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1、考点一等差数列中的运算问题1(2015重庆,2)在等差数列an中,若a24,a42,则a6()A1 B0 C1 D6解析由等差数列的性质,得a62a4a22240,选B.答案B2(2014福建,3)等差数列an的前n项和为Sn,若a12,S312,则a6等于()A8 B10 C12 D14解析设等差数列an的公差为d,则S33a13d,所以12323d,解得d2,所以a6a15d25212,故选C.答案C3(2014辽宁,8)设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列,则()Ad0 Ca1d0解析2a1an为递减数列,可知a1an也为递减数列,又a1anaa1(n1)da1dnaa1
2、d,故a1d时,f(x)0,0x时,f(x)0,a2an4Sn3.(1)求an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3,可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1,即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0,可得an1an2.又a2a14a13,解得a11(舍去),a13.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn,则Tnb1b2bn .考点二等差数列的性质1(2015北京,6)设an是等差数列,下列结论中正确的是()A若a1a20,则a2a30B若a1a
3、30,则a1a20C若0a1a2,则a2D若a10,则(a2a1)(a2a3)0解析A,B选项易举反例,C中若0a1a2,a3a2a10,a1a32,又2a2a1a3,2a22,即a2成立答案C2(2014北京,12)若等差数列an满足a7a8a90,a7a100,a80.又a7a10a8a90,a90.当n8时,其前n项和最大答案83(2015广东,10)在等差数列an中,若a3a4a5a6a725,则a2a8_解析因为an是等差数列,所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525,即a55,a2a82a510.答案104(2013广东,12)在等差数列an中,已知a3a
4、810,则3a5a7_解析由题可知a3a8a5a6a4a710,又3a5a7a52a5a7a5(a4a6)a72(a5a6)21020.答案205(2012江西,12)设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5_解析an,bn均是等差数列,根据等差数列的性质a1a52a3,b1b52b3,即a52a3a1,b52b3b1,a5b52(a3b3)(a1b1)221735.答案35考点三等差数列的综合应用1(2015四川,16)设数列an(n1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn2ana1,且a1,a21,a3成等差数列 (1)求数列an的通项公式; (2)记数列的前n项和
5、为Tn,求使得|Tn1|成立的n的最小值解(1)由已知Sn2ana1,有anSnSn12an2an1(n2),即an2an1(n2),从而a22a1,a32a24a1,又因为a1,a21,a3成等差数列,即a1a32(a21),所以a14a12(2a11),解得a12,所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列,故an2n.(2)由(1)得,所以Tn1.由|Tn1|,得,即2n1 000,因为295121 0001 024210,所以n10,于是,使|Tn1|成立的n的最小值为10.2(2014江苏,20)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Snam,则称an
6、是“H数列”(1)若数列an的前n项和Sn2n(nN*),证明an是“H数列”;(2)设an是等差数列,其首项a11,公差d0.若an是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得anbncn(nN*)成立(1)证明由已知,当n1时,an1Sn1Sn2n12n2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数mn1,使得Sn2nam.所以an是“H数列”(2)解由已知,得S22a1d2d.因为an是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2am,即2d1(m1)d,于是(m2)d1.因为d0,所以m20,故m1.从而d1.当d1时,an2n,Sn是小于2的整数
7、,nN*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m2Sn2,使得Sn2mam,所以an是“H数列”因此d的值为1.(3)证明设等差数列an的公差为d,则ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1,cn(n1)(da1),则anbncn(nN*)下证bn是“H数列”设bn的前n项和为Tn,则Tna1(nN*)于是对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Tnbm,所以bn是“H数列”同理可证cn也是“H数列”所以,对任意的等差数列an,总存在两个“H数列”bn和cn,使得anbncn(nN*)成立3(2013山东,20)设等差数列an的前n项和为Sn,且S44S2,a2n2an1.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn的前n项和为Tn,且Tn(为常数)令cnb2n,(nN*),求数列cn的前n项和Rn.解(1)设数列an的公差为d,令n1,则a22a11,即a1d1,又S44S2,即2a1d,由联立解得a11,d2,所以an2n1(nN*)(2)由题意知,Tn,所以当n2时,bnTnTn1.故cnb2n(nN*)Rnc1c2cn1cn0,Rn,两式相减得Rn,整理得Rn.所以数列cn的前n项和Rn.8