浙江省杭州市2013届高三数学第一次高考科目教学质量检测试题 文（含解析）新人教A版.doc

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1、2013年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013杭州一模）若复数z=2+，其中i是虚数单位，则复平面上，复数z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：把复数z中的分式部分利用复数的除法运算进行化简，得到复数z的实部和虚部，则答案可求解答：解：由=复数z的实部为2，虚部为1，所以复数z对应的点在第四象限故选D点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母

2、同时乘以分母的共轭复数，考查了复数代数表示法的几何意义，是基础题2（5分）（2009辽宁）平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=（）ABC4D12考点：向量加减混合运算及其几何意义分析：根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方解答：解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12|a+2b|=，故选B点评：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可两个向量的数量积是一个数量，它

3、的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定3（5分）（2013杭州一模）设aR，则“a=4”是“直线l1：ax+2y3=0与直线l2：2x+ya=0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定专题：阅读型分析：根据直线ax+2y3=0与直线l2：2x+ya=0的斜截式，求出平行的条件，验证充分性与必要性即可解答：解：当a=4时，直线4x+2y3=0与2x+y4=0平行，满足充分性；当：ax+2y3=0与直线l2：2x+ya=0平行a=4，满足必要性故选C

4、点评：本题考查充要条件的判定4（5分）（2013杭州一模）设函数f（x）=2|x|，则下列结论正确的是（）Af（1）f（2）f（）Bf（）f（1）f（2）Cf（2）f（）f（1）Df（1）f（）f（2）考点：指数函数单调性的应用专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式，可判断出函数f（x）=2|x|为偶函数且在0，+）上为增函数，将三个自变量化到同一单调区间内，进而利用单调性可比较大小解答：解：当x0时，f（x）=2|x|=2x为增函数又f（x）=2|x|=2|x|=f（x）故函数f（x）=2|x|为偶函数故f（1）=f（1），f（）=f（）21故f（2）f（）f（1）即f（1）f（）f（2

5、）故选D点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性，函数的奇偶性，其中分析出函数的单调性是解答的关键5（5分）（2013杭州一模）设等差数列an的前n项和为Sn，若a7a1a8，则必定有（）AS70，且S80BS70，且S80CS70，且S80DS70，且S80考点：等差数列的前n项和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由已知a7a1a8，可得a7+a10，d0，a8a7，结合等差数列的求和公式可判断解答：解：a7a1a8，a7+a10，7d=a8a10d0，a8a70S8=4（a1+a8）4（a1+a7）0故选C点评：本题主要考查等差数列的前n项和以及数列的函数特性解决本题的关键是由a10分

6、析出数列递增6（5分）（2013杭州一模）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A5B6C7D8考点：循环结构专题：图表型分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论解答：解：当输入的值为n=5时，n不满足第一判断框中的条件，n=16，k=1，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=1，

7、k=5，n满足第二判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选A点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题7（5分）（2013杭州一模）设是第三象限角，且tan=2，则=（）ABCD考点：运用诱导公式化简求值专题：三角函数的求值分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos=，化简要求的式子为cos，从而求得结果解答：解：是第三象限角，且tan=2，可得 sin2+cos2=1，可得 cos=故 =cos=，故选B点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题8（5分）（2013杭州一模）设函数f（

8、x）=|logax|（0a1）的定义域为m，n（mn），值域为0，1，若nm的最小值为，则实数a的值为（）A或B或C或D或考点：对数函数的单调区间专题：函数的性质及应用分析：通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出解答：解：若1mn，则f（x）=logax，f（x）的值域为0，1，f（m）=0，f（n）=1，解得m=1，n=，又nm的最小值为，及0a1，当等号成立时，解得a=若0mn1，则f（x）=logax，f（x）的值域为0，1，f（m）=1，f（n）=0，解得m=a，n=1，又nm的最小值为，及0a1，当等号成立时，解得a=若0m1n时，不满足题意故选B点评：熟练掌握分类讨论的思想方法

9、和对数函数的单调性是解题的关键9（5分）（2013杭州一模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cosPF2F1等于（）ABCD考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得 mn=2a ，再由m2+n2=4c2 ，以及=5 可得 m=8a，故cosPF2F1 =，运算求得结果解答：解：设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得 mn=2a ，且三角形PF1F2为直角三角形，故有m2+n2=4c2 再由=5 可得 c=5a把和

10、联立方程组解得 m=8a，故cosPF2F1 =，故选C点评：本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题10（5分）（2013杭州一模）已知函数，则函数F（x）=xf（x）1的零点个数为（）A4B5C6D7考点：函数零点的判定定理；分段函数的解析式求法及其图象的作法专题：压轴题；数形结合；转化思想分析：求函数F（x）=xf（x）1的零点个数，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=图象交点的个数，根据函数y=f（x）的解析式，我们在同一坐标系中分别画出两个函数图象，由图象即可求出两个函数的交点个数，即函数F（x）=xf（x）1的零点个数解答：解：，则函数F（x

11、）=xf（x）1的零点个数等于函数y=f（x）与函数y=图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=图象共有6个交点故函数F（x）=xf（x）1的零点个数为6个，故选C点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中将求函数零点的问题转化为求两个函数图象交点的问题是解答本题的关键二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填在答题卷的横线上.11（4分）（2013杭州一模）在等比数列an中，若a2=1，a5=8则a8=64考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列的通项公式或性质即可得出解答：解：设等比数列a

12、n的公比为q，则a2=a1q=1，=8，两式相除得q3=8，=88=64或利用=a2a8解得故答案为64点评：熟练掌握等比数列的通项公式或性质是解题的关键12（4分）（2013杭州一模）若sinx+cosx=1，则=1考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由sinx+cosx=1，可求得sin2x=0，从而可求得cos2x，继而可得答案解答：解：sinx+cosx=1，（sinx+cosx）2=1+sin2x=1，sin2x=0，cos2x=1，=1故答案为：1点评：本题考查二倍角的正弦，考查同角三角函数间的基本关系，求得sin2x=0是关键，属于

13、中档题13（4分）（2013杭州一模）若正数x，y满足x+y=1，则的最小值为9考点：基本不等式专题：计算题分析：将x+y=1代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案解答：解：x0，y0，x+y=1，+=（+）（x+y）=4+1+5+2=9（当且仅当x=，y=时取等号）故答案为：9点评：本题考查基本不等式，将x+y=1代入所求关系式是关键，属于基础题14（4分）（2013杭州一模）无穷数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，以此类推记该数列为an，若an1=7，an=8，则n=29考点：等差数列与等比数列的综合；数列的函

14、数特性专题：等差数列与等比数列分析：利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出数8所在的组，求出第28项为7，之后的8项就是8，从而得出n的值解答：解：一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，依此类推，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，则当n=7，1+2+3+n=28，a28=7，a29=a30=8，若an1=7，an=8，则n=29故答案为：29点评：本题考查数列的函数特性解答关键是利用已知条件，判断出数列具有的函数性质，利用函数性质求出特定项15（4分）（2013杭州一模）在ABC中，角A，B，C的对边分

15、别为a，b，c，若a2+b2=，则直线axby+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为2考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：求出圆心到直线的距离，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果解答：解：圆心（0，0）到直线的距离d=，再由a2+b2=，可得d=而圆的半径为3，故弦长为 2=2=2，故答案为 2点评：本题主要考查直线被圆截得的弦长的求法，注意点到直线的距离公式的应用，弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，是快速解题的关键，属于中档题16（4分）（2013杭州一模）若实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为考点：简单线性规划专题：计算题；不等式的解法及应用分

16、析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=时，目标函数z=2x+y取得最大值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到直线yx=0的下方且在直线x+y7=0的上方，即如图的阴影部分，设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A（，）时，目标函数z达到最大值z最大值=F（，）=2+=故答案为：点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题17（4分）（2013杭州一模）设Q为圆C：x2+y2+6x+8y+2

17、1=0上任意一点，抛物线y2=8x的准线为l若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PQ|的最小值为2考点：直线与圆的位置关系专题：压轴题；直线与圆分析：先根据圆的方程求得圆心坐标和半径，抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，根据根据抛物线的定义可知，P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，根据图象可知当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径解答：解：圆C：x2+y2+6x+8y+21=0 即 （x+3）2+（y+4）2=4，表示以C（3，4）为圆心，半径等于2的圆抛物线y2=8x的准线为l：x=2，焦点为F（2，0），根据抛

18、物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：|FC|r=2=2，故答案为 2点评：本题主要考查了抛物线的应用考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想，属于中档题三、解答题：本大题有5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤18（14分）（2013杭州一模）设f（x）=6cos2xsin2x（xR）（）求f（x）的最大值及最小正周期；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f（A）=3，B=，求的值考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法专题

19、：解三角形分析：（）利用倍角公式和两角和差的正弦、余弦公式、三角函数的单调性和周期性即可得出；（）利用三角函数的单调性和余弦定理即可得出解答：解：（）f （x）=2cos（2x+）+3，当时，f （x）取得最大值为2+3；最小正周期T= （）由f （A）=32得2cos（2A+）+3=32，cos（2A+）=1，又由0A，得2A+，故2A+=，解得A=又B=，C=由余弦定理得=2cosC=0点评：熟练掌握倍角公式、两角和差的正弦余弦公式、三角函数的单调性、周期性和余弦定理是解题的关键19（14分）（2013杭州一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（1，sinA），=（s

20、inA，1+cosA），且（）若=2，求角A的大小；（）若sinB+sinC=sinA，求实数的取值范围考点：余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示专题：解三角形分析：（）利用向量共线的充要条件即可得出；（）利用正弦、余弦定理及基本不等式即可得出解答：解：（）由，得2sin2A1cosA=0，化为2cos2A+cosA1=0，解得cosA=或cosA=1（舍去），A=（）sinB+sinC=sinA，由正弦定理得b+c=a，由，得sin2A1cosA=0，化为cos2A+cosA+1=0，解得cosA=或cosA=1（舍去）又cosA=，综上，需要满足，解得点评：熟练掌握向量共线的充要条件、

21、正弦、余弦定理、基本不等式及不等式的解法是解题的关键20（14分）（2013杭州一模）设在等差数列an和等比数列bn中，a1=1，b1=2，bn0（nN*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=，数列cn的前n项和为Sn，若恒成立，求实数t的取值范围考点：等差数列与等比数列的综合专题：等差数列与等比数列分析：（）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式即可得出；（）利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出解答：解：（）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q（q0）由题意，得，解得d=q=3an=3n2，（）cn

22、=3bn2=323n12=23n2Sn=c1+c2+cn=2（31+32+3n）2n=3n+132n=3n+1恒成立，3n+123n+t恒成立，即t（3n+1）max，nN*由于函数y=3x+1在（0，+）上单调递减，3n+131+1=2，故t2点评：熟练掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及函数的单调性是解题的关键21（15分）（2013杭州一模）设函数f（x）=x2（a+2）x+alnx，（其中a0）（）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（）当a=4时，给出直线l1：5x+2y=m=0和l2：3xy+n=0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f（x）的图

23、象的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义专题：导数的概念及应用分析：（）把a=1代入，求导数，由导数的正负可得单调区间，进而可得极值；（）把a=4代入可得导数，故l1或l2中，不存函数图象的切线，令导数=3，可得n值解答：解：（）当a=1时，f（x）=2x3+=，当时，f（x）0；当时，f（x）0；当x1时，f（x）0所以当x=1时，f（x）取极小值2 （7分）（）当a=4时，f（x）=2x6+，x0，f（x）=2x+6，故l1或l2中，不存函数图象的切线由2x+6=3得x=，或x=4，当x=时，可得n=，当x=4时，可得n=4ln

24、420 （15分）点评：本题考查导数的几何意义与函数的极值，属中档题22（15分）（2013杭州一模）已知抛物线C：y2=2px（p0）和M：x2+y2+8x12=0，过抛物线C上一点P（x0，y0）（y00）作两条直线与M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为（）求抛物线C的方程；（）当P点坐标为（2，2）时，求直线AB的方程；（）设切线PA与PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=，求点P（x0，y0）的坐标考点：圆锥曲线的综合专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）利用抛物线的定义即可得出；（）利用两圆的根轴即可得出；（）利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出解答：解：（）由M：x2+y28x+12=0，配方得（x4）2+y2=4，圆心M（4，0），半径r=2由题意知：，解得p=1，抛物线C的方程为y2=2x （）设P（2，2），P，A，B，M四点共圆，此圆的方程为：（x4）（x2）+（y2）（y0）=0，又M：x28x+y2+12=0，又由得直线AB的方程：xy2=0 （）设过P的直线l方程为yy0=k（xx0），由于M与直线l相切，得到，整理得到：，即，x0=2或10，经检验得点P坐标为点评：熟练掌握抛物线的定义、两圆的根轴的性质、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式是解题的关键13