函数 (2)讲稿.ppt

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1、关于函数(2)第一页，讲稿共五十四页哦本章内容本章内容 函数的定义与性质函数的定义与性质 函数的复合与反函数函数的复合与反函数 双射函数与集合的基数双射函数与集合的基数 第二页，讲稿共五十四页哦8.1 8.1 函数的定义与性质函数的定义与性质定义定义8.1 8.1 F F 为二元关系，为二元关系，每一个每一个 xdomFxdomF，都有都有唯一的唯一的 yranFyranF，使得，使得 FF 称称 F F 为函数（为函数（functionfunction）函数也称函数也称映射映射（mappingmapping）若若 xFy xFy，记作，记作 y=F(xy=F(x）称称 y y 为为 F F

2、在在 x x 的值。的值。第三页，讲稿共五十四页哦函数的定义函数的定义:从从A A到到B B的函数的函数定义定义8.3 8.3 设设A A和和B B是两个任意集合，是两个任意集合，f f是是A A到到B B的二元关系的二元关系如果对于如果对于A A中的每一个元素中的每一个元素x x，都存在，都存在B B中惟一元素中惟一元素y y，使得，使得 x,yx,yf f则称则称 f f 是从是从 A A 到到 B B 的函数的函数 或或 映射。映射。记为记为 f f：ABAB domfdomfA ranf A ranf B B x,yx,yf f，记为，记为y=f(x)y=f(x)x x称为自变元或原像

3、称为自变元或原像 y y称为在称为在f f作用下作用下x x的函数值或像的函数值或像第四页，讲稿共五十四页哦函数的特点函数的特点 全域性全域性：函数的定义中强调：函数的定义中强调A A中的每一中的每一个元素个元素x x有像，所以有像，所以 A=domf A=domf。函数的定义中还强调像函数的定义中还强调像y y是唯一的，称是唯一的，称做像的做像的惟一性惟一性。像的惟一性可以描述为：像的惟一性可以描述为：如果如果x x1 1=x=x2 2，那么，那么f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)或者，或者，如果如果f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)，那么，那么x x1 1xx2 2 第

4、五页，讲稿共五十四页哦例题例题【例】【例】设设A=a,b,B=1,2,3A=a,b,B=1,2,3，判断下列，判断下列集合是否是集合是否是A A到到B B的函数。的函数。F F1 1=a,1a,1,b,2b,2 F F2 2=a,1a,1,b,1b,1 F F3 3=a,1a,1,a,2a,2 F F4 4=a,3a,3 解解:F:F1 1,F,F2 2是函数，是函数，F F3 3,F,F4 4不是函数，不是函数，但若不强调是但若不强调是A A到到B B的函数，的函数，则则F F4 4是函数，其定义域为是函数，其定义域为aa。第六页，讲稿共五十四页哦B B上上A A定义定义8.4 8.4 当当

5、 A,B A,B 是有穷集合时，从是有穷集合时，从 A A 到到 B B 的全体的全体函数的集合：函数的集合：B BA A=f|f:AB=f|f:AB 函数的计数问题：函数的计数问题：|BA|=？第七页，讲稿共五十四页哦例题例题【例【例8.28.2】设设 A=A=1,2,31,2,3，B=B=a,ba,b，求，求B BA A 解：解：由由A A到到B B的函数有以下的函数有以下8 8个：个：f0=f0=1,a1,a,2,a2,a,3,a3,a f1=f1=1,a1,a,2,a2,a,3,b3,b f2=f2=1,a1,a,2,b2,b,3,a3,a f3=f3=1,a1,a,2,b2,b,3,

6、b3,b f4=f4=1,b1,b,2,a2,a,3,a3,a f5=f5=1,b1,b,2,a2,a,3,b3,b f6=f6=1,b1,b,2,b2,b,3,a3,a f7=f7=1,b1,b,2,b2,b,3,b3,b B BA A=f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7 f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7 第八页，讲稿共五十四页哦B B上上A A的基数的基数定理：当定理：当A A、B B为有限集时为有限集时|B|BA A|=|B|=|B|A|A|A A 到到 B B 的二元关系共有的二元关系共有 2 2|A|B|A|B|个个第九页，讲稿共五十四页哦像与完全原像像与完

7、全原像定义定义8.5 8.5 f f：ABAB，A A1 1 A A，B B1 1 B B（1 1）令令 f(A f(A1 1)f(x)|xf(x)|x A A1 1 称为集合称为集合A A1 1在在f f下的下的像像.（2 2）令令 f f-1-1(B(B1 1)x|xx|x Af(x)Af(x)B B1 1 称为集合称为集合B B1 1在在f f下的下的完全原像完全原像.第十页，讲稿共五十四页哦例题例题 设设 f:f:1,2,3 1,2,3 a,b,ca,b,c f=f=1,a1,a,2,a2,a,3,b3,b A A1 1=1 1 试求试求 A A1 1在在 f f 下的像下的像 f(A

8、 f(A1 1)和和 完全原像完全原像 f f-1-1 （f f（A A1 1）解：解：f(Af(A1 1)=)=f(x)|xf(x)|x A A1 1=f(1)f(1)=a a f f-1-1 （f f（A A1 1）f f-1-1（a a）1 1，2 2定理：定理：A1 f-1（f（A1）第十一页，讲稿共五十四页哦满射满射定义定义8.6 8.6 设设f f：ABAB，若，若 f f 的值域的值域 ranf=B ranf=B，则称则称 f f 为为满射满射。判别定理：判别定理：如果如果 y y B B，都存在，都存在 x x A A，使得使得 f(x)=y f(x)=y，则，则 f f 是满

9、射函数。是满射函数。若若A A、B B是有限集，是有限集，f f：ABAB是满射，是满射，则则|A|B|A|B|第十二页，讲稿共五十四页哦单射单射定义定义8.6 8.6 设设f:ABf:AB，若，若 y y ranfranf，存在惟一的，存在惟一的 x x A A，使得，使得 f(x)=yf(x)=y，则称，则称 f f 为为单射单射。判别定理：判别定理：若若f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)，有，有x x1 1=x=x2 2 若若x x1 1xx2 2，有，有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)若若A A、B B是有限集，是有限集，f f：ABAB是单射，是单射，则则|A|

10、B|A|B|第十三页，讲稿共五十四页哦双射双射定义定义8.6 8.6 设设f:ABf:AB，若，若 f f 既是单射，又是满射，既是单射，又是满射，则称则称 f f 为为双射（一一映射）双射（一一映射）。若若A A、B B是有限集，是有限集，f f：ABAB是双射，是双射，则则|A|A|B|B|第十四页，讲稿共五十四页哦函数的分类函数的分类第十五页，讲稿共五十四页哦例题例题【例【例8.68.6】构造双射函数：】构造双射函数：(1)A=P(1,2,3),B=0,1(1)A=P(1,2,3),B=0,11,2,31,2,3 (2)A=Z,B=N (2)A=Z,B=N 第十六页，讲稿共五十四页哦常函

11、数与恒等函数常函数与恒等函数定义定义8.78.7 设设 f:AB f:AB，若，若 c c B B，x x A A，都有都有 f(x)=c f(x)=c 则称则称 f f 为为常函数常函数 设设 I IA A 是是 A A 上的恒等关系，上的恒等关系，它是它是 A A 到到 A A 的函数，的函数，I IA A 叫做叫做 A A 上的上的恒等函数恒等函数,常记为常记为 I IA A(x)=x(x)=x第十七页，讲稿共五十四页哦特征函数特征函数定义定义8.78.7(4)(4)设设 A A 是任意集合，是任意集合，AA A A，x x A A，定义，定义 AA 0,10,1 的函数的函数如下如下,

12、叫做叫做 AA的的特征函数特征函数。第十八页，讲稿共五十四页哦例题例题【例】【例】设设 A=A=a,b,ca,b,c，A=A=b b，B=B=a,ba,b，则则 AA的特征函数：的特征函数：a,0a,0,b,1b,1,c,0c,0 B B的特征函数的特征函数 a,1a,1,b,1b,1,c,0c,0定理：定理：A A的每一个子集都对应一个特征函数；的每一个子集都对应一个特征函数；反之亦然。反之亦然。第十九页，讲稿共五十四页哦自然映射自然映射定义定义8.78.7 (5)(5)设设 R R 是是 A A 上的等价关系，上的等价关系，x xR R 是是 x x 形成的形成的 R R 等价类，等价类，

13、A/R A/R 是是 A A 关于关于 R R 的商集，的商集，g g：AA/RAA/R g(x)=x g(x)=x，x x A A 称称 g g 为为 A A 到商集到商集 A/R A/R 的的自然映射自然映射。第二十页，讲稿共五十四页哦例题例题 设设 A=A=a,b,ca,b,c A A 上的等价关系上的等价关系 R R 为：为：R=R=a,aa,a,b,bb,b,b,cb,c,c,bc,b,c,cc,c 商集商集 A/R=A/R=a a,b,cb,c 自然映射：自然映射：g g：AA/RAA/R g(a)=g(a)=a a g(b)=g(c)=g(b)=g(c)=b,cb,c 第二十一页

14、，讲稿共五十四页哦练习练习 习题八习题八 162 162页页 14 14 15 15 16 16第二十二页，讲稿共五十四页哦8.2 8.2 函数的复合与反函数函数的复合与反函数【例】【例】设设 A=x A=x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,x4 4 B=y B=y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,y4 4,y,y5 5 C=z C=z1 1,z,z2 2,z,z3 3 f:ABf:AB，g:BC g:BC f=xf=,x ,g=y g=,y ,求求 f fg g第二十三页，讲稿共五十四页哦解解 f fg=xg=,x ,第二十四页，讲稿共五十四页哦函数的复合函数的复合定理定理8.1

15、 8.1 F F，G G 是函数，则是函数，则 F FG G 也是函数，且满足也是函数，且满足（1 1）dom(F dom(FG)G)=x|x =x|x domF domF F(x)F(x)domGdomG（2 2）x x dom(Fdom(FG G）F FG G（x)=G(F(x)x)=G(F(x)第二十五页，讲稿共五十四页哦推论推论推论推论1 1 F F，G G，H H是函数，是函数，则则(F(FG)G)H,FH,F(G(GH)H)也是函数，且也是函数，且 (F(FG)G)H=FH=F(G(GH)H)推论推论2 2 f:ABf:AB，g:BCg:BC，则则f fg:ACg:AC，且且 f

16、fg(x)=g(f(x)g(x)=g(f(x)第二十六页，讲稿共五十四页哦例题例题【例】【例】设设f f，g g均为实函数，均为实函数，f(x)=2x+1,f(x)=2x+1,g(x)=x g(x)=x2 2+1,+1,求求 fg fg，gfgf，ffff，gggg解解 fg(x)=g(f(x)=(2x+1)fg(x)=g(f(x)=(2x+1)2 2+1 =4x+1 =4x2 2+4x+2+4x+2 gf(x)=f(g(x)=2(x gf(x)=f(g(x)=2(x2 2+1)+1 =2x+1)+1 =2x2 2+3+3 ff(x)=f(f(x)=2(2x+1)+1=4x+3 ff(x)=f

17、(f(x)=2(2x+1)+1=4x+3 gg(x)=g(g(x)=(x gg(x)=g(g(x)=(x2 2+1)+1)2 2+1 =x+1 =x4 4+2x+2x2 2+2+2第二十七页，讲稿共五十四页哦定理定理定理定理8.2 8.2 设设 f f：ABAB，g g：BC BC 则则 f fg g：ACAC 如果如果 f f 和和 g g 都是满射，则都是满射，则f fg g也是满射也是满射.如果如果 f f 和和 g g 都是单射，则都是单射，则f fg g也是单射也是单射.如果如果 f f 和和 g g 都是双射，则都是双射，则f fg g也是双射也是双射.第二十八页，讲稿共五十四页哦

18、定理证明：满射定理证明：满射证明：证明：c c C C，因为因为 g g 是是B B到到C C的满射，的满射，b b B B，使，使 c=g(b)c=g(b)又因为又因为 f f 是是A A到到B B满射，满射，a a A A，使使 b=f(a)b=f(a)于是，于是，f f g(a)=g(a)=g(f(a)=g(b)=g(f(a)=g(b)=c c，所以所以f f g g是满射是满射。第二十九页，讲稿共五十四页哦定理证明：单射定理证明：单射证明：证明：设设 a a1 1 A A 且且 a a2 2 A A，a a1 1aa2 2，因为因为 f f 是是 A A 到到 B B 的单射，的单射，

19、f(a f(a1 1)f(a)f(a2 2)，f(a f(a1 1)B B，f(af(a2 2)B B 又因为又因为 g g 是是 B B 到到 C C 单射，所以单射，所以 g(f(a g(f(a1 1)g(f(a)g(f(a2 2)，即即 f f g(ag(a1 1)f)f g(ag(a2 2)，故故f f g g是单射是单射。第三十页，讲稿共五十四页哦定理定理定理定理8.3 8.3 设设f f：ABAB，I IA A、I IB B是恒等函数，则是恒等函数，则 I IB B f=ff=fI IA A=f=f定理定理8.4 8.4 若若 f:AB f:AB 是双射的，是双射的，那么其那么其

20、逆关系逆关系 f f-1-1为为 B B到到A A的函数，的函数，称为称为 f f 的的 反函数反函数（inverse functioninverse function），），f f-1-1:BA:BA 也是双射的。也是双射的。第三十一页，讲稿共五十四页哦定理定理定理定理8.58.5 设设f:ABf:AB是双射的，则是双射的，则 f f-1-1 f=I f=IB B f f f f-1-1=I=IA A 第三十二页，讲稿共五十四页哦练习练习 习题八习题八 163 163页页 26 26设设 f f：ABAB，g g：BC BC 且且 f fg g：AC AC 是双射的，证明是双射的，证明 （1

21、 1）f f：AB AB 是单射的是单射的 （2 2）g g：BC BC 是满射的是满射的第三十三页，讲稿共五十四页哦作业作业 习题八习题八 160 160163163页页 2 4 5 9 2 4 5 9 12 14 15 16 12 14 15 16 17 18 19 22 17 18 19 22 26 26第三十四页，讲稿共五十四页哦8.3 8.3 双射函数与集合的基数双射函数与集合的基数我们把我们把 “基数基数”简单地看作简单地看作 “集合元素集合元素的个数的个数”，这对于，这对于有限集有限集来说是没有问题来说是没有问题的的但对于但对于“无限集无限集”而言，而言，“元素的个数元素的个数”

22、这这个概念是没有意义的。个概念是没有意义的。那么两个集合的那么两个集合的 “大小大小”相同相同 的确切含的确切含义是什么呢？义是什么呢？第三十五页，讲稿共五十四页哦悖论：部分整体悖论：部分整体有限情况：有限情况：部分部分=整体整体无限情况：无限情况：部分部分 整体整体第三十六页，讲稿共五十四页哦部分与整体部分与整体“自然数自然数”与与“正偶数正偶数”谁多？谁多？放弃放弃“整体大于部分整体大于部分”的古老信条。的古老信条。（直观）（直观）如果两个集合之间能够建立一一对应关如果两个集合之间能够建立一一对应关系，则两个集合含有相同个数的元素。系，则两个集合含有相同个数的元素。（理性）（理性）第三十七

23、页，讲稿共五十四页哦集合的等势集合的等势定义定义8.8 8.8 设设 A A 和和 B B 是集合，是集合，如果存在从如果存在从 A A 到到 B B 的的双射函数双射函数，则称集合则称集合 A A 和集合和集合 B B 等势等势，记作，记作 A B A B A A 和和 B B 是是有限集合有限集合，ABAB，则存在从则存在从 A A 到到 B B 的双射函数，的双射函数，|A|=|B|A|=|B|，即，即 A A 和和 B B 中元素的个数相等中元素的个数相等。第三十八页，讲稿共五十四页哦等势的例子等势的例子【例【例8.98.9】（1 1）ZNZN Z 0 Z 0-1-1 1 1-2-2

24、2 2-3-3 3 3-4-4 4 4 N 0 N 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 第三十九页，讲稿共五十四页哦等势的例子等势的例子【例【例8.98.9】（2 2）NNNNNN （3 3）NQNQ第四十页，讲稿共五十四页哦可数集可数集定义定义 如果存在从如果存在从 N N 到到 S S 的双射，则称集合的双射，则称集合 S S 为为可数无可数无限集限集（countable infinitesetscountable infinitesets ）其它无限集称为其它无限集称为不可数无限集不可数无限集 有限集和可数无限集统称为有限集和可数无限集统称为可数集可数集

25、（countablesets countablesets）显然，自然数集合显然，自然数集合 N N 为可数集，为可数集，N N的任何子集均为可数集的任何子集均为可数集定理：定理：有理数集为可数集有理数集为可数集。第四十一页，讲稿共五十四页哦等势的例子：等势的例子：部分整体部分整体 【例【例8.98.9】(4)(4)(0,1)R(0,1)R (5)(5)(0,1)0,1(0,1)0,1 (6)(6)a,b0,1a,b0,1 y=tan x y=tan x第四十二页，讲稿共五十四页哦定理定理【例【例8.108.10】A A为任意集合，则为任意集合，则 P P（A A）0,1 0,1A A 定理定理

26、8.6 8.6 A A、B B、C C是任意集合是任意集合 （1 1）自反性：）自反性：ABAB （2 2）对称性：若）对称性：若ABAB，则，则 BA BA （3 3）传递性：）传递性：若若ABAB，BCBC，则则ACAC第四十三页，讲稿共五十四页哦康托定理康托定理定理定理8.7 8.7(康托定理康托定理）（1 1）N R N R （2 2）对任意集合）对任意集合 A A A P(A)A P(A)第四十四页，讲稿共五十四页哦康托定理的证明：康托定理的证明：对角线法对角线法证明：证明：NRNR 反证法反证法 f(0)=tf(0)=t1 1=0.=0.t t1111t t1212t t1313t

27、 t1414 f(1)=t f(1)=t2 2=0.t=0.t2121t t2222t t2323t t2424 f(2)=t f(2)=t3 3=0.t=0.t3131t t3232t t3333t t3434 作十进制小数作十进制小数 a=0.aa=0.a1 1a a2 2a a3 3a a4 4 其中其中 a ai ittiiii，a ai i00，a ai i99，i=1,2,i=1,2,（如对任意的如对任意的i i，若，若t tiiii=1=1，令，令a ai i=2=2，若，若t tiiii11，那末取，那末取a ai i=1=1就行了就行了）第四十五页，讲稿共五十四页哦集合的优势

28、集合的优势定义定义8.9 8.9 A A、B B 是集合，如果存在从是集合，如果存在从 A A 到到 B B 的单射函数，则的单射函数，则称称 B B 优势于优势于 A A，记作：，记作：ABAB定理定理8.8 A8.8 A、B B、C C是任意集合，则是任意集合，则 (1)(1)自反性：自反性：AA AA (2)(2)传递性：传递性：若若ABAB，BCBC，则，则ACAC (3)(3)反对称性：反对称性：若若ABAB，BABA，则，则ABAB 第四十六页，讲稿共五十四页哦从自然数到实数从自然数到实数定理：定理：0,1)0,10,1)0,1N N 定理定理:R P(N)R P(N)NN N Z

29、QNN N ZQ RP(N)a,b RP(N)a,b(c,d)(c,d)P P（A A）0,1 0,1A A NR NR AP(A)AP(A)第四十七页，讲稿共五十四页哦集合的势与基数集合的势与基数定义定义 将相互等势的集合归于同一类将相互等势的集合归于同一类 对这样的每一类集合规定一个记号，称对这样的每一类集合规定一个记号，称这个记号是这一类集合中每一个集合的这个记号是这一类集合中每一个集合的基基数或者势数或者势 集合集合 A A 的势记为的势记为|A|A|或或 card Acard A 规定有限集的势是该集合中元素的个数，规定有限集的势是该集合中元素的个数，空集的势为空集的势为 0.0.第

30、四十八页，讲稿共五十四页哦无穷基数无穷基数定义定义8.128.12 N N 是自然数集合，是自然数集合，基数为基数为 0 0，读作读作“阿列夫零阿列夫零”。cardN cardN=N=N=0 0第四十九页，讲稿共五十四页哦无穷基数无穷基数定义定义8.128.12 集合集合 x|xx|x R 0 x1R 0 x1 的基数称为连续的基数称为连续点集的基数，记为点集的基数，记为，读作，读作“阿列夫阿列夫”。cardRcardR=R=R=定理定理：0 0 没有最大的基数，也没有最大的集合。没有最大的基数，也没有最大的集合。连续统假设连续统假设：是否存在一个无限集的基数严格介于是否存在一个无限集的基数严

31、格介于0 0与与之间。之间。第五十页，讲稿共五十四页哦超穷算术超穷算术 0 0 0 0 0 0 n n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0第五十一页，讲稿共五十四页哦希尔伯特旅馆希尔伯特旅馆 有限个房间的旅馆。住满了。有限个房间的旅馆。住满了。无限个房间的旅馆。也住满了。无限个房间的旅馆。也住满了。来了一个新的客人？来了一个新的客人？来个无穷多个新的客人？来个无穷多个新的客人？对无穷大的性质有感性的认识。对无穷大的性质有感性的认识。在某种程度上讲出了在某种程度上讲出了无穷大无穷大的全部故事。的全部故事。第五十二页，讲稿共五十四页哦谷堆悖论谷堆悖论 公元前公元前4 4世界的古希腊。世界的古希腊。从谷堆中取走一粒，剩下的还是一堆。从谷堆中取走一粒，剩下的还是一堆。如果如果x x粒构成一堆，那么粒构成一堆，那么x-1x-1粒也构成一堆。粒也构成一堆。如果如果x-1x-1粒构成一堆，则粒构成一堆，则x-2x-2粒也构成一堆。粒也构成一堆。依此类推，当仅有依此类推，当仅有1 1粒谷子时也是一堆。粒谷子时也是一堆。但但1 1粒谷子显然不是粒谷子显然不是1 1堆谷子。堆谷子。第五十三页，讲稿共五十四页哦感感谢谢大大家家观观看看26.09.2022第五十四页，讲稿共五十四页哦