安徽省安庆市慧德中学2015_2016学年高二数学上学期期中试卷理含解析.doc

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1、2015-2016学年安徽省安庆市慧德中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（5*12=60分）1若复数z满足z（2i）=11+7i（i为虚数单位），则z为( )A3+5iB35iC3+5iD35i2已知集合A=1，B=x|mx1=0，若AB=B，则所有实数m组成的集合是( )A0，1，2B， 0，1C1，2D1，0，3已知p、q是两个命题，若“（pq）”是真命题，则( )Ap、q都是真命题Bp、q都是假命题Cp是假命题且q是真命题Dp是真命题且q是假命题4已知向量，若与平行，则实数x的值是( )A2B0C1D25要得到函数y=2cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x+cos

2、2x的图象( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位6若函数f（x）=sin（x+）（0且|）在区间上是单调减函数，且函数值从1减小到1，则f（）=( )A1BCD07有以下四个命题，其中真命题的个数为( )ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件；若命题p：xR，sinx1，则p：xR，sinx1；函数y=3sin（2x）+2的单调递减区间是（kz）；若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x1|+|x+a|有相同的最小值，则=A1个B2个C3个D4个8设函数f（x）=，给出以下三个结论：f（x）为偶函数；f（x）为周期函数；f（x+1）+f（x）

3、=1，其中正确结论的个数为( )A0个B1个C2个D3个9已知函数f（x）是（，+）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x时，f（x）=x，则f+f=( )A1B0C1D210若关于x的方程x33x+m=0在上有根，则实数m的取值范围是( )ABCD11如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东+30角的方向沿直线前往B处营救，则sin的值为( )ABCD12若函数f（x）的定义域为D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=在I上也是增函数，则称y=

4、f（x）是I上的“完美函数”，已知g（x）=ex+xlnx+1，若函数g（x）是区间上单调递减，求a的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值21已知函数f（x）=xlnx（x（0，+）（）求g（x）=的单调区间与极大值；（）任取两个不等的正数x1，x2，且x1x2，若存在x00使f（x0）=成立，求证：x1x0x2（）己知数列an满足a1=1，an+1=（1+）an+（nN+），求证：an（e为自然对数的底数）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号22在直角坐标

5、系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为=4sin，cos（）=2（）求C1与C2交点的极坐标；（）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（tR为参数），求a，b的值23设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围2015-2016学年安徽省安庆市慧德中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（5*12=60分）1若复数z满足z（2i）=11+7i（i为虚数单位），则z为( )A3+5iB35iC3+5iD35i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复

6、数【分析】等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可【解答】解：因为z（2i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i故选A【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力2已知集合A=1，B=x|mx1=0，若AB=B，则所有实数m组成的集合是( )A0，1，2B，0，1C1，2D1，0，【考点】子集与交集、并集运算的转换【专题】集合【分析】根据集合AB=B得到，BA，即可得到结论【解答】解：AB=B，BA，若m=0，则B=，此时满足条件若m0，则B=，则=1或=，解得m=1或m=2，综上所有实数m组成的集合是0，1

7、，2，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本关系的应用，将条件AB=B转化为BA是解决本题的关键3已知p、q是两个命题，若“（pq）”是真命题，则( )Ap、q都是真命题Bp、q都是假命题Cp是假命题且q是真命题Dp是真命题且q是假命题【考点】复合命题的真假【专题】阅读型【分析】由复合命题真值表判断命题“pq”为假命题，进而得到命题p、q都是假命题【解答】解：由复合命题真值表得：若“（pq）”是真命题，则pq为假命题，则命题p、q都是假命题故选B【点评】本题考查了复合命题的真假判定规律，对复合命题真值表要熟练掌握4已知向量，若与平行，则实数x的值是( )A2B0C1D2【考点】平面向量共线（平

8、行）的坐标表示；平面向量的坐标运算【专题】计算题【分析】由题意分别可得向量与的坐标，由向量平行的充要条件可建立关于x的方程，解之即可【解答】解：由题意可得=（3，x+1），=（1，1x），因为与平行，所以3（1x）（x+1）（1）=0，解得x=2故选D【点评】本题为向量平行的问题，熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键，属基础题5要得到函数y=2cos（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x的图象( )A向左平移个单位B向右平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由两角差的余弦把y=sin2x+c

9、os2x化积，然后看x发生如何变化得y=2cos（2x+）【解答】解：y=sin2x+cos2x=又数y=2cos（2x+）=2=，只需要将y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，即可得到y=2cos（2x+）的图象故选：A【点评】本题考查了y=Asin（x+）型函数的图象，考查了两角和与差的三角函数，是中档题6若函数f（x）=sin（x+）（0且|）在区间上是单调减函数，且函数值从1减小到1，则f（）=( )A1BCD0【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数的单调性和最值求出 和的值即可得到结论【解答】解：f（x）=sin（x+）（0且|）在区间上是单调减

10、函数，且函数值从1减小到1，即函数的周期T=，T=，=2，则f（x）=sin（2x+），f（）=sin（2+）=1，sin（+）=1，即+=+2k，kZ，即=+2k，kZ，|，当k=0时，=，即f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2+）=sin（+）=cos=，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的图象的应用，根据条件求出 和的值是解决本题的关键7有以下四个命题，其中真命题的个数为( )ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件；若命题p：xR，sinx1，则p：xR，sinx1；函数y=3sin（2x）+2的单调递减区间是（kz）；若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）

11、=|x1|+|x+a|有相同的最小值，则=A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用【专题】对应思想；导数的综合应用；三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】根据正弦定理，可判断；写出原命题的否定，可判断；求出函数的单调区间，可判断，求出a值，进而求出积分，可判断【解答】解：ABC中，“AB”“ab”“2RsinA2RsinB”“sinAsinB”，故“AB”是“sinAsinB”的充要条件，即是真命题；若命题p：xR，sinx1，则p：xR，sinx1，故是假命题；由2x（kz）得：x（kz）；即函数y=3sin（2x）+2的单调递减区间是（kz），故是假命题；若函数f（x）=x2+

12、2x+2a的最小值为：2a1，函数g（x）=|x1|+|x+a|的最小值为：|a+1|，由2a1=|a+1|得：a=2，则=，故是真命题；故真命题的个数为2个，故选：B【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理，全称命题的否定，正弦函数的单调性，函数的最值，积分等知识点，难度中档8设函数f（x）=，给出以下三个结论：f（x）为偶函数；f（x）为周期函数；f（x+1）+f（x）=1，其中正确结论的个数为( )A0个B1个C2个D3个【考点】命题的真假判断与应用【专题】规律型；函数思想；综合法；简易逻辑【分析】由题意可得f（x）=，检验f（x）=f（x），即可判断，由于f（x）的函数值是1，

13、0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，可判断，由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，可判断【解答】解：f（x）=，f（x）=f（x），故f（x）为偶函数，正确由于f（x）的函数值是1，0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，正确由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，则f（x+1）+f（x）=1，正确正确结论的个数为：3故选：D【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义、周期性的定义的应用，解题的关键是对已知函数的化简，是基础题9已知函数f（x）是（，+）上的奇函数，且f（x）的图象关

14、于直线x=1对称，当x时，f（x）=x，则f+f=( )A1B0C1D2【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】由函数的对称性可得f（x）=f（2x），再由奇偶性可得f（x）=f（x2），由此可推得函数的周期，根据周期性可把f，f转化为已知区间上求解【解答】解：因为f（x）图象关于x=1对称，所以f（x）=f（2x），又f（x）为奇函数，所以f（2x）=f（x2），即f（x）=f（x2），则f（x+4）=f（x+2）=f（x），故4为函数f（x）的一个周期，从而f+f=f（1）+f（0），而f（0）=0，f（1），故f（1）+f（0）=1，即f+f=1，故选：

15、C【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键10若关于x的方程x33x+m=0在上有根，则实数m的取值范围是( )ABCD【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值域；利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；函数思想；构造法【分析】分离参数m=x3+3x，记f（x）=x3+3x，x，要使原方程有解，则m【解答】解：分离参数m得，m=x3+3x，x，记f（x）=x3+3x，x，要使原方程有解，则m，令f（x）=3x2+3=0，解得x=1，分析可知，函数f（x）在（，1）单调递减，（1，1）单调递增，（1，+）单调递减，所以，当x时，f（x）先增后减，在x=

16、1取得最大值，即：f（x）max=f（1）=2，f（x）min=minf（0），f（）=0，因此，m，故选：B【点评】本题主要考查了应用导数研究函数的单调性，单调区间和最值，以及函数零点与方程的判断，属于中档题11如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东+30角的方向沿直线前往B处营救，则sin的值为( )ABCD【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题；解三角形【分析】连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sinACB的值，

17、即可求出sin的值【解答】解：连接BC，在ABC中，AC=10海里，AB=20海里，CAB=120根据余弦定理得：BC2=AC2+AB22ACABcosCAB=100+400+200=700，BC=10海里，根据正弦定理得，即，sinACB=，sin=故选：A【点评】解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系12若函数f（x）的定义域为D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=在I上也是增函数，则称y=f（x）是I上的“完美函数”，已知g（x）=ex+xlnx+1，若函数g（x）是区间【点评】本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力，

18、多次构造函数，求解导数，判断单调递增，属于难题二、填空题：（5*4=20分）13已知函数f（x）=，则f（f（）的值是=2【考点】对数的运算性质；函数的值【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值【解答】解：函数，f（）=2+=4=f（4）=2故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力14已知cos（）=，则sin（）=【考点】两角和与差的正弦函数【专题】计算题；三角函数的求值【分析】观察得，（）+（）=，结合题意，利用诱导公式即可求得sin（）【解答】解：cos（）=，且（）+（）

19、=，sin（）=sin=sin=cos（）=故答案为：【点评】本题考查诱导公式，观察得到（）+（）=是关键，考查观察与转化的能力，属于中档题15已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（a+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2bc=4再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可得bc4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，ABC为等边三角形，从而求得它的面积 的值【解答】解：ABC中，a=2，且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，利用正弦

20、定理可得（2+b）（ab）=（cb）c，即 b2+c2bc=4，即b2+c24=bc，cosA=，A=再由b2+c2bc=4，利用基本不等式可得 42bcbc=bc，bc4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，ABC为等边三角形，它的面积为 =22=，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题16已知函数，在下列四个命题中：f（x）是奇函数；对定义域内任意x，f（x）1恒成立；当时，f（x）取极小值；f（2）f（3），正确的是：【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】判断出函数的奇偶性，可判断，求出函数的值

21、域，可判断；判断出函数的极值点，可判断；利用函数的单调性，比较两个函数值，可判断【解答】解：函数，=f（x），故f（x）是偶函数，故错误；根据三角函数线的定义知|sinx|x|，1，x0，1成立，故正确；f（x）=，f（）=0，x= 不是极值点，错误；23，sin2sin30，正确，故答案为：【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性，值域，极值，单调性是三角函数图象和性质的综合应用，难度较大三、解答题：（12+12+12+12+12+10=70分）17已知集合A=x|2ax2+a，B=x|x25x+40，（1）当a=3时，求AB，A（RB）；（2）若AB=，求实数a的取值范围【

22、考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】（1）当a=3时，求出集合A，B，然后求出CRB，即可求AB，A（CRB）；（2）若AB=，只需2a1，并且2+a4，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a=3时，A=x|1x5，B=x|x25x+40=x|x1或x4，CRB=x|1x4所以AB=x|1x5x|x1或x4=x|1x1或4x5，A（CRB）=x|1x5x|1x4=x|1x5；（2）AB=所以或2a2+a，解得a1或a0，所以a的取值范围是（，1）【点评】本题考查集合的基本运算，不等式的解集的求法，注意等价变形的应用，常考题型18已知函数，（1）求f

23、（x）的最小正周期； （2）若在x=处取得最大值，求y=g（x）的单调递增区间；（3）求（2）中y=g（x）在上的值域【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出；（2）g（x）=f（x+）=2sin（2x+2）+1，当，kz时取得最大值，将代入上式，得，再利用正弦函数的单调性即可得出（3）利用正弦函数的单调性即可得出【解答】解：（1）=2sin2x（1+sin2x）+cos4x=2sin2x+2sin22x+cos4x=2sin2x+1最小正周期

24、为（2）g（x）=f（x+）=2sin（2x+2）+1，当，kz时取得最大值，将代入上式，得，kz，得，kz，解得，kz，g（x）的单调增区间为，kz（3）由（2）得，由，得，得，g（x）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cosC+（cosBsinB）cosA=0，（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【考点】余弦定理的应用；正弦定理【专题】方程思想；转化思想；综合法；解三角形【分析】（1）利用和差化积、诱导公式、三角函数求值即可得出（2）利用三角形的面积

25、计算公式、正弦定理余弦定理即可得出【解答】解：（1）由验证可得：，化为，又sinB0，又cosA0，又0A，故（2），得bc=20，又b=5，c=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=21，故，又由正弦定理得【点评】本题考查了和差化积、诱导公式、三角函数求值、三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知函数f（x）=ax22x，g（x）=（a，bR）（1）当b=0时，若f（x）在（，2上单调递减，求a的取值范围；（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，g（x0）是g（x）的最小值【考点】利用导数研究

26、函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】（1）当b=0时，f（x）=ax24x，讨论a的取值并结合二次函数的单调性，建立关于实数a的不等式即可解出实数a的取值范围；（2）当a=0时，易得一次函数f（x）没有最大值，不符合题意因此（x）为二次函数，可得a0，函数f（x）取最大值时对应的x=，结合题意得到=a是一个整数，化简得a2=，即可得出满足条件的整数只有a=1，从而得到b=1或3，得到满足条件的所有整数对（a，b）【解答】解：（1）当b=0，时，f（x）=ax24x，若a=0，f（x）=4x，则f（x）在（，2上单调递减，成立，故a0，要使f（x

27、）在；（2）若a=0，f（x）=2x，可得f（x）无最大值，故a0，f（x）为二次函数，要使f（x）有最大值，必须满足，即a0且b，此时，x=x0=时，f（x）有最大值又g（x）取最小值时，x=x0=a，依题意，=aZ，可得a2=，a0且b，0，结合a为整数得a=1，此时b=1或b=3综上所述，满足条件的实数对（a，b）是：（1，1），（1，3）【点评】本题给出含有根号和字母参数的二次函数，讨论函数的单调性与值域着重考查了二次函数的图象与性质、方程整数解的讨论等知识，属于中档题21已知函数f（x）=xlnx（x（0，+）（）求g（x）=的单调区间与极大值；（）任取两个不等的正数x1，x2，且x

28、1x2，若存在x00使f（x0）=成立，求证：x1x0x2（）己知数列an满足a1=1，an+1=（1+）an+（nN+），求证：an（e为自然对数的底数）【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用【分析】（）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），对函数g（x）求导后利用导函数的符号求出函数g（x）在定义域内的单调区间，从而求出函数的极大值；（）求出f（x0），代入f（x0）=后把lnx0用lnx1，lnx2表示，再把lnx0与lnx2作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0，从而得到lnx0lnx2

29、，运用同样的办法得到lnx1lnx0，最后得到要证的结论；（）由给出的递推式an+1=（1+）an+说明数列an是递增数列，根据a1=1，得到an1，由此把递推式an+1=（1+）an+放大得到，结合（）中的ln（1+x）x得到，分别取n=1，2，3，n1，得到n个式子后累加即可证得结论【解答】（）解：由f（x）=xlnx（x（0，+）f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x（1，+）则有=ln（x+1）x，此函数的定义域为（1，+）故当x（1，0）时，g（x）0；当x（0，+）时，g（x）0所以g（x）的单调递增区间是（1，0），单调递减区间是（0，+），故g（x）的极大值是g（0）=0；

30、（）证明：由f（x）=xlnx（x（0，+），得f（x）=lnx+1，所以，于是=，令（t1），则，因为t10，只需证明lntt+10令s（t）=lntt+1，则，s（t）在t（1，+）上递减，所以s（t）s（1）=0，于是h（t）0，即lnx0lnx2，故x0x2同理可证x1x0，故x1x0x2（）证明：因为a1=1，所以an单调递增，an1于是=，所以（*）由（）知当x0时，ln（1+x）x所以（*）式变为即（kN，k2），令k=2，3，n，这n1个式子相加得=即，所以【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，训练了累加法求数列的通项

31、公式，考查了利用放缩法证明不等式，是一道难度较大的综合题型请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号22在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为=4sin，cos（）=2（）求C1与C2交点的极坐标；（）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（tR为参数），求a，b的值【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程【专题】压轴题；直线与圆【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标

32、即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为xy+2=0，由参数方程可得y=x+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y2）2=4，x+y4=0，解得或，C1与C2交点的极坐标为（4，）（2，）（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为xy+2=0，由参数方程可得y=x+1，解得a=1，b=2【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题23设函数f（x）=|x+

33、|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】（）由a0，f（x）=|x+|+|xa|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）2成立（）由f（3）=|3+|+|3a|5，分当a3时和当0a3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求【解答】解：（）证明：a0，f（x）=|x+|+|xa|（x+）（xa）|=|a+|=a+2=2，故不等式f（x）2成立（）f（3）=|3+|+|3a|5，当a3时，不等式即a+5，即a25a+10，解得3a当0a3时，不等式即 6a+5，即 a2a10，求得a3综上可得，a的取值范围（，）【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题- 23 -