浙江专用2016高考数学二轮复习专题规范练2立体几何问题理.doc

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1、规范练二立体几何问题1如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADBC，ABC60，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90，得到梯形ABCD.(1)求证：AC平面ABC；(2)求证：CN平面ADD；(3)求二面角ACNC的余弦值(1)证明ADBC，N是BC的中点，ADNC，又ADBC，四边形ANCD是平行四边形，ANDC，又ABC60，四边形ABCD为等腰梯形，ABBNAD，四边形ANCD是菱形，ACBDCB30，BAC90，即ACAB，又平面CBA平面ABC，平面CBA平面ABCAB，AC平面ABC.(2)证明ADBC，ADBC，ADADA，BCBCB，平面ADD平面BCC，又CN平面B

2、CC，CN平面ADD.(3)解AC平面ABC，AC平面ABC.如图建立空间直角坐标系，设AB1，则B(1,0,0)，C(0，0)，C(0,0，)，N，(1,0，)，(0，)，设平面CNC的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，则x，y1，n(，1,1)AC平面ABC，平面CAN平面ABC，又BDAN，平面CAN平面ABCAN，BD平面CAN，BD与AN交于点O，则O为AN的中点，O，平面CAN的法向量.cos n，由图形可知二面角ACNC为钝角，所以二面角ACNC的余弦值为.2如图，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，PDQA，QAADPD.(1)求证：平面PQC平面DCQ；(2)若二面角

3、QBPC的余弦值为，求的值(1)证明设AD1，则DQ，DP2，又PDQA，PDQAQD45，在DPQ中，由余弦定理可得PQ.DQ2PQ2DP2，PQDQ，又PD平面ABCD，PDDC，CDDA，DAPDD，CD平面ADPQ.PQ平面ADPQ，CDPQ，又CDDQD，PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)解如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设AD1，ABm(m0)依题意有D(0,0,0)，C(0,0，m)，P(0，2,0)，Q(1,1,0)，B(1,0，m)，则(1,0,0)，(1,2，m)，(1，1,0)，

4、设n1(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，则即因此可取n1(0，m,2)设n2(x2，y2，z2)是平面PBQ的法向量，则即可取n2(m，m,1)又二面角QBPC的余弦值为，|cos n1，n2|.整理得m47m280.又m0，解得m1.因此，所求的值为1.3已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且ACBD，AC与BD交于O，PO底面ABCD，PO2，AB2CD2，E，F分别是AB，AP的中点(1)求证：ACEF；(2)求二面角FOEA的余弦值(1)证明E，F分别是AB，AP的中点EF是APB的中位线，EFPB，由已知可知PO平面ABCD，POAC，又ACBD，又BDO

5、PO，AC面POB.又PB平面POB，ACPB，ACEF.(2)解如图建立空间直角坐标系依题意知，OAOB2，OCOD1，则A(0，2,0)，B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,2)，(1，1,0)，(0，1,1)，设平面OEF的法向量为m(x，y，z)，则可取m(1,1,1)平面OAE的法向量为n(0,0,1)，cos m，n.故二面角FOEA的余弦值为.4在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA1，点D为AC的中点，点E在线段AA1上(1)当AEEA112时，求证DEBC1；(2)是否存在点E，使二面角DBEA等于60，若存在求AE的长；若不存在，请说明理

6、由(1)证明连接DC1，因为ABCA1B1C1为正三棱柱，所以ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BDAC，又平面ABC平面ACC1A1，所以BD平面ACC1A1，所以BDDE.因为AEEA112，AB2，AA1，所以AE，AD1，所以在RtADE中，ADE30，在RtDCC1中，CC1，CD1，所以C1DC60，所以EDC190，即EDDC1，又BDDC1D，所以ED平面BDC1，BC1面BDC1，所以EDBC1.(2)解假设存在点E满足条件，设AEh.取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1平面ABC，所以DD1AD，DD1BD，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，E(1,0，h)，所以(0，0)，(1,0，h)，(1，0)，(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则令z11，得n1(h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则n2(，1,0)cos n1，n2cos 60.解得h，故存在点E，当AE时，二面角DBEA等于60.5