量子力学中的力学量量子力学基础精选文档.ppt

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1、量子力学中的力学量量子力学基础1本讲稿第一页，共六十二页 由前面的讨论，我们看到，当微观粒子处在某一状态时，一般而言，其力学量（如坐标、动量和能量）不一定具有确定的数值，而以一定几率分布取一系列可能值（当然，可能在某些特殊的状态，有些力学量可取确定值）。1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 1.1.坐标与动量的平均值坐标与动量的平均值 若已知粒子在坐标表象中的状态波函数 ，按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标 的平均值 若知道粒子在动量表象中的波函数 ，同理可出出粒子动量 或 的平均值。2本讲稿第二页，共六十二页（1）坐标平均值）坐标

2、平均值设粒子的状态波函数为或粒子的位置处在：间的几率1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 3本讲稿第三页，共六十二页利用 计算出坐置 的平均值坐标算符Prove：1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 4本讲稿第四页，共六十二页1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 5本讲稿第五页，共六十二页1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 6本讲稿第六页，共六十二页（2 2）动量平均值）动量平均值 粒子的动量值处于 间的几率为

3、:利用 计算动量平均值 1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 7本讲稿第七页，共六十二页Prove:动量算符1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 8本讲稿第八页，共六十二页1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 9本讲稿第九页，共六十二页结论结论 由波函数计算坐标和动量的平均值时，坐标与动量要用相应的算符代入积分式。利用坐标表象的波函数 计算坐标平均值时，坐标算符 就是坐标本身 ；利用动量表象的波函数 计算坐标平均值时，坐标算符 利用坐标表象的波函数 计算动量

4、平均值时，动量算符 ；利用动量表象的波函数 计算动量平均值时，动量算符就是动量本身1.表示力学量的算符operatorfordynamicalvariable10本讲稿第十页，共六十二页2表示力学量的算符表示力学量的算符1）算符的定义）算符的定义对一函数作用得到另一函数的运算符号Ex:1.表示力学量的算符operatorfordynamicalvariable11本讲稿第十一页，共六十二页2）算符的本征方程）算符的本征方程算符作用在函数上，结果等于一常数乘以即此称为算符此称为算符 的本征方程的本征方程，称为其本征值，为其本征函数。3）力学量算符）力学量算符 表示力学量的算符必须是对波函数进行有

5、物理意义运算的符号。表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义运算的符号。坐标算符例如当波函数为 时1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 12本讲稿第十二页，共六十二页哈密顿算符动量算符力学量算符规则力学量算符规则即构造力学量算符的规则：即构造力学量算符的规则：将第二章中构造Harmilton算符的方法加以推广，便提出一个构造一般力学量算符的基本假设力学量算符的基本假设。若量子力学中的力学量若量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相应的力学量，则表示在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符该力学量的算符 由经典表示中将由经典表示中将 换成

6、算符换成算符 而得出。而得出。1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 13本讲稿第十三页，共六十二页Ex:动能算符角动量算符1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 14本讲稿第十四页，共六十二页（2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。注注:（1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言，对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 中的坐标位置 换成坐标算符1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 15本讲稿第十五页，

7、共六十二页4）力学量算符与力学量测量值的关系）力学量算符与力学量测量值的关系 在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题时已看到，当体系处在 的本征态时，体系有确定的能量，该能量值就是 在此本征态中的本征值。当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而有一系列可能值，这些可能值均为 的本征值。这表明 的本征值是体系能量的可测值，将该结论推广到一般力学量算符提出一个基本假设基本假设.如果算符如果算符 表示力学量表示力学量F F，那么当体系处于那么当体系处于 的本征态中时，的本征态中时，力学量力学量F F 有确定值，这个值就是有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。属于该本征态的本征值。该假设给

8、出了表示力学量的算符与该力学量的关系。该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系。1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 16本讲稿第十六页，共六十二页5）厄米算符及其性质）厄米算符及其性质（1）厄米算符的定义（2）厄米算符的性质厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数则称 为厄米算符厄米算符 若对于任意两函数和，算符满足等式1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 17本讲稿第十七页，共六十二页力学量算符为线性的厄米算符力学量算符为线性的厄米算符6）力学量算符的性质）力学量算符的性质即 为实数设为

9、厄米算符，Prove:1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 18本讲稿第十八页，共六十二页p证明：证明：动量算符的一个分量动量算符的一个分量Px是厄密算符是厄密算符1.表示力学量的算符operator for dynamical variable 19本讲稿第十九页，共六十二页本征方程：令2.动量算符momentumoperator20本讲稿第二十页，共六十二页or2.动量算符momentumoperator21本讲稿第二十一页，共六十二页 1）若粒子处在无限空间中，则按）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归一化方法确定归一化常数函数的归一化方法确

10、定归一化常数A，即即本征值本征值 取连续值。取连续值。2.动量算符momentumoperator22本讲稿第二十二页，共六十二页 2）若粒子处在边长为）若粒子处在边长为L的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数数A。设粒子被限制在边长为L的方体内，周期性边界条件要求本征函数 在点 和对应点 处的值相等。（周期性条件）同理xyzoAA2.动量算符momentumoperator23本讲稿第二十三页，共六十二页本征值本征值:可见，加上周期条件后，动量算符的本征值取离散谱可见，加上周期条件后，动量算符的本征值取离散谱2.动量算符momentumoper

11、ator24本讲稿第二十四页，共六十二页即离散谱离散谱连续谱连续谱当时，讨论讨论:由归一化条件归一化归一化波函数波函数 2.动量算符momentumoperator25本讲稿第二十五页，共六十二页本征值：F1，F2，F3组成本征值谱本征函数：组成本函数系本征函数的正交性：本征函数的正交性：解得 本征值方程：属于厄米算符属于厄米算符 的不同本征值的本征函数相互正交。的不同本征值的本征函数相互正交。数学表述3.厄密算符本征函数的正交性Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operators26本讲稿第二十六页，共六十二页由厄米定义：移项：本征值

12、方程Prove:即 时当有当时有正交性正交性归归 一一函数系函数系 为正交归一函数系。为正交归一函数系。3.厄密算符本征函数的正交性Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operators27本讲稿第二十七页，共六十二页线性谐振子能量算符 的本征函数：组成正交归一系Ex：3.厄密算符本征函数的正交性Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operators28本讲稿第二十八页，共六十二页（1）以上的讨论曾认为本征值为分立谱，若本征值为连续谱，可作同样的讨论，这时本征函数的正交归一性应写成例

13、如动量算符的本征函数：例如动量算符的本征函数：（2）前面的讨论假定本征值所属的本征函数均不相等，若 的本征值 是 度简并的，则属于 的本征函数有f 个：注意注意3.厄密算符本征函数的正交性Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operators29本讲稿第二十九页，共六十二页 当体系处于 的本征态 时，表示的力学量有确定值，该值就是 在 态中的本征值 ，即本征函数：（正交归完全函数系）本征值：（本征值谱)设 为力学量算符1 1力学量算符的本征值与力学量的关系力学量算符的本征值与力学量的关系4.算符与力学量的关系The relationshi

14、p between operator and dynamical variable30本讲稿第三十页，共六十二页（2）Q：将（1）代入归一化条件（3）当体系不是处于当体系不是处于 的本征态，而是处于的本征态，而是处于 任一个态任一个态 ，这时这时与它所表示的力学量之间的关系如何。与它所表示的力学量之间的关系如何。将写成（1）4.算符与力学量的关系The relationship between operator and dynamical variable31本讲稿第三十一页，共六十二页 按（3）式知 具有几率的意义，在这种情况下，测量力学量F必定得 的结果。由这个特例和（3）式看到 具有几率

15、的意义，它表示在态中测量力学量F得到结果是 的本征值 的几率，故Cn常称为几率幅，（3）式表明总的几率为1。若就是 的本征态 则由（1）知其余系数4.算符与力学量的关系The relationship between operator and dynamical variable32本讲稿第三十二页，共六十二页量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量力学量F所得的数值，必须是算符 的本征值之一，测得 的几率是基本假设基本假设 此假设的正确性，由该理论与实验结果符合而得到验证。根据此假定，力学量在一般状态中没有确定的数值，而是一

16、系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值，每个可能值都以确定的几率出现。注注4.算符与力学量的关系The relationship between operator and dynamical variable33本讲稿第三十三页，共六十二页设为任一波函数，且2 2力学量平均值与力学量算符本征值间的关系力学量平均值与力学量算符本征值间的关系的本征值：本征函数4.算符与力学量的关系The relationship between operator and dynamical variable34本讲稿第三十四页，共六十二页 若不是归一化的波函数，则 若 的本征值为分立谱和连续谱组

17、合注意注意，4.算符与力学量的关系The relationship between operator and dynamical variable35本讲稿第三十五页，共六十二页p例子求在能量本征态求在能量本征态 下的测量动量和动能的下的测量动量和动能的平均值平均值在能量本征态下测量到的平均值即该态所对在能量本征态下测量到的平均值即该态所对应能量的本征值应能量的本征值4.算符与力学量的关系The relationship between operator and dynamical variable36本讲稿第三十六页，共六十二页则 与 不对易1 1算符的对易关系算符的对易关系若 ，则称 与

18、对易若 ，则称 与 不对易引入对易子：则 与 对易若，若，设 与 是两个算符算符5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle37本讲稿第三十七页，共六十二页（1 1）力学量算符的基本对易关系力学量算符的基本对易关系5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle38本讲稿

19、第三十八页，共六十二页证明 5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle39本讲稿第三十九页，共六十二页prove:（2 2）对易恒等式）对易恒等式雅可比恒等式双线性5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle40本讲稿第四十页，共六十二页2 2力学量同时有确定值的条

20、件力学量同时有确定值的条件定理定理:若算符 和 具有共同的本征函数完全系，则 和 必对易prove:prove:逆定理逆定理若两个算符 与 对易，则它们具有共同的本征函数完全系（为简单起见，先在非简并情况下证明）为简单起见，先在非简并情况下证明）（注：在简并的情况下，结论仍成立）（注：在简并的情况下，结论仍成立）prove:5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle41本讲稿第四十一页，共六十二页 若两个力学量算符彼此不对易，则

21、一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。Ex.1 动量算符 彼此对易，它们有共同的本征函数结论结论:在两个算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值；而两个算符有共同本征函数的充要条件是这两个算符彼此对易。或者说两个算符同时有确定值的条件是它们的算符相互对易。同时有确定值：5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle42本讲稿第四十二页，共六十二页考虑积分：3 3测不准

22、关系测不准关系 设 和 的对易关系为 ，即5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle43本讲稿第四十三页，共六十二页由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：（称为测不准关系）（称为测不准关系）5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle44本

23、讲稿第四十四页，共六十二页or 此为坐标和动量的测不准关系，和 不能同时为零，坐标x的均方差越小，则与它共轭的动量 px 的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。对于坐标和动量，如果 不等于零，则 和 的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 F 和 G 不能同时测定。5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle45本讲稿第四十五页，共六十二页 由测不准关系 看出：若两个力学量算符 和 不对易，则一

24、般说来 与 不能同时为零，即F 和G 不能同时测定（但注意，的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符 和 对易，则可以找出这样的态，使 和 同时满足，即可以找出它们的共同本征态。测不准关系的应用测不准关系的应用利用测不准关系估算线性谐振子的零点能5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle46本讲稿第四十六页，共六十二页谐振子的能量 SolveSolve：平均能量：5.算符对易关系算符对易关系 两力学

25、量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle47本讲稿第四十七页，共六十二页5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle48本讲稿第四十八页，共六十二页 故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，零点能零点能在旧量子理论是没有的（零点能）（零点能）5.算符对易关系算符对易关系 两力学量同时有确定值的条件

26、两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系Operator commute;The Heisenberg Uncertainty Principle49本讲稿第四十九页，共六十二页此式表明力学量平均值平均值随时间发生变化有两方面的原因:6.力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws体系所处的状态 随时间而变化力学量算符 是时间的显函数，使 随时间变化1 1、力学量平均值随时间的变化、力学量平均值随时间的变化（1）50本讲稿第五十页，共六十二页由薛定谔方

27、程：代入（1）：因 是厄米算符 6.力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws51本讲稿第五十一页，共六十二页（2）利用对易子记号 则6.力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws52本讲稿第五十二页，共六十二页 力学量 的平均值 不随时间而变化,则称 为运动积分，或 在运动中守恒。2 2、运动积分、运动积分力学量守恒的条

28、件力学量守恒的条件若：力学量算符 不显含时间t，且与哈米顿算符 对易则有常量结论结论:即 ，6.力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws53本讲稿第五十三页，共六十二页又故自由粒子的动量是运动积分动量守恒 守恒例例1 1：自由粒子的动量：自由粒子的动量 不显含时间6.力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws54本讲稿第

29、五十四页，共六十二页例例3 3：哈米顿算符不显含时间的体系能量：哈米顿算符不显含时间的体系能量当 不显含t时，又 即：能量守恒定律！6.力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws55本讲稿第五十五页，共六十二页 空间反演算符也称为宇称算符3 3、哈米顿算符对空间反演时的不变宇称、哈米顿算符对空间反演时的不变宇称空间反演：反演空间反演算符反演算符 的本征值6.力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable wit

30、h respect to time The conservation laws56本讲稿第五十六页，共六十二页(偶宇称)(奇宇称)本征值 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。宇称守恒律：宇称守恒律：若体系的哈米顿算符具有空间反演不变性即则 为运动积分，即宇称守恒6.力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws57本讲稿第五十七页，共六十二页ProveProve：又 不显含t，故 为运动积分，亦即宇称守恒因此,宇称守恒表示体

31、系的哈米顿算符和宇称算符具有共同本征函数,因而体系能量本征函数可以有确定的宇称，而且不随时间变化。衰变宇称不守恒！6.力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律The dynamical variable with respect to time The conservation laws58本讲稿第五十八页，共六十二页一、力学量与算符一、力学量与算符1厄米算符的定义2力学量与厄米算符的关系力学量用厄米算符表示，表示力学量的厄米算符有组成完全系的本征函数系（假设）3厄米算符的性质厄米算符的本征值是实数，属于不同本征值的本征函数正交4力学量算符的构成（对应原则）（假设）5力学量的平均值注

32、2和4合起来作为一个假设复习复习59本讲稿第五十九页，共六十二页二、力学量的测量值与力学量算符关系：假设二、力学量的测量值与力学量算符关系：假设力学量算符的本征值是力学量的可测量值。将体系的状态波函数用算符的本征函数展开则在态中测量力学量F得到结果为的几率是，得到结果在范围内的几率是复习复习60本讲稿第六十页，共六十二页三、力学量算符之间的关系三、力学量算符之间的关系1不同力学量同时可测定的条件力学量算符彼此对易一体系的所有可彼此对易的力学量算符构成一个完全集。2测不准关系3算符的对易关系（1）基本对易关系（2）动量算符的对易关系复习复习61本讲稿第六十一页，共六十二页四、力学量算符的本征值问题四、力学量算符的本征值问题动量算符的本征值问题五、力学量守恒五、力学量守恒复习复习62本讲稿第六十二页，共六十二页