2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖北卷含答案）.doc

《2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖北卷含答案）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖北卷含答案）.doc（14页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、绝密 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理科）一 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次。设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 4将函数的图像向左平移个单位长度后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是ABCD5已知 ，则双曲线A实轴长相等 B虚轴长相等 C焦距相等 D离心率相等6已知点A（-1,1）、B（1,2）、C（-2,1）、D（3,4），则向量和方向上的投影为A B C D7一辆汽车在高

2、速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是A B C D8一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为下面两个简单几何体均为多面体，则有 9如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)=A B C D11从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。（1）直方图中x的值为_；（2）在这些用户中，用电量落在区间100,250)内的户数为_。12.阅读如图所示的

3、程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=_。13设，且满足：则_。14古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为，记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 .可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=_。 二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框图用2B铅笔涂黑，如果全选，

4、则按第15题作答结果计分.）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆上一点若 .16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直线坐标系中，椭圆的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴为正半轴 为极轴）中，直线与圆的极坐标分别为若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为 .三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在（I）求角的大小；（II）若数学（理工类） 试卷A型 第4页（共6页）18.（本小题满分12分）已知等比数列满足：（I）求数列的通项公式；（II）是否存在正整数使得若不存在，说明理由

5、.19.（本小题满分12分）如图，是圆的直径,点上异于的点，直线（I）记平面并加以说明；（II）设（I）中的直线记直线异面直线所成的锐角为，二面角20.（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为求的值；（I）（参考数据：若） （II）某客运公司用两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每年每天往返一次，两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆。若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的

6、营运成本最小，那么应配备数学（理工类） 试卷A型 第5页（共6页）21.（本小题满分13分）如图，已知椭圆长轴均为短轴长分别为过原点且不与轴重合的直线与从大到小依次为记（I）当直线与轴重合时，若（II）当变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线，使得22.（本小题满分14分）设为正整数，为正有理数.（I）求函数（II）证明：（III）设记不小于的最小整数，例如令（参考数据：）数学（理工类） 试卷A型 第6页（共6页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1D 2C 3A 4B 5D 6A 7C 8C 9B 10D二、填空题11（）0.0044 （）70

7、 125 13141000 158 16三、解答题17 （）由，得, 即，解得 或（舍去）. 因为，所以. （）由得. 又，知. 由余弦定理得故. 又由正弦定理得. 18 （）设等比数列的公比为q，则由已知可得 解得 或 故，或. （）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而. 若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而 故. 综上，对任何正整数，总有.故不存在正整数，使得成立. 19 （）直线平面，证明如下：连接，因为，分别是，的中点，所以. 又平面，且平面，所以平面.而平面，且平面平面，所以. 因为平面，平面，所以直线平面. 第19题解答图1第19题解答图2 （）（综合法）如图1，连接，

8、由（）可知交线即为直线，且. 因为是的直径，所以，于是.已知平面，而平面，所以.而，所以平面.连接，因为平面，所以.故就是二面角的平面角，即. 由，作，且. 连接，因为是的中点，所以，从而四边形是平行四边形，.连接，因为平面，所以是在平面内的射影，故就是直线与平面所成的角，即. 又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即， 于是在，中，分别可得，从而，即. （）（向量法）如图2，由，作，且.连接，由（）可知交线即为直线.以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有,. 于是，所以，从而. 又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为， 所以由 可得 取.

9、于是，从而. 故，即. 20 （）由于随机变量服从正态分布，故有，. 由正态分布的对称性，可得. 第20题解答图（）设型、型车辆的数量分别为辆，则相应的营运成本为.依题意, 还需满足:. 由（）知，故等价于. 于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数达到最小的. 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为.由图可知，当直线经过可行域的点P时，直线在y轴上截距最小，即z取得最小值. 故应配备型车5辆、型车12辆. 21 依题意可设椭圆和的方程分别为：，：. 其中，（）解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则，所以. 在C1和C2的方程中分别令，可得，于是.若，则，化简得. 由，可解

10、得.故当直线与轴重合时，若，则. 解法2：如图1，若直线与轴重合，则，；，.所以. 若，则，化简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则. 第21题解答图1第21题解答图2（）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，则因为，所以. 又，所以，即. 由对称性可知，所以，于是. 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，.根据对称性可知，于是. 从而由和式可得. 令，则由，可得，于是由可解得.因为，所以. 于是式关于有解，当且仅当，等价于. 由，可解得，即，由，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标

11、轴不重合的直线l使得. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，则因为，所以. 又，所以.因为，所以.由点，分别在C1，C2上，可得，两式相减可得，依题意，所以. 所以由上式解得. 因为，所以由，可解得.从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得. 22 （）因为，令，解得.当时，所以在内是减函数；当时，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值. （）由（），当时，有，即，且等号当且仅当时成立，故当且时，有. 在中，令（这时且），得.上式两边同乘，得，即 当时，在中令（这时且），类似可得 且当时，也成立.综合，得 （）在中，令，分别取值81，82，83，125，得， .将以上各式相加，并整理得.代入数据计算，可得，.由的定义，得. 14