解三角形重点题型二：解三角形中的最值与范围问题- 高考数学一轮复习重点题型讲义 .docx

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1、重点题型二：解三角形中的最值与范围问题【问题分析】 解三角形中的最值与范围问题是常考题型，经常出现解三角形题中解答题的第（2）问，此题型属于中等偏上题，稍微有点难度，考察学生问题分析能力及转化能力。解决此类题型经常利用数形结合的思想与方法，对动点进行分析，建立有关的不等式及函数很容易找到最值点.【解题策略】动点轨迹函数几何代数最值与范围曲线方程基本不等式（单边最值）【题型分析】我们知道已知三角形的三个元素（除三个角外），可以得到确定的解（无解、一解或两解），那么当已知三角形的两个元素（除两个角外，因为两个角与三个角情况是一样的）时，这个三角形将是不确定的，变化的.这就涉及到了三角形的某个角，某

2、个边及三角形的面积在一定范围的变化，通过研究不同情况下的变化规律，我们可以得到角、边、面积的变化范围或最值.类型一：已知三角形ABC两边，解三角形. 假设已知边a，b，且ab，如图所示，以C为圆心，b为半径做圆，则点A在圆C上且不与B、C共线.从图中，易知当BA与圆C相切时，角B取得最大值，此时sinB=ba,可得sinB(0,ba.同时，由图可得出角C(0,), 角A(0,)，边c(ab,a+b).当ACBC时，三角形ABC面积最大，Smax=12ab,所以三角形ABC的面积S(0,12ab.类型二：已知三角形ABC一边及其一边的对角，解三角形一）几何图形分析法假设已知边a及其对角A，由正弦

3、定理推论可以得出asinA=2R所以点A在以R为半径的圆上，边a是圆的一条弦，如右图所示，点A在圆上运动时，我们可以得到角C(0,A), B(0,A)，边c0,2R,b0,2R.当AB=AC时，可得到三角形面积的最大值Smax=a24tanA2，进而可得三角形面积范围为S(0,a24tanA2.以上是通过几何图形动态分析得出的结论，我们也可以通过代数的方法（构造函数或利用基本不等式）进行分析:二）构造函数法：由正弦定理asinA=bsinB=csinC得b=asinBsinA,c=asinCsinA所以三角形面积S=12bcsinA=12asinBsinAasinCsinAsinA=a22si

4、nAsinBsinC又有A+B+C=,所以sinB=sin(A+C)所以S=a22sinAsinA+CsinC=a22sinAcosAcos(A+2C)2 （注：此步骤利用了和差化积积化和差公式） =a22sinAcosA2cosA+2C2=a24sinA(cosA+2C+cosA)所以当cosA+2C=1，即A+2C=时，三角形面积取得最大值，最大值为Smax=a24sinA(1+cosA)=a24tanA2.又C(0,A)，所以三角形的面积S(0,a24tanA2同时，我们也可以得出三角形的周长:l=a+b+c=2RsinA+sinB+sinC=a+2R(sinB+sinC) =a+2Rs

5、inA+C+sinC =a+2R2sinA+2C2cosA2 （注：此步骤利用了和差化积，积化和差公式）所以当sinA+2C2=1，即A+2C=,即B=C时，周长最大值为lmax=a+4RcosA2=a(1+1sinA2).所以三角形周长l(2a,a(1+1sinA2)三）构造基本不等式法：由余弦定理得a2=b2+c22bccosA2bc(1cosA) (当b=c时等号成立)所以bca22(1cosA)所以，三角形的面积S=12bcsinA12a221cosAsinA=a2sinA41cosA=a24tanA2故当b=c，三角形ABC的面积最大值为Smax=a24tanA2.同时三角形的周长:

6、l=a+b+c由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b+c22bc1+cosAb+c2b+c221+cosA(当b=c时等号成立)所以2a2b+c2(1cosA)所以b+casinA2所以l=a+b+ca(1+1sinA2)三角形ABC周长最大值为lmax=a(1+1sinA2)综上所述，已知三角形ABC一边a及其一边的对角A，可得：三角形中角C(0,A), B(0,A)边c0,2R,b0,2R.（其中2R=asinA）三角形的面积S(0,a24tanA2三角形周长l(2a,a(1+1sinA2)当b=c或B=C时，三角形的面积与周长取得最大值，分别为Smax=a24tanA2，lmax

7、=a(1+1sinA2).类型三：已知三角形ABC一边及其一边的邻角，解三角形假设已知三角形ABC边c及其角A，如右图所示.我们这里只考虑角A为锐角的情况，若角A是钝角或者是直角时可以参照分析即可.由右图易知：当点C在线段DE上（不含端点）时，ABC为锐角三角形，此时易知：B2A,2,C2A,2, bccosA,ccosA,a(csinA,ctanA)所以ABC的面积S=12bcsinA(c2sin2A4,c2tanA2).当C在点D或点E时，ABC为直角三角形.b=ccosA或ccosA，a=csinA或ctanA，S=c2sin2A4或c2tanA2当C在线段AD或射线EF上时，ABC为钝

8、角三角形.B0,2A2,A,C2,A0,2, b0,ccosAccosA,+,a(csinA,c)(ctanA,+)所以ABC的面积S=12bcsinA(0,c2sin2A4)(c2tanA2,+).类型四：已知三角形ABC一边及另外两边之间的关系，解三角形.假设已知边c和a,b之间的关系，如右图所示：我们常见的两边之间的关系有：a+b=定值c -点C的轨迹为椭圆ba=定值c -点C的轨迹为双曲线一支a2+b2=定值=c2-点C的轨迹为圆(除A,B两点)ab=定值1或a=b, 为定值且1-点C的轨迹为圆（阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆）.【典例赏析】例1：在ABC中，BAC的平分线交BC于点D,BD

9、=2DC,BC=6，求ABC的面积的最大值.试题分析：思路一：代数法，根据角平分定理可以得出AB与AC的比值是一个定值，BC也是一个定值，由三角形三边，可以求出三角形面积（可以利用海伦公式，也可以利用角的余弦表示）关于边的表达式，进而求出面积的最值.思路二：由AB与AC的比值是一个定值，BC是固定值，所以点A的轨迹是一个圆（阿氏圆，除去与直线BC的两个交点）解析:方法一：构造函数（构造一个关于边函数）如图，设设AC=x，则由正弦定理可得BDsinBAD=ABsinADB，CDsinCAD=ACsinADC，又ADB+ADC=，所以sinADB=sinADC，式联立可得ABAC=21(由角平分线

10、定理可直接得出)，则AB=2x，则SABC=12ABACsinBAC=x2sinBAC，对ABC，由余弦定理可得cosBAC=AB2+AC2BC22ABAC=5x2364x2，则S2=x4sin2BAC=x41cos2BAC=x425x4360x2+36216=1169x4360x2+362=916x440x2+144=916x2202256，当x2=20时，S2有最大值，S2max=144，所以Smax=12方法二：几何法（点A的轨迹是一个圆） 以点B为原点，BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则B3,0,C(3,0),设点Ax,y,y0由题意得AB=2AC，所以

11、AB2=4AC2所以(x+3)2+y2=4x32+y2整理得3x2+3y230x+27=0即x2+y210x+9=0x52+y2=16所以点A在以(5,0)为圆心，半径为4得圆上.所以三角形ABC面积最大值为Smax=1264=12思考：方法一与方法二那个方法更好呢？例2：在ABC中，BAC=60，BC=3，且有CD=2DB，则线段AD长的最大值为（ ）A132B2C3+1D23试题分析：思路一:已知一边及其一边得对角，D为底边BC的三等分点，可以用AB、AC表示向量AD,再结合正余弦定理，容易建立CD关于某角的函数，进而求出线段AD长的最大与最小.思路二: 已知一边及其一边得对角，所以点A在

12、一个半径为3的圆上远动，BC为圆上的一条弦，通过几何分析很容易找出AD长的最大与最小.解析：方法一：在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，由正弦定理可得bsinB=csinC=3sin3=23，则b=23sinB，c=23sinC，又AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13ACAB=132AB+AC，所以，AD2=192AB+AC2=19(AC2+4AB2+4ABAC)=19(b2+4c2+4cbcos3)所以，AD2=23sin2B+40B23，则02B43，当2B=2时，即当B=4时，AD取最大值，即ADmax=4+23=3+1.方法二：由正弦定理得asinA=3sin3=

13、2R=23所以点A在一个半径为3的圆上，BC为圆上的一条弦，如右图所示易得AO=3,BD=1,DC=2,又OD=23OB+13OC,BOC=23,所以OD=1又|AO|+|OD|AD|(当A、O、D三点共线是等号成立)所以|AD|3+1，故ADmax=3+1例3：已知锐角三角形ABC内接于单位圆，且BC=2，求ABC面积的最大值.试题分析：思路一：三角形内接于单位圆，BC=2为定值，所以点A到BC距离最大时，ABC的面积最大，根据图形很容易找到A到BC距离最大值，ABC面积的最大值即单位圆半径于圆心到BC的距离之和.思路二：求单边最值，可以利用基本不等式.由题意边a与角A容易求出，求面积最值即

14、是求bc最值即可，由余弦定理即可得到b与c的关系，进而求出bc最值.解析：方法一：如图，设圆O的半径为1，因为BC=2，所以BOC是直角三角形，即BOC=90，所以角BAC=45，所以O到BC的距离为22，所以A到BC距离最大值为22+1所以ABC面积的最大值为12222+1=2+12方法二：由正弦定理得asinA=2,所以sinA=22,所以A=4由余弦定理可知BC2=AB2+AC22ABACcos4由基本不等式可知2=AB2+AC22ABACcos422ABAC，当且仅当AB=AC时，取等号；所以ABAC222=2+2，又SABC=12ABACsinBAC=24ABAC242+2=2+12

15、.所以ABC的面积的最大值为2+12例3：在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且满足b=acosC+33csinA.（1）求角A的大小；（2）若边长a=2，求ABC面积的最大值.试题分析：由b=acosC+33csinA，根据正弦定理进行边角互化，再有sinB=sinA+C,化简即可求出角A.由知角A，由已知边a，所以是已知一边及其一边对角的情况，所以参考上面类型二进行解决.解析:由b=acosC+33csinA及正弦定理得，sinB=sinAcosC+33sinCsinA,即sinA+C=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+33sinCsinA，整理得cosA

16、sinC=33sinCsinA，sinC0，cosA=33sinA，tanA=3，又0A，A=3在ABC中，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA，即4=b2+c22bccos3=b2+c2bc2bcbc=bc，当且仅当b=c时等号成立，bc4SABC=12bcsinAA=34bc3ABC面积的最大值为3例4：设ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=3若c=2，a=23，求b；求sinB+sinC的取值范围试题分析：已知两边及一角，求第三边，直接利用余弦定理即可解决.已知角A=3，所以B+C=23,由B+C的关系可以将sinB+sinC转换为只含有一个角B或角C，再根据三角函数性

17、质即可解决.解析：a2=b2+c22bccosA，12=b2+422b12b22b8=0，A=3，B+C=23，C=23BsinB+sinC=sinB+sin23B=32sinB+32cosB=3sinB+6，又0B23，12sinB+61sinB+sinC的取值范围是(32,3例5：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acainA+sinCsinBab=0求C；若SABC=23，D为边AB的中点，求CD的最小值解析：ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ac)(sinA+sinC)+(ba)sinB=0利用正弦定理得：(ac)(a+c)+(ba)b=0，整理

18、得：a2c2+b2ab=0，即cosC=a2+b2c22ab=12，由于0C，所以：C=3因为ABC的面积为SABC=12absinC=34ab=23，解得ab=8；在ABC中，CD=12CB+12CA,两边同平方得：CD2=14a2+14b2+14ab142ab+14ab=34ab=6，当且仅当a=b=22时，等号成立，所以CD6，即CD的最小值为6例6：已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2=c2+ac，求证：B=2C；若ABC是锐角三角形，求ac的取值范围.解析：由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，b2=c2+ac，c2+ac=a2+c22accosB，

19、a2=ac+2accosB，即a=c+2ccosB，利用正弦定理可得：sinA=sinC+2sinCcosB，即sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=sinC+2sinCcosB，sinBcosC=sinC+sinCcosB，可得：sin(BC)=sinC，可得：BC=C，或BC+C=（舍去），B=2C.ac=sinAsinC=sin(B+C)sinC=sin(2C+C)sinC=2cos2C+cos2C=2cos2C+1A+B+C=，A、B、C均为锐角，由于：3C+A=，02C2，0C4.再根据23C，可得6C，6C4，ac(1,2)例7：在ABC中，2B=A+C.当AC=12时，求SABC的最大值；当SABC=43时，求ABC周长的最小值.解析：由题意，B=60，b=12，由余弦定理可得122=a2+c22accos60ac，ac144，SABC=12acsinB363，SABC的最大值为363；SABC=43=12ac32， ac=16，又b2=a2+c22accos60=(a+c)248，b2=a2+c22accos60ac，a+c=b2+48，ABC周长为a+b+c8+4=12当且仅当a=b=c时，ABC周长的最小值为12.10