陈酒出售的最佳时机问题.pdf

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1、陈酒出售的最佳时机问题?施磊问题1?某酒厂有批新酿的好酒，如果现在出售，可以总收入Ro=50万元，如果窖藏起来待来日（第N年）按陈酒价格出售，第N年末可得总收入R=RoeSqrt(x)/12(万元）。而银行利率为r=0.02。现有下列出售方案：某酒厂有批新酿的好酒，如果现在出售，可以总收入Ro=50万元，如果窖藏起来待来日（第N年）按陈酒价格出售，第N年末可得总收入R=RoeSqrt(x)/12(万元）。而银行利率为r=0.02。现有下列出售方案：?1：现在就出售这批酒，并把收入所得存入银行。：现在就出售这批酒，并把收入所得存入银行。?2：窖藏起来，待第N年出售，并把所的收入存入银行。2：窖藏

2、起来，待第N年出售，并把所的收入存入银行。第一种方案?现在就出售这批酒，并把收入所得存入银行，则每年年末收入总值的计算式为：现在就出售这批酒，并把收入所得存入银行，则每年年末收入总值的计算式为：?R=R。(1+0.02)x?输入命令输入命令：?R。=50?x=0?Dox=x+1;Printx;Printr0*(1+0.02)x;?Ifn=16,Break,n,16?Plotr0*(1+0.02)x,x,0,20即得：第1年第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年5152.0253.06054.12255.20456.30857.43458.583第9年第10年第11年第12年第13年第14年

3、第15年第16年59.75560.95062.17063.41264.68065.97467.29368.639第二种方案?窖藏起来，待第N年出售，并把所的收入存入银行。则有计算式：窖藏起来，待第N年出售，并把所的收入存入银行。则有计算式：?R=R。eSqrt(x)/12*(1+0.02)(16-x)R=R。eSqrt(x)/12*(1+0.02)(16-x)?输入命令：输入命令：?R.=50?DoPrinta;x=a;Dox=x+1;Printx,_,Nr0*ExpSqrta/12(1+0.02)(x-a);?Ifx=16,Break,n,16,a,6?即得：即得：第1年出售这批酒每年年末收

4、入总值：每年年末收入总值：第1年第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年54.34555.43256.54157.67258.82560.00261.20662.426第9年第10年第11年第12年第13年 第14年 第15年 第16年63.67464.94866.24767.57168.92370.30170.70473.142第2年出售这批酒每年年末收入总值：每年年末收入总值：第1年第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年056.25457.37958.52759.69760.89162.10963.351第9年第10年第11年第12年第13年第14年第15年第16年64.61865.

5、91067.22968.57369.94571.34472.77074.226第3年出售这批酒每年年末收入总值：每年年末收入总值：第1年第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年0057.76458.91960.69861.29962.52563.776第9年第10年第11年第12年第13年第14年第15年第16年65.05166.35267.68069.03370.41471.82273.25874.724第4年出售这批酒每年年末收入总值：每年年末收入总值：第1年第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年00059.06860.24961.45462.68463.937第9年第10年第11年

6、第12年第13年第14年第15年第16年65.21666.52067.85169.20870.59272.00473.44474.913第5年出售这批酒每年年末收入总值：每年年末收入总值：第1年第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年000060.24261.44662.67563.929第9年第10年第11年第12年第13年第14年第15年第16年65.20766.51267.84269.19970.5871.99473.43474.903第6年出售这批酒每年年末收入总值：每年年末收入总值：第1年第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年0000061.32362.54963.800第9年

7、第10年第11年第12年第13年第14年第15年第16年65.07666.37867.70569.05970.44070.84973.28674.752比较上表中的数据，考虑如下问题：?（1）如果酒厂希望在年后投资扩建酒厂，应选择哪一种方案使得这批好酒的价值发挥最大作用？?答：由上表可知，选择第二种方案的在第2年卖出，这批酒能发挥最大价值。?（2）如果酒厂希望在年后将资金作其他投资，应选择哪一种方案？?答：由上表可知，选择第二种方案的在第4年卖出，这批酒能发挥最大价值。问题2?假设假设X（万元）现金，将其存入银行，等到第（万元）现金，将其存入银行，等到第n年时增值为年时增值为R（n）根据复利公

8、式）根据复利公式R(n)=X(1+0.02)n,则称则称X为为R(n)的现值。计算的现值。计算16年后陈酒出售后的总收入年后陈酒出售后的总收入R(n)的现值的现值（下表中年份为出售年份）第1年第2年第3年第4年第5年第6年第7年第8年53.28054.06954.43254.57054.56354.45354.26554.017第9年第10年第11年第12年第13年第14年第15年第16年53.72153.38553.01552.61852.19851.75951.30250.831即得：输入命令：输入命令：R.=50 x=0Dox=x+1;Printx;PrintNr0*ExpSqrtx/1

9、2/(1+0.02)x;Ifn=16,Break,n,16Plotr0*ExpSqrtx/12/(1+0.02)x,x,0,20根据上表的数据回答问题：?（）如果酒厂打算出售所得的用于8年后的另外投资，选择哪一年作为出售陈酒的最佳时间？答：由出售陈酒的收入的现值数据可知，最大为第四年，所以应在第四年第四年出售。（）如果银行利率提高到0.03，将出售的收入再存入银行使得资金增值最大，又应如何选择？答：由 题 可 知，终 值 的 代 数 式 为：X=R.e(Sqrt(x)/12)*(1+0.03)(8-x)可得：第一年第二年第三年第 四年第 五年第 六年第 七年第 八年66.83867.17066

10、.96466.48265.82865.05764.20463.290输入输入：R.=50 x=0Dox=x+1;Printx;PrintNr0*ExpSqrtx/12*(1+0.03)(8-x);Ifx=8,Break,n,16Plotr0*ExpSqrtx/12*(1+0.03)(8-x),x,0,8得图象如下：见可见可第二年出售并且存入银行第二年出售并且存入银行可使增值最大可使增值最大。此致敬礼实验题 1 陈酒出售的最佳时机问题 实验题 1 陈酒出售的最佳时机问题 1 第一种方案中第 n 年收入的值为 R0(1+R)n,其中 R0 为现在出售的总收入，r 为银行的年利率 0.02，由此可分

11、别计算出各年的收入总值（见下表）：第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年 第 7 年 第 8 年 第 8 年 51.00 52.02 53.06 54.1255.2056.3157.43 58.58第 9 年 第 10 年 第 11 年 第 12 年第 13 年第 14 年第 15 年 第 16 年59.75 60.95 62.17 63.4164.6865.9767.29 68.64 第二种方案中第 n 年出售，则 n 年末的总收入为 S0=R0e（sqrt(n)/12），所以从这年开始存入银行所得收入为 S0(1+r)k,其中 k 从 0 到 16-n，于是

12、当 n 取不同的值时结果如下（n 从 1到 6）n=1:第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年 第 7 年 第 8 年 54.35 55.43 56.54 57.6758.8260.0061.2 62.42第 9 年 第 10 年 第 11 年 第 12 年第 13 年第 14 年第 15 年 第 16 年63.67 64.94 66.25 67.5768.9270.3071.71 73.14 n=2:第 1 年 第 1 年 第 2 年 第 2 年 第 3 年 第 3 年 第 4 年 第 4 年 第 5 年 第 5 年 第 6 年 第 6 年 第 7 年 第 7

13、 年 第 8 年 第 8 年 0.00 0.00 56.25 57.38 58.5359.7060.8962.11 63.35第 9 年 第 9 年 第 10 年 第 11 年 第 12 年第 13 年第 14 年第 15 年 第 16 年64.62 64.62 65.91 67.23 68.5769.9471.3472.77 74.23 n=3:第 1 年 第 1 年 第 2 年 第 2 年 第 3 年 第 3 年 第 4 年 第 4 年 第 5 年 第 5 年 第 6 年 第 6 年 第 7 年 第 7 年 第 8 年 第 8 年 0.00 0.00 0.00 57.76 58.9260.

14、1061.3061.52 63.78第 9 年 第 9 年 第 10 年 第 11 年 第 12 年第 13 年第 14 年第 15 年 第 16 年65.05 65.05 66.35 67.68 69.0370.4171.8273.26 74.72 n=4:第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年 第 7 年 第 8 年 0.00 0.00 0.00 59.0760.2561.4562.68 63.94第 9 年 第 10 年 第 11 年 第 12 年第 13 年第 14 年第 15 年 第 16 年65.22 66.52 67.85 69.2170.5972

15、.0073.44 74.91 n=5:第 1 年 第 1 年 第 2 年 第 2 年 第 3 年 第 3 年 第 4 年 第 4 年 第 5 年 第 5 年 第 6 年 第 6 年 第 7 年 第 7 年 第 8 年 第 8 年 0.00 0.00 0.00 0.0060.2461.4462.68 63.93第 9 年 第 10 年 第 11 年 第 12 年第 13 年第 14 年第 15 年 第 16 年65.21 66.51 67.84 69.270.5872.0073.43 74.9 n=6:第 1 年 第 1 年 第 2 年 第 2 年 第 3 年 第 3 年 第 4 年 第 4 年

16、 第 5 年 第 5 年 第 6 年 第 6 年 第 7 年 第 7 年 第 8 年 第 8 年 0.00 0.00 0.00 0.000.0061.3262.55 63.80第 9 年 第 10 年 第 11 年 第 12 年第 13 年第 14 年第 15 年 第 16 年65.08 66.38 67.71 69.0670.4471.8573.29 74.75 比较上面的数据后可得出以下结论：(i)2 年后投资扩建酒厂，应该选择第二种方案，并在第二年将酒卖出，此时所得钱最多。(ii)6 年后将资金用作其他投资，应该选择第二种方案，并在第四年将酒卖出，此时所得钱最多。R(n)的现值即为 R0

17、e(sqrt(n)/12),分别取 1 到 16 可得到下表:R(n)的现值数据如下表：第 1 年 第 1 年 第 2 年 第 2 年 第 3 年 第 3 年 第 4 年 第 4 年 第 5 年 第 5 年 第 6 年 第 6 年 第 7 年 第 7 年 第 8 年 第 8 年 54.35 56.25 57.76 79.0760.2461.3262.33 63.29第 9 年 第 10 年 第 11 年 第 12 年第 13 年第 14 年第 15 年 第 16 年64.20 65.08 65.92 66.7367.5268.2969.05 69.78(i)8 年后作另外投资，则第 n 年卖出

18、到第 8 年的收入如下表：第 1 年 第 1 年 第 2 年 第 2 年 第 3 年 第 3 年 第 4 年 第 4 年 第 5 年 第 5 年 第 6 年 第 6 年 第 7 年 第 7 年 第 8 年 第 8 年 62.42 63.35 63.78 63.9463.9363.8063.58 63.29最大值为第四年，所以第四年卖出最佳。(ii)如果银行利率提高到 0.03，则第 n 年卖出到第 8 年的收入如下表：第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年 第 7 年 第 8 年 66.83 67.17 66.9666.4865.8365.0664.20 63.

19、29第二年有最大值，所以第二年卖出最佳。朱韵韵 实验一 陈酒出售的最佳时机问题1.数据比较数据比较H第一方案的分析第一方案的分析Lfx_D:=50H1+0.05Lxdata=TablefxD,8x,1,16,1DListPlotdata,GridLines AutomaticD852.5,55.125,57.8813,60.7753,63.8141,67.0048,70.355,73.8728,77.5664,81.4447,85.517,89.7928,94.2825,98.9966,103.946,109.1442.557.51012.515708090100110?Graphics?H第

20、二方案的分析第二方案的分析Lfx_D:=50EHxH12L6Ldata=TablefxD,8x,1,16,1DListPlotdata,GridLines AutomaticDNdata,6D950?16,50?1?3!2,50?1?2!3,50?13,50?!5?6,50?1?!6,50?!7?6,50?!2?3,50!?,50?#5?2?3,50?!11?6,50?1?!3,50?!13?6,50?#7?2?3,50?#5?3?2,50?23=2.557.51012.515708090?Graphics?859.0680,63.2899,66.7329,69.7806,72.5808,75

21、.2090,77.7098,80.1121,82.4361,84.6961,86.9031,89.0656,91.1903,93.2825,95.3467,97.3867两方案的图形比较分析两方案的图形比较分析t1=ListPlotTable50H1+0.05Ly,8y,1,16,1D,GridLines Automatic,PlotJoined TrueDt2=ListPlotTable50EHxH12L6L,8x,1,16,1D,GridLines Automatic,PlotJoined TrueDShowt1,t2D211.nb2.557.51012.515708090100110?G

22、raphics?2.557.51012.515708090?Graphics?2.557.51012.515708090100110?Graphics?11.nb3由上表数据可知，如果酒厂两年后投资扩建，应用第二种方案由上表数据可知，如果酒厂六年后投资扩建，应用第二种方案2.进一步分析进一步分析fx_D:=50EHSqrtxD6LH1+0.05LH8 xLdata=TablefxD,8x,1,8,1Table0.91*(iTable0.91*(i-1),i,1,21,Automatic1),i,1,21,Automatic分析上图，可知：分析上图，可知：分析上图，可知：分析上图，可知：图中，张

23、角随图中，张角随x x的变化而改变，它的的变化而改变，它的最高点位于第三、四、五排中的某一最高点位于第三、四、五排中的某一点处，必须考虑到排数只能取到整点处，必须考虑到排数只能取到整数，而不能是小数。为了进一步观数，而不能是小数。为了进一步观察，我们作小区间察，我们作小区间1.821.82，3.643.64上上x x的图象。的图象。键入作图程序即得图象：键入作图程序即得图象：Plotthetax,xPlotthetax,xPlotthetax,xPlotthetax,x,1.82,3.64,Grid,1.82,3.64,Grid,1.82,3.64,Grid,1.82,3.64,GridLin

24、esLinesLinesLines-Table0.91*(iTable0.91*(iTable0.91*(iTable0.91*(i-1),i,3,5,Auto1),i,3,5,Auto1),i,3,5,Auto1),i,3,5,Automaticmaticmaticmatic讨论最值并求平均值讨论最值并求平均值 最值讨论：最值讨论：由上图象分析得，最由上图象分析得，最值点处为值点处为x=2.5,x=2.5,但此但此时对应的排数为小时对应的排数为小数。故就近取数。故就近取x=2.73,x=2.73,对应为第四对应为第四排时，张角达到最排时，张角达到最大，最大值大，最大值MM0.846310.8

25、4631。求均值求均值 键入键入NlntegratethetaNlntegratethetax,x,0,18.2/18.x,x,0,18.2/18.2/N2/N运行得张角平均运行得张角平均值为值为=0.626023=0.626023实验结果：实验结果：最佳的座位在第四排最佳的座位在第四排 在区间上的均值为在区间上的均值为=0.6260230.626023实验过程分析：实验过程分析：开始定义辅助函数，根据令开始定义辅助函数，根据令a=a=观众与荧观众与荧幕顶的距离，幕顶的距离，b=b=观众与荧幕底的距离，观众与荧幕底的距离，由勾股定理及余弦定理推出。由勾股定理及余弦定理推出。本文稿对本文稿对MA

26、THEMATIC MATHEMATIC 的运行结果进的运行结果进行了适当删节。行了适当删节。2003-9-221数学实验（一）某电影放映厂内的银幕高为7.62m,其下沿距地面3.05m,第一排座位离银幕距离为2.74m,每两排座位的间距为0.91m,共设21排.剧场地面从第一排座位开始为一个倾角为20度的斜坡,观众的眼睛距地面1.22m.现假设观众的最佳座位是这样的位置,它使得观众的眼睛对银幕的张角达到最大.试问哪一排的座位最佳?试画出张角随x变化的图形,并求出角度在x的变化区间0,1.82上的平均值(见图示).2003-9-222题图2003-9-223首先赋值角度，并定义函数a(x),b(

27、x)及(x)做出角度的图形alfa=20Pi/180;ax_:=Sqrt(2.74+x*Cosalfa)2+(9.45-x*Sinalfa)2bx_:=Sqrt(2.74+x*Cosalfa)2+(x*Sinalfa-1.83)2thetaX_:=ArcCos(aX2+bX2-7.622)/2/aX/bXPlotthetax,x,0,18.2,GridLines-Table0.91*(i-1),i,1,21,Automatic2003-9-224取定小区间继续作图以便观察Plotthetax,x,1.82,3.64,GridLines-Table0.91*(i-1),i,3,5,Automat

28、ic2003-9-225求出角度的平均值Nlntegratethetax,x,0,18.2/18.2/N2003-9-226求得角度的平均值约为0.6260230.0549451 NlntegrateArcCos(0.5 2 2(-58.0644+(9.45-0.34202 x)+(-1.83+0.34202 x)+22.(2.74+0.939693 x)/2 2(Sqrt(9.45-0.34202 x)+(2.74+0.939693 x)2 2Sqrt(-1.83+0.34202 x)+(2.74+0.939693 x),x,0,18.22003-9-227求得角度的最小值为约0.37909

29、8theta18.2Pi 2ArcCos(-58.0644+2(2.74+18.2 Cos-)+9Pi 2 Pi 2(9.45-18.2 Sin-)+(-1.83+18.2 Sin-)/9 9Pi 2 Pi 2(2 Sqrt(2.74+18.2 Cos-)+(9.45-18.2 Sin-)9 9Pi 2 Pi 2Sqrt(2.74+18.2 Cos-)+(-1.83+18.2 Sin-)9 9 2003-9-228试验结论1.第四排的座位最佳2.在x的变化区间0，1.82上的平均值为0.626023教堂顶部曲面面积的计算方法(1)为了计算椭球面积，我们先定义椭球的参数方程：为了计算椭球面积，我

30、们先定义椭球的参数方程：In1:=x=H30.6LSinuDSinvD;y=H29.6LSinuDCosvD;z=H30.LCosuD;其中，0u0.5Pi,0v2Pi然后，我们再定义x,y,z关于u,v的偏导数：In4:=xu=Dx,uD;xv=Dx,vD;yu=Dy,uD;yv=Dy,vD;zu=Dz,uD;zv=Dz,vD;根据参数方程求曲面积分的算法，将其化为重积分计算得半椭球面的面积In10:=fu_,v_D:=SqrtHyuzv yvzuL2+Hzuxv zvxuL2+Hxuyv xvyuL2DNIntegratefu,vD,8u,0,0.5 Pi,8v,0,2 PiDOut11=

31、5679.81作图，得如下图形In12:=ParametricPlot3D8H30.6LSinuDSinvD,H29.6LSinuDCosvD,H30.LCosuD,8u,0,0.5 Pi,8v,0,2 PiDClearx,y,z,u,vD-20020-200200102030-20020Out12=?Graphics3D?(2)因为该图形关于因为该图形关于z轴对称，所以，先定义该图形的轴对称，所以，先定义该图形的1/24,也就是也就是0uPi/2,0vPi/12时的参数方程，以及时的参数方程，以及x,y,z关于关于u,v的偏导，这样，就可以去除原参数方程中的绝对值符号，避免由此产生的不可运算

32、的问题。的偏导，这样，就可以去除原参数方程中的绝对值符号，避免由此产生的不可运算的问题。In14:=x=rSinuDH1+H0.1LSin6 vDLCosvD;y=rSinuDH1+H0.1LSin6 vDLSinvD;z=rCosuD;r=30;xu=Dx,uD;xv=Dx,vD;yu=Dy,uD;yv=Dy,vD;zu=Dz,uD;zv=Dz,vD;根据曲面面积的算法，得该曲面面积的1/24为2Newnb-t11.nbIn24:=fu_,v_D:=SqrtHyuzv yvzuL2+Hzuxv zvxuL2+Hxuyv xvyuL2DNIntegratefu,vD,8u,0,0.5 Pi,8

33、v,0,H1.12LPiDOut25=268.941于是，该曲面面积为In26:=%2524Clearx,y,z,u,vDOut26=6454.59作该曲面图形In28:=x=r SinuD H1+0.1 AbsSin6 vDDL CosvD;y=r SinuD H1+0.1 AbsSin6 vDDL SinvD;z=r CosuD;r=30.0;ParametricPlot3D8x,y,z,8u,0.,0.5 Pi,8v,0.,2 Pi,ViewPoint 80.781,6.177,2.633 0.00807465,n0-32.3936 于是，可以得出人口函数ft,并求出2020年的人口数目

34、，f1t_:=3239.39*Exp0.00807465 t Solvey-3239.39*Exp0.00807465 60=0,y 运行结果为:y-5258.6 所以,该模型模拟的2020年时的人口为5258.6百万.下面我们作出函数图象与已给的数据进行比较.data=Tablef1i,i,0,10 t1=ListPlotxy,PlotStyle-RGBColor1,0,0 t2=ListPlotdata,PlotRange-0,10,3200.00,3500.00;Showt1,t2 运行,得:3239.39,3265.65,3292.13,3318.82,3345.73,3372.85,

35、3400.2,3427.76,3455.55,3483.57,3511.81 接着,我们列一个表来比较拟合的数据的误差:年份年份 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 实际人口实际人口/百万百万 2972 3061 3151 3213 3234 3285 3356 3420 3483 模拟人口模拟人口/百万百万 3239.39 3265.65 3292.133318.823345.733372.853400.2 3427.76 3455.55误差误差 267.39 204.65 141.1 105.82 111.73 87.85 44.2 7

36、.76-27.45 2.根据Logistic方程:f2t_:=a/(a/N0-b)*E(-a t)+b)经过多次的与实际数据的逼近,我们可以得出经验数值a-0.06,b-10(-5).于是我们作出逼近函数的点图并与实际数据进行比较:a=0.06;b=10(-5);N0=2972.;data=Tablef2t,t,0,8;t3=ListPlotdata,PlotStyle-RGBColor0,1,0 Showt1,t3 我们再求出Logistic方程所与预测的 2020年世界人口:Solvey-f60=0,y 运行,得:y-5837.49 即2020年世界人口为5837.49百万.3.我们来比较

37、 1 与 2 的结果,键入:f1t_:=a/(a/n0-b)*E(-a*t)+b)a=0.06;b=10(-5);n0=2972.;f2t_:=3239.39*Exp0.00807465 t w1=Plotf1t,t,0,100,PlotStyle-RGBColor1,0,0 w2=Plotf2t,t,0,100,PlotStyle-RGBColor0,1,0 Showw1,w2 运行,得:?从上面的图象可以看出:在做近期预测时,马尔萨斯方程比较准确;但在长期预测中,马尔萨斯方程预测的结果越来越趋向于无穷大,因为人口不可能无限制增长下去，所以在长期预报中，显然 Logistic 方程比马尔萨斯

38、方程更加合理。世界人口将趋向于一个确定的值.从上面的图象可以看出:在做近期预测时,马尔萨斯方程比较准确;但在长期预测中,马尔萨斯方程预测的结果越来越趋向于无穷大,因为人口不可能无限制增长下去，所以在长期预报中，显然 Logistic 方程比马尔萨斯方程更加合理。世界人口将趋向于一个确定的值.环境工程:陈金銮,栾永翔,李雪亭,唐银健 数学实验数学实验 一、问题 问题 问题 在相距100m的两个塔（高度相等的点）上悬挂一根电缆，允许电缆在中间下垂10m.2 试求出该电缆的曲线表达式，并作出其图形；3 用近似计算方法计算空中电缆的长度；4 用弧长公式计算电缆长度，并与的结果比较.问题 问题 某旅游景

39、点从山脚到山顶有一缆车索道，高差为380m，采用循环单线式修建.缆绳悬挂在下站到上站的行程中的个铁塔上，这个铁塔依山势走向而距离不等，从下站到第一铁塔的水平距离为d0，高差为h0，从第一铁塔到第二铁塔的水平距离为d1，高差为h1，.从第八个铁塔到上站的水平距离为d8，高差为h8.具体数据见下表：d0d1d2d3d4d5d6d7d8220 200 140 120 100 120 140 200 220 h0h1h2h3h4h5h6h7h850 45 40 38 34 38 40 45 50 每一段缆绳下垂的最低点不低于两端铁塔最低塔顶悬挂绳处1M.试估算整个索道工程所用的缆绳总长度，并作出其图形

40、.二、求解过程 求解问题 求解问题 分析求解该绳索在平衡状态时所呈曲线的方程并作出其图形分析求解该绳索在平衡状态时所呈曲线的方程并作出其图形：图 如图所示，设绳索的最底点为取y轴通过点铅直向上，并在绳索所在的平面内再取x轴，使x轴与y轴构成平面直角坐标系，并使等于某定值 设绳索曲线的方程为y=y(x)考察绳索上点与另一点（x,y）间的一段弧的受力情况设这段弧的长度为ss是x 的函数：s=s(x)假定单位长绳索的重量为，则弧的重量为s由于绳索近似柔软，因而在点处的张力沿水平切线方向，设其大小为；在点处的张力沿该点处的切线方向，与水平线成角，设其大小为因为作用于弧段的外力相互平衡，把作用于弧上的力

41、沿铅直及水平两方向分解，得：Tsin=s Tcos=H 两式相除得：tan=a1s Ha=()因为tan=y，上式即：y=a1s 对此式两端关于x求导，并由dxds=21y+，得：y=a121y+(4)这是y=y(x)应满足的微分方程 取原点到的距离为定值，即，则初值条件为：aay|x=0=ayx=0=0 求解方程(4)，得：y=coshaax (5)求得后即可得问题中电缆的曲线方程 aa由题意知满足以下关系：a+=shacoa 在问题中=50，=10，得 a+10=shacoa50 解此方程，在Mathematica中键入：fx_:=x+10-x*Cosh50/x fx_:=x+10-x*C

42、osh50/x a0=120.0;b0=130.0;delta=10(-3);k0=100;a0=120.0;b0=130.0;delta=10(-3);k0=100;a=a0;b=b0;a=a0;b=b0;Dox=(a+b)/2;Dox=(a+b)/2;Printx;Printx;Iffx=0,Break,Iffx=0,Break,Iffx*fb0,a=x,b=x;Iffx*fb0,a=x,b=x;IfAbsb-adelta,Break,Ifk=k0,Printfailed,k,k0 IfAbsb-a0,140,AspectRatio-Automatic PlotCoshx/126.633*

43、126.633,x,-50,50,PlotRange-0,140,AspectRatio-Automatic 得图形如下：进一步观察图形，键入：PlotCoshx/126.633*126.633,x,-50,50,AspectRatio-Automatic PlotCoshx/126.633*126.633,x,-50,50,AspectRatio-Automatic 得图形如下：2 算空中电缆的长度：算空中电缆的长度：用弧长公式计算电缆长度 已知弧长公式：s=+badxy21 问题中电缆的曲线方程为：y=coshaax (a=126.633)于是：s=2bdxax0cosh=2abax0si

44、nh=2sinhaab 而b=50，=126.633 a在Mathematica中键入：2*126.633*Sinh50/126.633 2*126.633*Sinh50/126.633 得：102.619 102.619 即电缆的长度约为102.619m.求解问题2求解问题2 图 如图所示，每一段绳下垂的最低点低于两端铁塔最低塔顶处m又有问题知，该悬链线方程为：y=coshaax则当x=b时，y=+1；当x=a时，y=a+下面求下站到第一铁塔的缆绳长度（其他可类似求得）：假设两点（下站与第一铁塔顶）间距离为d，高差为h则由图知，d=+b，h=-1 于是得方程组：a+1cos=ahab (6)

45、+h+1cosa=ahabd (7)将问题数据表中的数据代入方程组，可求得，进而通过弧长公式求缆绳的长度+h+1cosab具体过程（以下站与第一铁塔为例）如下：1 联立(6)(7)得：a=ahaaahad1arccos+(8)4 将h=50，d=220代入(8)并解此方程，键入：f*Cosh(220-x*ArcCosh1+(1/x;+b1)/2;x;k=k0,Printfailed,f*Cosh(220-x*ArcCosh1+(1/x;+b1)/2;x;k=k0,Printfailed,5 解得：6求缆绳长：s=x_:=x)/x-x-51x_:=x)/x-x-51a0=372.;b0=373.

46、;a0=372.;b0=373.;delta=10(-3);delta=10(-3);k0=100;=b0;k0=100;=b0;a1=a0;b1Dox=(a1a1=a0;b1Dox=(a1Printx;eak,Printx;eak,Iffx=0,BrIffx=0,BrIffx*fb10,a1=x,b1=Iffx*fb10,a1=x,b1=IfAbsb1-a1delta,Break,IfIfAbsb1-a1Automatic 27.282.9435 a0,b1)/a1-a1+h0,+h1,+h2,d3+h3,d4+h4,d5+h5,d6+h6,d7 Showp0,p4,p5,p6,p7,p8,

47、AspectRatio-Automatic a1=336.7；b1=25a1=336.7；b1=25a2=184.423；b2=25.9435 a2=184.423；b2=25.9435 a3=142.427；b3=16.8678a3=142.427；b3=16.8678a4=109.167；b4=14.7649 a4=109.167；b4=14.7649 a5=142.427；b5=16.8678 a5=142.427；b5=16.8678 a6=184.423；b6=25.9435 a6=184.423；b6=25.9435 a7=336.7；b7=25.9435 a7=336.7；b7=

48、25.9435 a8=372.321；b8=27.282 a8=372.321；b8=27.282 p0=Plota0*Coshx/a0-p0=Plota0*Coshx/a0-x,-b0,d0-b0 x,-b0,d0-b0 p1=Plota1*Cosh(x-(d0-b0)-p1=Plota1*Cosh(x-(d0-b0)-x,d0-b0,d0-b0+d1 x,d0-b0,d0-b0+d1p2=Plota2*Cosh(x-(d0-b0)-d1-b2)/a2-a2+h0p2=Plota2*Cosh(x-(d0-b0)-d1-b2)/a2-a2+h0 x,d0-b0+d1,d0-b0+d1+d2 x

49、,d0-b0+d1,d0-b0+d1+d2p3=Plota3*Cosh(x-(d0-b0)-d1-d2-b3)/a3-a3+h0+h1p3=Plota3*Cosh(x-(d0-b0)-d1-d2-b3)/a3-a3+h0+h1 x,d0-b0+d1+d2,d0-b0+d1+d2+x,d0-b0+d1+d2,d0-b0+d1+d2+p4=Plota4*Cosh(x-(d0-b0)-d1-d2-d3-b4)/a4-a4+h0+h1+h2p4=Plota4*Cosh(x-(d0-b0)-d1-d2-d3-b4)/a4-a4+h0+h1+h2 x,d0-b0+d1+d2+d3,d0-b0+d1+d2+

50、d3+x,d0-b0+d1+d2+d3,d0-b0+d1+d2+d3+p5=Plota5*Cosh(x-(d0-b0)-d1-d2-d3-d4-b5)/a5-a5+h0+h1+h2+h3p5=Plota5*Cosh(x-(d0-b0)-d1-d2-d3-d4-b5)/a5-a5+h0+h1+h2+h3 x,d0-b0+d1+d2+d3+d4,d0-b0+d1+d2+d3+d4+x,d0-b0+d1+d2+d3+d4,d0-b0+d1+d2+d3+d4+p6=Plota6*Cosh(x-(d0-b0)-d1-d2-d3-d4-d5-b6)/a6-a6+h0+h1+h2+h3+h4p6=Plota