四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义 第8讲 二次函数图象的应用.doc

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1、第8讲 二次函数图象的应用（一）【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数中a,b,c的作用）：决定_。当_ 时，图象开口向上，当x=_时，函数有最_值_；当x-时，y随x的增大而_；当x-时，y随x的增大而_。当_时，图象开口向下，当x=_时，函数有最_值_；x-时，y随x的增大而_；当x-时，y随x的增大而_。当|越大，图象开口越_。（2） 和b共同决定_。b=0时，对称轴为_； 和b同号时对称轴在y轴_侧； 和b异号时对称轴在y轴_侧。简记为 。（3）c的大小决定抛物线与_的交点的位置。当_ 时，图象与y轴正半轴相交；当_ 时，图象与y轴负半轴相交；当_ 时，图象过原点。（4）当

2、_ _时，图象与x轴有两个交点；当_ 时，图象与x轴仅有一个交点；当_ _时，图象与x轴没有交点。2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。【精彩知识】题型一 二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论中：abc0；2a+b0；a+bm（am+b）（m1的实数）；（a+c）2b2；a1其中正确的项是 （填番号）变式练习：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图

3、象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：ac0；a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4题型二 二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知，二次函数的解析式y1=x2+2x+3（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？（5）若直线y2=ax+b（a0）的图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1y2？变式练习：对于二次函数，有下列说法：它的图象与轴有两个公共点； 如果当1时

4、随的增大而减小，则；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）【例3】 二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（ ）A.-3 B.3 C.-5 D.9 变式练习：如图，已知抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1y2，此时M=0下列判断：当x0时，y1y2； 当x0时，x值越大，M值越小；使得M大于2的x值不存在

5、； 使得M=1的x值是或其中正确的是 (填番号)题型三 二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等【例4】如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n），已知一元二次方程x24x3=0的两根是m，n且mn.（1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PEx轴与抛物线交与点E，若直线BC将CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.变式练习：如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点求该抛物线的解析式及对称轴；当为何值时，？在轴上方

6、作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标【例5】如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c（a0）.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为. （1）求抛物线的解析式； （2）判断的形状，并说明理由；xy（3）在线段上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，OB2，抛物线yax2bxc经过点A、O、B三点(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛

7、物线对称轴上一点，试求AMOM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，ABx轴于点B，AB=3，tanAOB=。将OAB绕着原点O逆时针旋转90o，得到OA1B1；再将OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o，得到OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点B、B1、A2。（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存

8、在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。变式练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为（1，）（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标（3）若点E是线段AB上的一个动点（点E与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EFAC交线段BC于点F，连接CE，记CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由BxyOCAD【课后测控】1、抛物线的开口_ _，对称轴为_ _，顶点坐标

9、为_ _；当x= 时，函数有最 值，其最值为 。2、已知实数x，y满足x2+3x+y3=0，则x+y的最大值为 。 3、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：abc0；ab+c0； 3a+c0； 当1x0其中正确的是_(把正确说法的序号都填上)4、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； （的实数），其中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个yxO5、如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）

10、，点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D8 6、抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x21012y04664从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； 函数y=ax2+bx+c的最大值为6；抛物线的对称轴是直线x= ； 在对称轴左侧，y随x增大而增大7、如图11，已知抛物线与x 轴交于两点A、B，其顶点为C (1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的

11、四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由8、如图，抛物线y=x2x+c的顶点A在直线l：y=x5上.(1)求抛物线顶点A的坐标；(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；(3)在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。部分答案：【例1】解答：解：抛物线的开口向上，a0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，c0，对称轴为x=0，a、b异号，即b0，又c0，abc0，故本选项正确；对称轴为x=0，a0，b2a，2a+b0；故本选项错误；当x=1时，y1=a+

12、b+c；当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m1，y2y1；当m1，y2y1，所以不能确定；故本选项错误；当x=1时，a+b+c=0；当x=1时，ab+c0；（a+b+c）（ab+c）=0，即（a+c）2b2=0；（a+c）2=b2 故本选项错误；当x=1时，ab+c=2；当x=1时，a+b+c=0，a+c=1，a=1+（c）1，即a1；故本选项正确；综上所述，正确的是例3变式【答案】。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】当x0时，利用函数图象可以得出y2y1。此判断错误。抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1y2，取y1、y2

13、中的较小值记为M。当x0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。此判断错误。抛物线y1=2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；此判断正确。 使得M=1时，若y1=2x2+2=1，解得：x1=，x2=；若y2=2x+2=1，解得：x=。由图象可得出：当x=0，此时对应y1=M。抛物线y1=2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（1，0），当1x0，此时对应y2=M， M=1时，x=或x=。此判断正确。因此正确的有：。【例4】（1）x24x+3=0的两个根为 x1=1,x2=3A点的坐标为

14、（1,0），B点的坐标为（0,3）又抛物线y=x2+bx+c的图像经过点A（1,0）、B（0,3）两点抛物线的解析式为 y=x2-2x+3（1） 作直线BC由（1）得，y=x2-2x+3 抛物线y=x22x+3与x轴的另一个交点为C 令x22x+3=0解得：x1=1，x2=3C点的坐标为（3,0）由图可知：当3x0时，抛物线的图像在直线BC的上方.(3)设直线BC交PE于F，P点坐标为（a,0）,则E点坐标为（a，a22a+3）直线BC将CPE的面积分成相等的两部分.F是线段PE的中点.即F点的坐标是（a，）直线BC过点B（0.3）和C(-3,0)易得直线BC的解析式为y=x+3xyMFEG点

15、F在直线BC上，所以点F的坐标满足直线BC的解析式即=a+3解得 a1=1,a2=3(此时P点与点C重合，舍去)P点的坐标是（1,0）【例6】 解：（1）的顶点坐标为（，）， . 分 （2）由（1）得. 当时， 解之，得 .又当时，C点坐标为.4分又抛物线顶点坐标，作抛物线的对称轴交轴于点E， 轴于点易知在中，；在中，；在中，； ACD是直角三角形分（3）存在作OMBC交AC于M，点即为所求点由（2）知，为等腰直角三角形，由，得即. 分过点作于点，则，.又点M在第三象限，所以. 10分【例7】解：（1）由OB2，可知B(2,0)将A(2，4)，B(2,0)，O(0,0)三点坐标代入抛物线yax

16、2bxc，得解得：抛物线的函数表达式为。（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线，且对称轴是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线于点M，即为所求。MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作ACx轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，AB=MO+MA的最小值为。（3）若OBAP，此时点A与点P关于直线对称，由A(2，4),得P(4,4),则得梯形OAPB。若OABP，设直线OA的表达式为，由A(2，4)得，。设直线BP的表达式为，由B(2,0)得，即，直线BP的表达式为由，解得，（不合题意，舍去）当时，点P()，则得梯形OAPB。若ABOP，设直线AB的表达式为，则，解得，AB的表达式为。直线OP的

17、表达式为。由，得 ，解得，（不合题意，舍去），此时点P不存在。综上所述，存在两点P(4,4)或P()使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。【例8】思路导引：确定二次函数解析式，寻找经过三点的坐标十分关键，运用点绕原点旋转直角后坐标的变化规律进行界定，计算动点构造的三角形的面积并且确定最值，因此运用面积构造面积的函数式，结合得出的函数形式，运用其性质解答；判断符合某种条件的点的存在性问题，注意三点O、B、B1构成的特殊三角形的性质结合图形信息，确定符合第三象限这一条件的有关面积的方程，通过解方程并且检验得出符合题意的解；解析：（1）ABx轴，AB=3，tanAOB=，OB=4，点B坐标是

18、（4，0），B1（0，4），A2（3，0），抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点B、B1、A2， ，解得：a=,b=,c=4,抛物线的解析式是y=x2+x4，（2）点P 是第三象限内抛物线y=x2+x4上一点，过点P 作PCx轴，垂足是点C，设点P 的坐标是（m，n），则m0,n0，n=m2+m4，则有PC=n=n=m2m4，OC=m=m，BC=OBOC=4m=4m，SPBB1= SPBCS梯形PB1OCSOBB1=BCPC（PCOB1）OCOBOB1=（4m）（m2m4）（m2m4）4（m）44=m2=（m2）2.（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x，y），使得点Q到BB1的距离是

19、，过点Q作QDBB1于点D，由（2）可知，这时PBB1的面积可以表示为（x2）2. 在RtO BB1中，BB1=，SPBB1=BB1QD=2，（x2）2=2，解得：x 的值是1或者是3，当x=1时，y=4，当x=3时，y=2，因此在第三象限内，抛物线上存在点Q，使得Q点到线段BB1的距离是，这样的点Q 的坐标是（1，4）（3，2）；【例8】变式（1）抛物线的顶点为（1，）设抛物线的函数关系式为ya ( x1) 22分抛物线与y轴交于点C (0，4)，a (01) 24解得a所求抛物线的函数关系式为y( x1) 2 4分（2）解：P1 (1，)，P2 (1，)， P3 (1，8)，P4 (1，)， 8分（3）解：令( x1) 20，解得x12，x14抛物线y( x1) 2与x轴的交点为A (2，0) C (4，0) 9分过点F作FMOB于点M，EFAC，BEFBAC， 又OC4，AB6，MFOCEB设E点坐标为 (x，0)，则EB4x，MF (4x) 10分SSBCESBEF EBOC EBMF EB(OCMF) (4x)4 (4x)x2x( x1) 23a0，S有最大值当x1时，S最大值3 11分此时点E的坐标为 (1，0) 12分- 7 -