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1、第1讲等差数列、等比数列一、选择题1.(2015广州模拟)在等差数列an中,a13a3a1510,则a5的值为()A.2 B.3 C.4 D.5解析设数列an的公差为d,a1a152a8,2a83a310,2(a53d)3(a52d)10,5a510,a52.答案A2.(2015济南模拟)等比数列an的前n项和为Sn,若2S4S5S6,则数列an的公比q的值为()A.2或1 B.1或2C.2 D.1解析法一若q1,则S44a1,S55a1,S66a1,显然不满足2S4S5S6,故A、D错.若q1,则S4S60,S5a50,不满足条件,故B错,因此选C.法二经检验q1不适合,则由2S4S5S6,
2、得2(1q4)1q51q6,化简得q2q20,解得q1(舍去),q2.答案C3.已知an为等差数列,其公差为2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为an的前n项和,nN*,则S10的值为()A.110 B.90C.90 D.110解析a3a12da14,a7a16da112,a9a18da116,又a7是a3与a9的等比中项,(a112)2(a14)(a116),解得a120.S101020109(2)110.答案D4.(2014新课标全国卷)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn等于()A.n(n1) B.n(n1)C. D.解析由a2,a4,a8成等比数
3、列,得aa2a8,即(a16)2(a12)(a114),a12.Sn2n22nn2nn(n1).答案A5.(2015南昌模拟)在正项等比数列an中,3a1,a3,2a2成等差数列,则等于()A.3或1 B.9或1C.1 D.9解析依题意,有3a12a2a3,即3a12a1qa1q2,解得q3,9.答案D二、填空题6.在等比数列an中,a13,a424,则a3a4a5等于_.解析a4a1q3,q38,q2,a3a4a5a1q2(1qq2)84.答案847.(2015阳泉模拟)若等差数列an满足a7a8a90,a7a100,则当n_时,an的前n项和最大.解析根据题意知a7a8a93a80,即a8
4、0.又a8a9a7a100,a90,当n8时,an的前n项和最大.答案88.等比数列an的各项均为正数,且a1a54,则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.解析由等比数列的性质可知a1a5a2a4a,于是,由a1a54得a32,故a1a2a3a4a532,则log2 a1log2 a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2325.答案5三、解答题9.(2015重庆卷)已知等差数列an满足a32,前3项和S3.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b1a1,b4a15,求bn的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d,则由
5、已知条件得a12d2,3a1d,化简得a12d2,a1d,解得a11,d,故通项公式an1,即an.(2)由(1)得b11,b4a158.设bn的公比为q,则q38,从而q2,故bn的前n项和Tn2n1.10.(2015江苏卷改编)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列.(1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列?并说明理由.(1)证明因为2an1an2d(n1,2,3)是同一个常数,所以2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列,(2)解不存在,理由如下:令a1da,则a1,a2,a3
6、,a4分别为ad,a,ad,a2d(ad,a2d,d0).假设存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列,则a4(ad)(ad)3,且(ad)6a2(a2d)4.令t,则1(1t)(1t)3,且(1t)6(12t)4,化简得t32t220(*),且t2t1.将t2t1代入(*)式,t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10,则t.显然t不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立.因此不存在a1,d,使得a1,a,a,a依次构成等比数列.11.(2015洛阳模拟)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式;(2)数列bn的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad,a,ad.依题意,得adaad15.解得a5.所以bn中的b3,b4,b5依次为7d,10,18d.依题意,有(7d)(18d)100,解得d2或d13(舍去).故bn的第3项为5,公比为2.由b3b122,即5b122,解得b1.所以bnb1qn12n152n3,即数列bn的通项公式bn52n3.(2)证明由(1)得数列bn的前n项和Sn52n2,即Sn52n2.所以S1,2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.5