最值问题—费马点.docx

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1、费马点如何找一点P使它到4ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？BP + AP+ CP=BP + PQ + QE BE 当B、P、Q、E四点共线时取得最小值费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：1 .如果三角形有一个内角大于或等于120。，这个内角的顶点就是费马点；.如果3个内角均小于120。，那么在三角形内部对3边张角均为120。的点，是三角形的费马点。费马点的性质：费马点有如下主要性质：1 .费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2 .费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120。费马点最小值快速求解：费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点

2、的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.秘诀：以ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 例题L： ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。ZAGC= ZAGB=ZBGC= 120. 求证：GA+GB+GC的值最小.变式练习1.如图，P是边长为1的等边AA5C内的任意一点，求，= Q4+M+PC的取值范围.第1页共11页LpA + P5 +43pC的最小值 22(5)如图3 10,将BPC绕点C顺时针旋转60,得到再将6T为以点C为位似中心缩小2倍，得到勿二如图3 11当A、P、P、力5在 RtA 4 CA 中 BC=6 CA，Z=-乙/513BA=J&+ (-

3、) =y1J313-PA +PB+kPC 最小为二(5) 224 + 4尸8 + 262。的最小值173(6) 2PA +4PB+273PC=4 (-PA+PB+PC) 乙乙由(5)得：2PA+4PB+24PC的最小值为26(7) 4尸4 + 2尸5 + 26尸。的最小值(6) 4PA+2PB+2C=2 (2PA+PB+73PC )由(4)得4PA+2PB+2/PC的最小值为4商第10页共11页(7) 3P4+4PB+5PC的最小值35(8)如图3 12,将ABPC绕点C顺时针旋转90。，得到人；再将力以 3点C为位似中心缩小彳倍，得到倒；如图3 13当A、P、P 共线时 3PA+4PB+5P

4、C的值最小。315在夕中，/方。/三300+90。=120。A C=-CA = 441515j3在RtA/方。中 ZJ =60 CE=EA=/15 215,/3 2 21ba，T（6+E）+（k）=了213PA +4PB +5PC的最小值为了 4第11页共11页例题2.正方形ABC。内一动点E到A、B、。三点的距离之和的最小值为血+逐，求正方形的边长.AiD变式练习2.假设尸为锐角 A3C的费马点，且/A3C=60。，%=3, PC=4,求P3的值.例题3.如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、。是入口，现拟在货场内建一个收 费站P,在铁路线段上建一个发货站台，设铺设

5、公路AP、。夕以及PH之长度和为/,求/的最小值.第2页共11页变式练习3.如图，某货运场为一个矩形场地A3CD 其中AB=500米，40=800米，顶点A, O为两个出口，现在想 在货运广场内建一个货物堆放平台P,在3C边上（含 C两点）开一个货物入口加，并修建三条专用车道 PA, PD, PM.假设修建每米专用车道的费用为1000。元，当P建在何处时，修建专用车道的费用最少？ 最少费用为多少？（结果保存整数）【课堂练习】.如图，矩形ABC。，A3=4, BC=6,点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，那么MA+MQ+ME 的最小值为.1 .如图，尸为正方形A3CQ对角线3。上一动点，假设A

6、B=2,那么AP+5P+CP的最小值为（）第3页共11页C. 4D. 372.如图，四边形ABC。是菱形，AB-4,且NA3C=NABE=60。，M为对角线8。（不含B点）上任意一点, 将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM, CM,那么AM+BM+CM的最小值为2 .将 ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点B、C落在格点上，点A在5C的垂直平分线上，ZABC = 30。，点尸为平面内一点.（1） ZACB=度；（2）如图，将APC绕点。顺时针旋转60。，画出旋转后的图形（尺规作图，保存痕迹）；（3） AP+BP+CP的最小值为5 .如图，四个村庄坐落在矩形A8CO的四个

7、顶点上，AB=10公里，8C=15公里，现在要设立两个车站E,6 .，在A8C 中，ZACB=30第4页共11页(1)如图1,当A8=AC=2,求8C的值；(2)如图2,当A8=A。，点P是A8C内一点，且3 = 2,。3=相，PC=3,求NAPC的度数;(3)如图3,当AC=4, A8=B(C8CA),点P是ABC内一动点，那么+P8+PC的最小值为7 .如图/,在 ABC 中，ZACB=90,点 P 为ABC 内一点.(1)连接Pb PC,将ABC尸沿射线CA方向平移，得到N,点& C,尸的对应点分别为点。、A、 E,连接CE.依题意，请在图2中补全图形；如果 3P_LCE, BP=3,

8、AB=6,求 CE 的长(2)如图3,以点A为旋转中心，将尸顺时针旋转60。得到连接孙、PB、PC,当AC=3, A3=6时，根据此图求+PB+PC的最小值.图1图2图3第5页共11页加权“费马点”最值“费马点”的求法题目很多，大多用于“星”型求最值时，利用旋转的方法，化“星”为 折，再化“折”为直，求出其最小值，此题汇集了八种三种形内部各种费马点最值的求法。旨 在比照掌握旋转角、旋转方向、缩放比例的使用。适合于学习中上的学生探究。例：在 中，NAC3 = 30, 3C=6,AC = 5,在 AABC 内部有一个点 P,连接 PA、PB、PC,求:A(1) P4+P3+PC的最小值解：(1)如

9、图3 2,将ABPC绕点B顺时针旋转60,如图3-3当A、P、P、C 四点共线时，PA+PB+PC最小 Q/APB=/BPC=/CPA = 120)在匕中，Zz/rr=30o+60o=90 AC=5 cfc=6C 7=752 + 62=76f(PA+PB+PC)最小=河第6页共11页(2) 24 +尸3 +血夕。的最小值(2)如图34,将PC绕点C逆时针旋转90,如图3 5当A、P、P、B 四点共线时，PA+PB+淄PC最小在/。汇中，=30 + 90=120 AC=5 Ct=6过点A再作一笠的垂线，垂足为E 5735 17在RlA/夕片中 AE= EB -Q- - = 乙乙乙/ 5. 217

10、 2 7364L旧=()+(彳)=丁=河 1乙乙乙(PA+PB+72PC)最小=回第7页共11页(3) PA + PB + gPC的最小值(3)如图3 6,将ABPC绕点C逆时针旋转120。，如图3-7当A、P、P、B在汇中，/CC.30。+120。=150。/。=5 BC=6过点A再作6度的垂线，垂足为E5573 12 + 5J3在 RlAZ 方方中 AE=- BB6-=乙乙乙/ 5 212 + 573 21广AB 三 (-)+ () =761+3073 V /乙(PA+PB+73PC)最小=，61 + 30日第8页共11页(4) + 的最小(4)如图3 8,将ZXBPC绕点C顺时针旋转60,得到力；再将。一为以 点C为位似中心放大2倍，得到倒，如图3 9当A、P、P /泗点共线 时，2PA+PB+/PC最小 (注：点P与点A重合)在 RtA 夕 CA 中 BC=6 CA = 10BAz，=762+102 = 2734(2PA+PB+、仅PC)最小=2商第9页共11页