2021年2021年五年级下册数学专项训练小学奥数第十三讲简单的统筹规划问题_通用版(习题无答案).docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -第十三讲简洁的统筹规划问题这一讲我们争论有关物资调运.下料问题及配套生产等实例；例 1某工地 A 有 20 辆卡车 、 要把 60 车渣土从 A 运到 B 、 把 40 车砖从 C 运到 D工地道路图如下图 、 问如何调运最省汽油？分析把渣土从 A 运到 B 或把砖从 C 运到 D 、 都无法节约汽油 . 只有设法削减跑空车的距离、 才能省汽油；解：假如各派10 辆车分别运渣土和砖、 那么每运一车渣土要空车跑回300 米 、 每运一车砖那么要空车跑回360 米 、 这样到完成任务总共空车跑了300 60360 40=3

2、2400米；假如一辆车从A B CDA 跑一圈 、 那么每运一车渣土.再运一车砖要空车跑240+90 330米 .因此 、 先派 20 辆车都从 A 开头运渣土到 B 、 再空车开往 C运砖到 D后空车返回 A 、 这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务 . 然后再派这 20 辆车都从 A 运渣土到 B 再空车返回 A 、 那么运渣土任务也完成了 . 这时总共空车跑了330 40+30020 19200米 .后一种调运方案比前一种削减跑空车13200 米 、 这为最正确节油的调运方案；说明：“节约跑空车的距离为物资调运问题的一个原那么：下面通过例子再介绍“防止对流的原那么；例 2一支勘探队在五个山头

3、A.B.C.D.E 设立了基地、 人数如下图 . 为调整使各基地人数相同、如何调动最便利？调动时不考虑路程远近分析在人员调运时不考虑路程远近的因素、 就只需防止两个基地之间相互调整、 即“防止对流现象；解：五个基地人员总数为17+4+16+14+9=60人依题意 、 调整后每个基地应各有605=12人；因此 、 需要从多于12 人的基地 A.C.D 向缺乏 12 人的基地 B.E 调人. 为了防止对流、 经试验简洁得到调整方案如下：先从 D 调 2 人到 E 、 这样 E 尚缺 1 人；再由 A 调 1 人给 E 、 那么 E 到达要求 . 此时 、A尚余外 4人 、C也余外 4 人 、 总共

4、 8 人全部调到 B 、 那么 B 亦符合要求；1 /6第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -调动示意图如下图 . 这样的图形叫做物资流向图 . 用流向图代替调运方案 、 能直观地看出调运状况及有无对流现象 、 又可防止列表和运算的麻烦 、 图中箭头表示 流向 、 箭杆上的数字表示 流量 ；说明：发生对流的调运方案不行能为最优方案. 这个原那么可以证明：如 图 、设 A1B2 a 千米 、B 2B1 =b 千米 、B 1A2c 千米. 假如从 A1 运 1 吨货物到 B1 、 同时又从 A2 运

5、 1 吨货物到B2 、 那么在 B1B2 之间 A1 的物资从西向东运输 、A 2 的货物从东向西运输 、 两者发生对流 、 于为这样调动的总吨千米数为 ab+b c ac+2b.而假如从 A1 运 1 吨货物到 B2 、 同时从 A2 运 1 吨货物到 B1 、 明显a+c a+c+2b；例 3 在一条大路上每隔 100 千米有一个仓库 如图 、 共有 5 个仓库 . 一号仓库存有 10 吨货物 、 二号仓库有 20 吨货物 、 五号仓库存有 40 吨货物 、 其余两个仓库为空的； 现在想把全部的货物集中存放在一个仓库里 、 假如每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费 、 那么最少要多

6、少运费才行？分析欲使花费的运输费少、 关键在于运输的货物和路程尽可能少、 实际体会告知我们一个原那么“小往大处靠. 下面就以两地调运问题为例加以运算验证：如图、 在大路上 A.B两地各有10 吨.15 吨麦子 、 问打麦场建在何处运费最少？设打麦场建在C 点 、 那么总运费为假定每吨小麦运输1 千米的费用为a 元W10aAC 15aBC 10aAC 10aBC 5aBC 10aACBC 5a BC=10a AB5aBC上式中 10aAB为固定的值、 不随 C 点的选取而转变；只有5aBC随 BC的变化而转变、 假设 BC越小 、 那么 W也越小 . 当 BC=0时 、 即 C点与 B 点重合时

7、、W 的值最小 . 因此打麦场建在B 点时总运费为10aAB元为最少 . 明显当打麦场建在AB线段之外时 、 总运费都大于10aAB元；解：依据“小往大处靠的原那么、 先把一号仓库的10 吨货物送往二号仓库集中、 需运费100.5 100=500元；这时可以认为二号仓库有30 吨货物 、 而五号仓库有40 吨货物 、 于为又应把二号仓库的30吨货物运往五号仓库集中、 需运费300.5 300=4500元；所以 、 把货物集中存放在五号仓库时所花运费最少、 需 要2 /6第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - -

8、 - - -500 4500=5000元；说明：“小往大处靠的原那么也不为一成不变的、 详细问题仍要详细分析；再举两例如下：例如一号仓库有 20 吨货物 、 二号仓库有 30 吨货物 、 其他仓库存货照样如前 、 那么应当往哪个仓库集中呢？第一仍应把一号仓库的 20吨货物运往二号仓库集中 、 然后再把五号仓库的 40吨货物也运往二号仓库集中 、 这样运费最少；又如一号仓库有 30 吨货物 、 二号仓库有 20 吨货物 、 其他仓库存货仍旧如前 、 那么应当往哪个仓库集中呢？先把一号仓库的 30吨货物运往二号仓库集中 、 再把五号仓库的 40 吨货物也运往二号仓库集中 、 这样运费最省 . 想想

9、为什么？仍有一点值得留意、 在打算货物往何处集中时、 起打算作用的为货物的重量、 至于距离仅仅为为了运算运费 . 假如把此题中各个仓库之间的距离换成另外一些数值、 仍应当把货物集中到五号仓库；此题可以推广为一般命题：“一条大路上有n 个仓库 、 它们分别存货A1 吨.A2 吨. an吨. 现在需要把全部的货物集中存放在一个仓库里、 应当选取哪个仓库可以使总运输费最少？它 的解法将涉及到一次函数的学问、 同学们在学过初三代数之后就会完全明白了；例 4189 米长的钢筋要剪成4 米或 7 米两种尺寸、 如何剪法最省材料？分析明显无残料的剪法为最优方案. 于为考虑二元一次不定方程的整数解问题；解：设

10、 4 米长的剪 x 根 、7米长的剪 y 根 、 依题意列方程4x7y 189；依据倍数分析法可知7x即 x 为 7 的倍数；令 x1 0 、 那 么 7y189 、 解 出 y1=27； x27 、 那 么 7y161 、 解 出 y223； x3=14 、 那 么 7y133 、 解 出 y319； x4=21 、 那 么 7y=105 、 解 出 y4=15； x528 、 那 么 7y=77 、 解 出 y5=11； x6=35 、 那 么 7y49 、 解 出 y6 7； x7=42 、 那 么 7y21 、 解 出 y7=3 ；因此 、 有七种剪法都为最省材料的；3 /6第 3 页

11、，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -说明：本例为最简洁的下料问题、 属于“线性规划的范畴、 线性规划 为运用一次方程组.一次函数来解决规划问题的数学分支；规划论争论的问题主要有两类：一类为确定了一项任务、争论怎样精打细算使用最少人力.物力和时间去完成它；另一类为在已有肯定数量的人力.物力和财力的条件下、 争论怎样合理调配、 使它们发挥最大限度的作用、 从而完成最多的任务；例 5用 10 尺长的竹竿做原材料、 来截取 3 尺.4 尺长的甲.乙两种短竹竿各100 根 、 至少要用去原材料几根？怎么截法最合算

12、？分析不难想到有三种截法省料：截法 1：截成 3 尺.3 尺.4 尺三段 、 无残料； 截法 2：截成 3 尺.3 尺.3 尺三段 、 残料 1 尺； 截法 3：截成 4 尺.4 尺两段 、 残料 2 尺；由于截法 1 最抱负无残料 、 因此应当充分应用截法 1. 考虑用原材料 50 根 、 可以截成 100 根 3 尺长的短竹竿 、 而 4 尺长的仅有 50 根 、 仍差 50 根. 于为再应用截法 3 、 截原材料 25 根 、 可以得到 4 尺长的短竹竿 50 根 、 留下残料 2 2550尺；解：至少要用75 根原材料、 其中 50 根用截法 1 、25根用截法 3 、 这样的截法最省

13、料.说明：一般说来、 肯定长度的条形材料要截取两种毛坯的下料问题、 用本例的方法求解为比拟省料的 、 这种解法的理论依据要用到二元不等式及一次函数图像、 有爱好的读者可参阅有关书刊；例 6甲.乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西产 1200 套西服 . 现在两厂联合生产、 尽量发挥各自特长多生产西服、 那么现在每月比过去多生产西服多少套？分析 依据条件 、 甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间之比为 23 、 因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比也为 23留意：在固定时间内 、 数量与每件所用时间成反比； 同理可知 、 在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比为 34；单说

14、明理由：假如甲厂生产9 条裤子 、 那么相当甲厂生产6 件上衣；假如让乙厂生产这6 件上衣 、 那么相当于生产 8 条裤子 . 这就为说 、 甲厂生产 9 条裤子时乙厂只能生产8 条裤子 . 明显甲厂善于生产裤子. 类似地 、 假如乙厂生产9 件上衣 、 那么相当于乙厂生产12 条裤子；假如让甲厂生产这12 条裤子 、那么相当甲厂生产8 件上衣 . 这就为说 、 乙厂生产 9 件上衣时甲厂只能生产8 件上衣 . 明显乙厂善于生产上衣 .4 /6第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解：两厂联合生

15、产、 尽量发挥各自特长、 支配乙厂全力生产上衣. 由同时 、 支配甲厂全力生产裤子、 那么甲厂全月可生产裤子为了配套生产、 甲厂先全力生产2100 条裤子 、 这需要 于为 、 现在联合生产每月比过去多生产西服2100 60- 900 1200=60套；说明：本例为线性规划中劳力组合问题. 劳力组合最简洁的情形就为效率比问题. 这里给出多种劳力或机械干两种配套活的一般分工原那么：5 /6第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -习题十三1. 某乡共有六块甘蔗地、 每块地的产量如以下图所示. 现在预备

16、建设一座糖厂、 问糖厂建于何处总运费最省？2. 产地 A1.A2.A3和销售地B1.B2.B3.B4 都在铁路线上、 位置如以下图所示.A1 .A2.A3的产量分别为5 吨.3 吨.2 吨； B1.B2.B3.B4 的销售量分别为1 吨.2 吨.3 吨.4 吨. 试求出访总运输吨公里数最小的调运方案；3. 把长 239 米的钢筋截成17 米和 24 米长的钢筋、 如何截法最省材料？4. 钢筋原材料每件长7.3 米 、 每套钢筋架子用长2.9 米.2.1 米和 1.5 米的钢筋各1 段. 现在需要绑好钢筋架子100 套 、 至少要用去原材料几件？截料方法怎样最省？5. 某车间有铣床3 台 、 车床 3 台 、 自动机床 1 台 、 生产一种由甲.乙两个零件组成的产品. 每台铣床每天生产甲零件10 个 、 或者生产乙零件20 个；每台车床每天生产甲零件20 个 、 或 者生产乙零件30 个；每台自动机床每天生产甲零件30 个 、 或者生产乙零件80 个. 如何支配这些机器的生产任务才能获得最大数量的成套产品？每天最多可生产多少套产品？6 /6第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -