2021年2021年平面向量练习题集标准答案.docx

《2021年2021年平面向量练习题集标准答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年2021年平面向量练习题集标准答案.docx（9页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-平面对量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例 1】 以下命题：向量 AB 的长度与BA 的长度相等；向量 a 与向量 b 平行，那么a 与 b 的方向一样或相反；两个有共同起点的单位向量，其终点必一样；向量 AB 与向量 CD 为共线向量，那么A.B.C.D 必在同始终线上.其中真命题的序号为.【解读】对；零向量与任一向量为平行向量，但零向量的方向任意，故错；明显错；AB 与 CD为共线向量，那么A.B.C.D可在同始终线上，也可共面但不在同始终线上，故错.故为真命题的只有 .【点拨】正确懂得向量的有关概念

2、为解决此题的关键，留意到特别情形，否认某个命题只要举出一个反例即可 .【变式训练1】以下各式： |a| a . a ；(a. b) . c a .(b . c)； OA OB BA ；在任意四边形ABCD 中， M 为 AD 的中点， N 为 BC 的中点，那么AB DC 2 MN ； a (cos ，sin )，b(cos ， sin )，且 a与 b 不共线，那么(a b) (a b).其中正确的个数为() A.1B.2【解读】选D.| a| a . a 正确； (a . b) . ca . (b . c)； OA OB BA 正确；如以下图所示，MN = MD + DC + CN 且 M

3、N = MA + AB + BN ，两式相加可得2 MN AB DC ，即命题正确；. word.zl-第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-由于 a， b 不共线，且 |a| |b| 1，所以 a b，a b 为菱形的两条对角线， 即得 (ab) (ab).所以命题正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例 2】如图， ABCD 为平行四边形，AC.BD 交于点 O，点 M 在线段 DO1上，且 DM=DO31，点 N 在线段 OC 上、且 ON =OC 、设 AB = a、 AD =b、

4、试用 a.3b 表 示 AM ， AN ， MN .【解读】在 .ABCD 中， AC， BD 交于点 O ，1所以 DO 2 DB 1( AB AD ) 21(ab)， 21AO OC 2 AC 1( AB AD ) 21(a b). 211又 DM 3 DO ，ON 3 OC ，1所以 AM AD DM b 3 DO1 b 31(a b)2156a b，61AN AO ON OC 3 OC4412OC 33(a b)2(ab). 3所以 MN AN AM21 (a b)( a3656b)11a b.26【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就为可以将平面任一向量由平面两个不共线的向量表示，即

5、平面对量根本定理的应用，在运用向量解决问题时，常常需要进展这样的变形.【变式训练2】O 为平面 上一点， A.B.C 为平面 上不共线的三点， 平面 的动点 P 满意 OP OA ( AB AC )，假设 1时，那么PA . ( PB PC )的值为 . 2【解读】由得OP OA ( AB AC )，即 AP ( AB AC )，当 1时，得 AP 21( AB AC )， 2. word.zl-第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-所以 2 AP AB AC ，即 AP AB AC AP

6、， 所以 BP PC ，所以 PB PC PB BP 0，所以 PA .( PB PC ) PA . 0 0，故填 0.题型三向量共线问题【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 .(1)假设 AB a b，BC 2a 8b，CD 3(a b)，求 证 ： A， B，D 三 点 共 线 ； (2)试确定实数k，使 ka b 和 a kb 共线 .【解读】 (1)证明：由于AB ab， BC 2a 8b， CD 3(ab)，所以 BD BC CD 2a 8b 3(a b)5(a b) 5 AB ，所以 AB ， BD 共线 .又由于它们有公共点B， 所 以 A， B，D 三 点 共 线 .

7、(2)由于 ka b 和 a kb 共线，所以存在实数，使 ka b (a kb)，所以 (k)a (k1)b.由于 a 与 b 为不共线的两个非零向量，所以 k k1 0，所以 k21 0，所以 k 1.【点拨】 (1)向量共线的充要条件中，要留意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要留意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】O 为正三角形BAC 部一点， OA +2 OB +3 OC =0 ，那么 OAC的面积与 OAB 的面积之比为3

8、2A. B.231C.2D.3【解读】如图，在三角形ABC 中， OA 2 OB 3 OC 0，整理可得 OA OC 2( OB OC ) 0.令三角形 ABC 中 AC 边的中点为E， BC 边的中点为F，那么点O 在点 F 与点 E 连线的1处，即 OE 2OF. 3. word.zl-第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-1hh12设三角形ABC 中 AB 边上的高为h，那么 S OAC S OAE S OEC 2. OE .( 2)2OE h，SOAB1AB .2114h AB h，

9、22由于 AB 2EF， OE 3EF，所以 AB3OE，S OAC所以1 OE . h22S.应选 B. OAB总结提高1 AB . h341.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区分，直线平行不包括共线(即重合 )的情形， 而向量平行那么包括共线 (即重合 )的情形 .2.判定两非零向量为否平行，实际上就为找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量 a 与 b 共线同向时， | a b| | a| | b| ； 当向量 a 与 b 共线反向时，| a b| | a| | b| ；当向量 a 与 b 不共线时， | a b| | a| |b |.典例精析题型

10、一平面对量根本定理的应用【例 1】如图 .ABCD 中、M、N 分别为 DC， BC 中点 . AM =a、 AN =b、 试用 a， b 表示 AB ， AD 与 AC【解读】易知AM AD DM1 AD 2 AB ，1AN AB BN AB 2 AD ，AD1 ABa、即2AB1 ADb.22所以 AB 3(2ba)， AD 2(2a b). 3所以 AC AB AD 2(ab). 3. word.zl-第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-【点拨】 运用平面对量根本定理及线性运算，平面

11、任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得认真领会.【变式训练1】D 为 ABC 的边 BC 上的中点， ABC 所在平面有一点P，满意 PA BP CP 0，| PD |那么等于 ()| AD |11A. B.32C.1D.2【解读】由于D 为 BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法那么，易知PB PC 2 PD ，因此结合 PA BP CP 0 即得 PA 2 PD ，因此易得P，A，D 三点共线且D 为 PA 的中点， 所以| PD | AD | 1，即选 C.题型二向量的坐标运算【例 2】 a (1，1)，b (x， 1)，u a 2b， v 2a b. (1)假设 u

12、 3v，求 x； (2)假设 uv，求 x.【解读】由于a (1，1)， b (x， 1)，所以 u (1， 1) 2(x， 1) (1， 1) (2x， 2)(2x 1， 3)，v2(1，1) (x， 1)(2 x， 1). (1)u 3v. (2x 1， 3) 3(2 x， 1). (2x 1， 3) (63x， 3)， 所以 2x 1 6 3x，解得 x 1.(2)u v. (2x 1，3) (2x，1)2x1.3(2x)、. (2x 1) 3(2 x) 0. x 1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.nn*222【变式训练2】向量 a

13、n (cos 7 ，sin 7 )(n N )，| b| 1.那么函数y | a1 b| |a 2 b| |a 3b| |a 141 b| 2 的最大值为 .【解读】设 b (cos ，sin )，所以 y|a 1 b| 2|a 2 b| 2|a 3 b| 2 |a 141b| 2 (a1)2b2 2(cos ，7141141 sin )(cos ， sin ) (a141)2b2 2(cos， sin)(cos ， sin ) 282 2cos( )，所以 y 的最大值为7777284. word.zl-第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料

14、- - - - - - - - - - - - -.-题型三平行 (共线 )向量的坐标运算【例 3】 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设向量 m (a，b)，n(sin B，sin A)，p (b 2，a 2).(1)假设 m n，求证： ABC 为等腰三角形；(2)假设 m p，边长 c 2，角 C，求 ABC 的面积 . 3【解读】 (1)证明：由于m n，所以 asin A bsin B.由正弦定理，得a2 b2，即 a b.所以 ABC 为等腰三角形.(2)由于 m p，所以 m p 0，即a(b 2) b(a 2) 0，所以 a b ab.由余弦定理，得4a2 b

15、2 ab (ab)23ab，所以 (ab)2 3ab 4 0.所以 ab 4 或 ab 1(舍去 ).113所以 S ABC2absin C2 4 2 3.【点拨】设m (x1， y1)，n (x2 ，y2)，那么 m n. x1y2 x2y1； mn. x1x2 y1y2 0.【变式训练 3】a，b，c 分别为 ABC 的三个角 A，B，C 的对边，向量 m(2cosC1， 2)，n (cos C，cos C 1).假设 mn，且 a b 10，那么 ABC 周长的最小值为()A.10 53B.1053C.10 23D.10 23【解读】由 m n 得 2cos2C 3cos C 2 0，解

16、得 cos C1或 cos C 2(舍去 )，所以 c2a2 b2 2abcos 2C a2 b2 ab (ab)2 ab 100ab，由 10 a b2 ab. ab 25 ，所以 c2 75 ，即 c5 3，所以 a b c 10 53，当且仅当a b 5 时，等号成立.应选 B.典例精析题型一利用平面对量数量积解决模.夹角问题【例 1】 a， b 夹角为 120 ，且| a| 4，| b| 2，求： (1)| a b| ；(2)(a2b) (a b)；. word.zl-第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - -

17、 - - - - -.-(3)a 与(ab)的夹角 .【解读】 (1)(ab)2a2 b2 2a b1 164 2 4 2 12，2所以 | a b| 23.(2)(a2b) (a b)a2 3ab 2b21 16 3 4 2 2 412.21(3)a (a b) a2 a b 16 4 2 212.a . (ab)123所以 cos | a | ab |4 23，所以 . 26【点拨】利用向量数量积的定义.性质.运算律可以解决向量的模.夹角等问题.【变式训练1】向量 a，b， c 满意： |a| 1，|b| 2， ca b，且 ca，那么 a 与 b 的夹角大小为 .【解读】 由 c a.

18、c a 0. a2 a b 0，1所以 cos 2，所以 120 .题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题【例 2】 在 ABC 中， AB (2， 3)，AC (1， k)，且 ABC 的一个角为直角，求k 的值 .【解读】当A 90 时，有 AB AC 0，2所以 2 13 k 0，所以 k 3；当 B 90 时，有 AB BC 0，又 BC AC AB (12， k 3)( 1， k 3)，11所以 2 ( 1) 3(k 3)0. k 3 ；当 C 90 时，有 AC BC 0， 所以 1 k (k3) 0，所以 k2 3k 1 0. k3132.211313所以 k 的取值为3， 3

19、或2.【点拨】由于哪个角为直角尚未确定，故必需分类争论.在三角形中运算两向量的数量积，应留意方向. word.zl-第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-及两向量的夹角.【变式训练2】 ABC 中， AB 4， BC 5， AC 6，求 AB BC BC CA CA AB .【解读】由于2 AB BC 2 BC CA 2CA AB ( AB BC CA AB ) ( CA AB BC CA ) ( BC CA BC AB ) AB ( BC CA ) CA ( AB BC ) BC ( CA

20、 AB ) AB BA CA AC BC CB 4262 52 77.77所以 AB BC BC CA CA AB 2 .题型三平面对量的数量积的综合问题【例 3】数轴 Ox，Oy 交于点 O ，且 xOy，构成一个平面斜坐标系，e1，e2 分别为与Ox，Oy 同向3的单位向量，设P 为坐标平面一点，且OP xe1 ye2，那么点P 的坐标为 (x，y)，Q ( 1， 2).(1)求| OQ | 的值及 OQ 与 Ox 的夹角；(2)过点 Q 的直线 l OQ，求 l 的直线方程 (在斜坐标系中 ).1【解读】 (1)依题意知， e1e22，且 OQ e1 2e2，所以 OQ 2 (e12e2

21、 )2 1 4 4e1e23.所以 | OQ | 3.11又 OQ e1 ( e 2e2) e1 e2 2e1 . e2 0.所以 OQ e1，即 OQ 与 Ox 成 90 角.(2)设 l 上动点 P(x， y)，即 OP xe1 ye2， 又 OQ l，故 OQ QP ，即(x 1)e1 (y 2)e2 ( e1 2e2) 0.所以 (x 1) (x 1) (y 2)1 2(y 2) 0， 2所以 y 2，即为所求直线l 的方程 .【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式.函数.方程.三角函数.数列.解读几何等相交汇，表达以才能立意的命题原那么为近年来高考的命题趋势. wo

22、rd.zl-第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，点 A(5， 0).对于某个正实数k，存在函数f (x) ax2(a 0)，使得 OP .(OA| OA |OQ)(为常数 )，其中点 P，Q 的坐标分别为 (1，f(1)，(k，f (k)，| OQ |那么 k 的取值围为 () A.(2，)B.(3，)C.(4，)D.(8，)【解读】如下图，设OA OM ，| OA |OQ ON ， OM ON OG ，那么 OP OG .由于 P(1，a)，| OQ |kQ (k， ak2 )， OM (1，0)， ON (ak2，)， OG (k 1，ak2)，那么直线OGak2k2 a2k4k2 a2k4k2 a2k4k2 a2k4ak2的方程为yx，又 OP OG ，所以P(1，a)在直线 OG 上，所以a kk2a2k4kk2 a2 k4，所以a22 1k.由于 | OP | 1a2 1，所以 12 0，所以 k 2.应选 A.k. word.zl-第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -