇宙以地球为中心的学说。在托勒密的地心说中，行星是绕着一种数学上的点（本轮中心）运动的，而这些点又位于均轮上围绕地球运转。托勒密的地心说虽然不反映宇宙的实际结构，但是依据上述的数学图解却比较完满地解释了当时所观测到的行星运动情况。现在

19、学习的是第34页，共38页托勒密将圆周分成360度，角的度量采用60进制，还应用托勒密定理（圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和）造出了一张正弦表。梅涅劳斯（Menelaus，约公元1世纪）的球面学是球面三角学的开山之作。现在学习的是第35页，共38页该时期希腊数学的一个重要特征是突破了以几何学为中心的传统，使算术和代数成为独立的学科。丢番图（Diophantus）的算术用纯分析的途径处理数论与代数问题（包括不定方程），可以看作是希腊算术与代数的最高成就。现在学习的是第36页，共38页丢番图的墓志铭关于丢番图的生平没有什么记载，大约公元250年前后活动于亚历山大城，他活了84岁则可以从他的墓志铭中算出：丢番图的童年占一生的1/6，此后过了一生的1/12开始长胡子，再过一生的1/7后结婚，婚后5年生了个孩子，孩子活到父亲一半的年龄，孩子死后4年父亲也去世了。现在学习的是第37页，共38页数学汇编 该时期的最后一位重要数学家是帕波斯（Pappus，约公元300-350），著作数学汇编是一部总结前人成果的典型著作，在数学史上有特殊的意义，有许多古代希腊数学的宝贵资料就是因为有数学汇编的记载才得以保存下来。现在学习的是第38页，共38页