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1、极限如何转化为定积分 积分与极限 积分与极限。 说明:我们常常需要考虑闭区间a,b上函数列fn(x)积分后的极限问题,即求 当极限limfn(x)=f(x)对每个xa,b都存在,且函数f(x)在a,blimfn(x)dx。n+bn+a 上可积,我们自然期待limn+abfn(x)dx=limfn(x)dx。an+b 实事上这个等式在许多情形下是正确的。等式成立的一个充分条件涉及函数的一致收敛性。但的确存在等式不成立的情形。也就是说,存在闭区间a,b上连续函数列fn(x),使得limn+abfn(x)dxlimfn(x)dx。这表明对于函数列fn(x)作积分运算和极限运算an+b 的先后次序不同
2、,所得的结果可能不同。 以下我们考虑极限lim 题1.设函数f(x)在区间0,1上连续。证明lim(n+1)xf(x)dx=f(1).n+0n+abfn(x)dx的两个例子。1n 证明。注意我们可以将f(1)表示为f(1)=(n+1)xf(1)dx。于是我们要证01n n+lim(n+1)xnf(x)-f(1)dx=0。01 根据函数f(x)的连续性可知,f(x)有界,及存在正数m0,使得|f(x)|m,x0,1。再根据函数f(x)在点x=1处的左连续性可知,对于0,0,使得|f(x)-f(1)| (n+1)xf(x)-f(1)dx(n+1)xnf(x)-f(1)dxn 0011 (n+1)1
3、- 0xnf(x)-f(1)dx+(n+1) 1-1 01-11-xnf(x)-f(1)dx2m(n+1)xndx+(n+1)xnf(x)-f(1)dx 2m(1-)n+1+1-(1-)n+12m(1-)n+1+ 由lim(1-)n+n+1=0可知,对于上述0,存在n0,使得当nn时, 2m(1-)n+10,存在n0,使得当nn时,(n+1)xf(x)-f(1)dx 0n+011 注。类似可证,若f连续,则limhf(0)f(x)dx=。h00h2+x221 题2.(课本习题5.2第7题,p.141)证明xndx=0.(i).limn+01+x1 (ii).limdx=1.n+01+xn1 (
4、iii).limn+0sin1nxdx=0. 1xndx证明:(i)对积分,利用积分中值定理得01+x xndx11n1=xdx0,这里n0,1。01+x1+n0n+11 由此立刻可知极限(i)成立。 注意:由于函数xn和 11于区间0,1都是非负的。因此还有另一种可能性,关于积分1+xn1xdx1dxxndxnn=利用积分中值定理。这就是nn01+x01+x01+xln2,这里n0,1。由于n0,1的位置不确定,因此极限limn的存在性和极限值的确定有困难。n+ n1xdxdx=1,当且仅当lim(ii)极限lim=0。n+01+xnn+01+xnn1 1xndx1n由于 (iii).要证极限(iii),即要证对于0,存在n0,使得 (0 n0,存在n0,使得由于sin(-)0,当n+时。因此对 sinn(-) sin01nxdx= n 2-0sinxdx+sinnxdx -0sin(-)dx+1dx 第 3 页 共 3 页免责声明:图文来源于网络搜集,版权归原作者所以若侵犯了您的合法权益,请作者与本上传人联系,我们将及时更正删除。