代数学简史精选PPT.ppt

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1、代数学简史第1页，此课件共50页哦 本科的代数类课程有三门：高等代数，近世代数和初等数论（暂且列入）本次讲座谈谈代数课的发展历史思想方法和现代研究的方向第2页，此课件共50页哦 高等代数是数学专业一年级学生的专业基础课，是进入大学学习的数学专业学生的承上启下的课程；近世代数课程则是进一步研究学习近代数学的入门课程代数课程在学习和掌握其中的基础理论和基本方法的同时，更重要的是学习培养抽象思维，逻辑推理和空间直观想像这三种基本的数学思维第3页，此课件共50页哦 代数学是以数、多项式矩阵和它们的运算，以及群环域和模等为研究对象的学科简单地说，代数学是研究代数系统（带有一些运算的集合）的下面从几个问题

2、谈这门课程的几个方面第4页，此课件共50页哦一公理化方法.公理化方法是数学演绎或数学思想方法的逻辑上的严谨化发展的结果,在数学理论中的概念定义和定理.命题的证明必须从一些已经被大家熟知的概念和已公认正确的结论出发,这些“约定”的概念为基本概念,“约定”公认成立的结论成为公理.基本概念和公理组成的一个逻辑体系称为某一理论的公理系统.逻辑推理基本概念公理命题定理理论体系第5页，此课件共50页哦 典型的古典平面几何立体几何 就是一个公理体系最严谨的体系是由希尔伯特在Euclid的几何原本基础之上完成的 希尔伯特的几何公理体系：基本概念点直线和平面,三种关系:属于,介于和合同于.第一组结合公理(关联公

3、理从属公理)共8条.第6页，此课件共50页哦 对于两点A，B，存在通过这两点的直线a；对于两点A，B，至多存在一条直线通过这两点；每条直线上至少有两点至少存在三点不在同一 直线上；对于不在同一直线上的三点A,B,C,存在通过三点 的平面 ,在每个平面上至少有一个点第7页，此课件共50页哦 对于不在同一直线上的三点A，B，C，至多 有一个平面 通过这三点；如果直线a和两点A，B在平面 上，那么直 线a的每个点都在平面 上；如果两个平面 ，通过一点A，那么它们 还通过另一个点B 至少存在四个不在同一平面上的点第8页，此课件共50页哦 第二组顺序公理，共4条 第三组合同公理，共5条 第四组平行公理，

4、只有一条 如果a是任意直线，A是不在a上的一点,那么在a 和A确定的平面上，只有一条直线通过A，且不与a相交第9页，此课件共50页哦 第五组连续公理，有2条 公理化的三要素：完备性 相容性 独立性 Hilbert在所著几何基础中从上述5组公理出发,纯粹按照形式逻辑,不借助其它概念,方法和直观,严格地推论出欧氏几何的全部命题,使几何学成为一纯粹的逻辑演绎体系.第10页，此课件共50页哦 希尔伯特几何公理体系成为一个典范促使数学公理化方法的形成,对20世纪的数学起了很大的推动作用 欧氏几何中的平行公理改成罗氏公理(改成过直线个的一点可以做两条直线与该直线平行),就可以得到罗巴切夫几何 数学公理化方

5、法在中学数学教科书中也有体现,平面几何和立体几何都提出了基本概念和公理通过逻辑推理得到命题和定理第11页，此课件共50页哦 公理化方法是现代数学最基本的思想方法，它深刻地影响了现代社会的思想观念社会科学中典型例子 （1）法制社会中的宪法刑法以及各种法律文件是现代社会的公理体系，由此推理演绎出的法制法规条款每一次法庭判案都可看作是由这个公理体系所做的推理过程第12页，此课件共50页哦（2）现代选举学是由造诣很高的数学家创立的数理理论斯坦福大学教授阿罗（1922年诺贝尔经济学奖获得者)用公理化方法研究选举法，证明了定理（阿罗的不可能性定理）：绝对公平的选举系统是不存在的第13页，此课件共50页哦

6、Hilbert的一个宏伟目标是，将数学的全部理论公理化.但是奥地利数学家,证明了任何形式化公理系统内中不可判定命题的存在性这就彻底让Hilbert的计划无法实现.哥维尔不完备性定理表明,任何形式系统内不足以证明所有在系统中可以作出的判断体现在选举学中就是阿罗不可能性定理第14页，此课件共50页哦二数系的扩充和严格公理化定义 代数在中学中的基本内容之一是数的运算。整数、有理数、实数、复数，代数学中将这个体系完全建立起来了。第15页，此课件共50页哦数的自然扩充表：正分数 零正无理数 负数 第16页，此课件共50页哦 数的逻辑扩充表：负元乘法逆元有理数基本列第17页，此课件共50页哦第18页，此课

7、件共50页哦数系扩充的方法、要求原则（1）新数系较原数系再保证运算通行方面，功能更完备。（2）新数系的元素，以原有数系的元素为基础，以某种方式构作而成。（3）原有数系整个地“嵌入”新数系，作为其子系统。第19页，此课件共50页哦第20页，此课件共50页哦第21页，此课件共50页哦第22页，此课件共50页哦第23页，此课件共50页哦第24页，此课件共50页哦第25页，此课件共50页哦实数有理数无理数代数数超越数第26页，此课件共50页哦三代数方程的根式解和群中学数学中涉及的古老数学研究的内容是解方程。一元二次方程 求根公式为 一元三次方程第27页，此课件共50页哦l根为：l其中 为三次单位根，（

8、卡尔达诺公式，1545年）第28页，此课件共50页哦l四次方程l归结为两个二次方程的求解。（有求根公式，根式解）第29页，此课件共50页哦l五次方程的根式解问题，经过一百多年都没有找到根式解公式lAbel（1802-1829）研究了一般情况，想证明高于四次的方程一般没有根式解，但没有最终证出只证明一些特殊情况下的结论l伽罗华理论：伽罗华研究了这个问题，发现根式解的问题与根的对称性有关系第30页，此课件共50页哦l设 不可约的，为其所有根。构造这些根的具有有理系数 的多元多项式：构成一个环l设K中元素为考虑K的自同构 第31页，此课件共50页哦l可以知道lK中具有性质*的所有双射成一个群，K的伽

9、罗华群（p(x)的伽罗华群），它是 的子群。第32页，此课件共50页哦定理l 相应的伽罗华群是可解群。l伽罗华理论是伽罗华21岁时提出的，论文寄给当时一流的数学家庞加莱，他没有看懂，丢在一边。4050年后，才被发现创立了群的理论，创立了近代的代数学 第33页，此课件共50页哦四三等分角与数域的扩充l三等分角、倍方问题和化圆为方的问题被称为古希腊的三大几何作图问题l几何的可作图问题被化为代数域的扩充问题来解决这方面的知识是近世代数的内容，但其中的内容经初等知识处理后，成为高中新课程中的选修课l平分已知角，可用尺规作图（尺子不带刻度）l三等分角，尺规来做，两千年都没能做出来，代数方法证明了尺规三等

10、分角是不可能的第34页，此课件共50页哦l若想谈论尺规作图不能问题，要把含直观因素的尺规作图概念进行公理化（数学模型），用代数方法解决问题l尺规作图是从已知一些初等几何图形，一些线段，一些点，而求出一些初等几何图形，线段，点等 即，已知平面上的一些点，要求尺规作出另一些点来第35页，此课件共50页哦l取定某线段为单位长的坐标系，平面上的点可以用 表示。这样，尺规作图问题是：已知一些实数 ,要求用尺规作图作另一些数l尺规可以作出的是：1.若干线段之和；2.两线段之差；3.已知三线段a,b,c,可作出x,使a:b=c:x；4.已知二线段a,b,作y,使a:y=y:b.第36页，此课件共50页哦第3

11、7页，此课件共50页哦第38页，此课件共50页哦第39页，此课件共50页哦第40页，此课件共50页哦第41页，此课件共50页哦七数学结构l 研究数学无非是考察对象的运算关系，次序关系和相互间的位置关系，称这些关系是数学结构l 现代数学中的基本结构：代数结构，序结构，和拓扑结构l 代数结构：群，环，域，模，向量空间，度量空间第42页，此课件共50页哦l序结构l偏序定义：非空集合S，关系 ，称为S上偏序，若满足：（1）（自反性）；（2）（对称性）；（3）（传递性）第43页，此课件共50页哦l对于 为a，b在 下的最小上界，为a，b在 下的最大下界.（1）自然数按数大小排成的序：中学中出现的序.数列

12、的极限按此序定义.（2）实数的序（按大小顺序）第44页，此课件共50页哦l 复数在中学中没有定义序，但也可以定义偏序（字典序）：l 广义的拓扑中定义极限必须先有序第45页，此课件共50页哦（3）整数集中的偏序 ，定义则 为 上偏序.其意义在于这样，便是 上两个运算符号.第46页，此课件共50页哦（4）集合X的子集合全体 上定义 ：则 为 上偏序，第47页，此课件共50页哦（5）群G的子群的全体 ，定义 ：则 为 上的偏序，第48页，此课件共50页哦（6）多项式全体则 是是l 中学数学中也有很多序结构，证明不等式当然是研究序结构.第49页，此课件共50页哦总结l代数结构集合元素+运算l序结构结合元素+大小关系第50页，此课件共50页哦